4.4 Розробка системи автоматичного керування з використанням mpc регулятора

Одним із сучасних формалізованих підходів до аналізу і синтезу систем керування, що базуються на математичних методах оптимізації, є теорія керування динамічними об'єктами з використанням прогнозуючих моделей - Model Predictive Control (MPC).

Цей підхід почав розвиватися на початку 60-х років для керування процесами та устаткуванням у нафтохімічному і енергетичному виробництві, для яких застосування традиційних методів синтезу було вкрай ускладнене у зв'язку з винятковою складністю математичних моделей.

Основною перевагою MPC-підходу, що визначає його успішне використання в практиці побудови та експлуатації систем керування, служить відносна простота базової схеми формування зворотного зв'язку, що сполучається з високими адаптивними властивостями. Остання обставина дозволяє управляти багатомірними і багатозв'язними об'єктами зі складною структурою, що включає нелінійності, оптимізувати процеси в режимі реального часу в рамках обмежень на керуючі і керовані змінні, ураховувати невизначеності в завданні об'єктів і збурень. Крім того, можливий облік транспортного запізнювання, облік змін критеріїв якості в ході процесу й відмов датчиків системи виміру.

Суть MPC-підходу становить наступна схема керування динамічними об'єктами за принципом зворотного зв'язку:

1. Розглядається деяка математична модель об'єкта, початковими умовами для якої служить його поточний стан. При заданому програмному керуванні виконується інтегрування рівнянь цієї моделі, що дає прогноз руху об'єкта на деякому кінцевому відрізку часу (горизонти прогнозу).

2. Виконується оптимізація програмного керування, метою якого служить наближення регульованих змінних прогнозуючі моделі до відповідних сигналів, що задають, на горизонті прогнозу. Оптимізація здійснюється з обліком усього комплексу обмежень, накладених на керуючі та регульовані змінні.

3. На кроці обчислень, що становить фіксовану малу частину горизонту прогнозу, реалізується знайдене оптимальне керування й здійснюється вимір (або відновлення по обмірюваним змінним) фактичного стану об'єкта на кінець кроку.

4. Горизонт прогнозу зрушується на крок вперед, і повторюються пункти 1 - 3 дані послідовності дій.

Загальна структурна схема управління з прогнозуванням наведена на рисунку 4.1.

Рисунок 4.1 - Блок-схема керування із прогнозуванням

Найпростішим прикладом прогнозуючої моделі можна вважати будь-який асимптотичний спостерігач, сформований для системи, яка лінеаризована в околиці свого нульового положення рівноваги при деякому номінальному поєднанні факторів невизначеності.

Схему здійснення прогнозу можна проілюструвати за допомогою рис. 4.2 [7].

Рисунок 4.2 – Схема здійснення прогнозу

Розглянемо завдання управління з лінійною моделлю і квадратичним функціоналом [2]. Нехай об'єкт управління описується лінійною системою диференційних рівнянь виду:

де: А – п×п матриця, u – п×т матриця, С – r×п матриця.

Для оцінки якості процесу управління вводиться квадратичний функціонал:

де: у и и – функції від t, R – r×r та Q – т×т — позитивно-визначені симетричні квадратні матриці; λ - постійний позитивний коефіцієнт.

Визначимо кінцеву послідовність x_j, i= 1, ..., р як прогноз руху об'єкта з горизонтом прогнозу р.

Оптимальне управління шукається у вигляді:

Алгоритм пошуку керуючого впливу в цьому МРС-законі представляється так.

Для вихідних матриць, представлених А, В, С і горизонтом прогнозу р, формуються допоміжні матриці L і М за наступними формулами:

;

Використовуючи R і Q, обчислюється матриця K1 за формулою:

Виділяються верхні блоки розміром т×п з К1 і приймаються в якості матриці К. В системі Matlab пакету MPC Tools існує вбудована функція lqr і dlqr (для дискретного процесу), що дозволяє отримати коефіцієнт К, маючи відомі описані вище матриці А, В, R, Q. У найпростішому випадку це виглядає так:

За допомогою пакета прикладних програм Model Predictive Control Toolbox (MPC Tools) в Matlab побудуємо МРС-регулятор. Для цього завантажимо одержані матриці у просторі станів до MPC Design Task. Діалог налаштувань регулятора наведено на рисунку 4.2.

Рисунок 4.2 – Налаштування MPC

Результати моделювання представлено на рис. 4.3.

Рисунок 4.3 – Графіки перехідних процесів з використанням MPC-регулятора

Таблиця 4.3 – Показники критеріїв якості регулятора

Перехідний процес	Максимальне відхилення	Статична помилка	Час регулювання, с	Перерегулювання, %
Витрата газойля зі стріппінгу	2 м3/год	7,3 м3/год	3000	8,9
Витрата дизеля зі стріппінгу	1,4 м3/год	0,1 м3/год	3500	1
Рівень гасу в ребойлері	15 %	0 %	2000	30
Температура зрошення	8 °С	0,31 °С	1000	13,6
Рівень в конденсаторі	10,5 %	0,5 %	4000	21
Температура флегми	1,2 °С	0,03 °С	2500	2,7

5. Порівняльний аналіз багатомірних регуляторів та вибір оптимального для застосування в технологічному процесі атмосферної перегонки нафти

По существу, МРС-подход в линейно-квадратичной постановке без ограничений даёт один из способов формирования квазиоптимальных управлений по отношению к дискретной задаче.

К достоинствам подхода здесь лишь можно отнести существенное упрощение вычислительной процедуры поиска коэффициентов по сравнению с классической дискретной оптимизацией, вклю­чающей решение уравнения Риккати. Фактически это упрощение достигается за счёт отказа от априорного учёта требования устойчивости и за счёт конечности интервала, на котором рассмат­ривается процесс. При этом процедура настройки регулятора может быть реализована в режиме реального времени непосредственно перед его функциональным использованием, например, на борту подвижного объекта.

Однако ситуация принципиально меняется при учёте ограничений на управления и контролируемые переменные, существенно сужающих допустимое множество регуляторов в задаче LQR-оптимизации. Здесь построение точного оптимального решения в реальном времени весьма проблематично, что зна­чительно повышает обоснованность привлечения МРС-подхода.

МРС-подход с учётом ограничений на управляющие воздействия позволяет существенно повысить качество переходных процессов: уменьшить время и снизить перерегулирование по выходным коор­динатам по сравнению с LQR -о пт и мал ь н ы м синтезом.

Решение оптимальных задач управления с прогнозированием является одним из современных ме­тодов исследования систем управления и легко реализуется с помощью таких систем как МАТLАВ, которая с её пакетами обладает большими возможностями и инструментами решения задач анализа, синтеза и моделирования систем управления, в том числе и с прогнозированием. Это позволяет прив­лекать её для решения реальных примеров по управлению всевозможными технологическими процес­сами и внедрения новинок в производстве, например, по управлению нестационарными режимами технологических процессов.