Контрольные вопросы

10.1. Как следует выбрать свободное расстояние СК, обеспечивающего исправление двухкратных ошибок?

10.2. К чему приводит увеличение свободного расстояния СК? Зависит ли сложность реализации алгоритма Витерби от длины свободного расстояния СК?

10.3. Как возрастет сложность декодера Витерби при увеличении длины кодового ограничения СК вдвое?

10.4. За счет чего повышается сложность декодера Витерби при переходе к мягкому решению на выходе демодулятора?

Задания

10.1. Подготовьте решетчатую диаграмму кода (1,5) из упражнения 9.1, необходимую для иллюстрации алгоритма Витерби. Поскольку свободное расстояние этого кода d_f = 3, то в соответствии с (9.7) код исправляет однократные ошибки. проследите процесс декодирования по алгоритму Витерби при действии на входе декодера одиночной ошибки и установите факт ее исправления декодером.

11. Помехоустойчивость декодирования сверточных кодов

Методика оценки помехоустойчивости декодирования сверточных кодов не отличается от методики, изложенной в разд. 8.1 для блоковых кодов. здесь также определяющую роль играют скорость кода R_код, дистанционные свойства кода (в случае СК – свободное расстояние d_f), и алгоритм декодирования кода. при использовании алгоритма декодирования по максимуму правдоподобия (алгоритма Витерби) приближенное выражение для вероятности ошибки бита на выходе декодера имеет вид [2]:

, (11.1)

где P_k – вероятность ошибки в выборе пути по решетке кода;

w_k – спектр весов ошибочного пути.

При передаче кодовых символов по каналу с ФМ-2 и действии белого шума со спектральной плотностью мощности N₀ вероятность ошибки в выборе пути определяется так:

, (11.2)

где – гауссовская Q-функция (интеграл вероятности), таблицы значений которой содержат справочники по теории вероятностей и статистическим расчетам. Для практических расчетов удобно пользоваться достаточно точной аппроксимацией

Q(z) = 0,65 exp[–0,44(z + 0,75)²]. (11.3)

Вычисления по формулам (11.1) и (11.2) показывают, что в сумме(11.1) при больших отношениях сигнал/шум первый член (при k = d_f) имеет наибольшее значение, а остальные члены суммы с ростом k быстро убывают. Поэтому на практике ограничиваются использованием упрощенной формулы:

. (11.4)

Как и при блоковом кодировании, принято сравнивать помехоустойчивости декодирования СК с помехоустойчивостью когерентного приема сигналов двоичной фазовой модуляции (ФМ-2). При этом расчетную формулу для вероятности ошибки бита можно получить из выражения (11.2), положив k = 1, R_код = 1:

. (11.5)

где – отношение энергии сигнала, затрачиваемой на передачу бита, E_б к спектральной плотности мощности шума N₀ на входе демодулятора.

Упражнение 11.1. Анализ помехоустойчивости декодирования СК.

Произведем расчеты вероятности ошибки бита на выходах демодулятора сигналов ФМ-2 и включенного вслед за ним декодера Витерби, используя расчетные формулы (11.5) и (11.4), соответственно, для следующих СК:

1. Код (5,7), R_код = 1/2, d_f = 5, v = 2;

2. Код (133,171), R_код = 1/2, d_f = 10, v = 6.

Результаты расчетов приведены в табл.11.1 и представлены на рис. 11.1. В табл. 11.1 указаны значения аргумента z функции Q(z), используемой в расчетных формулах.

Таблица 11.1 – Расчет помехоустойчивости декодирования СК

Eб/N0, дБ	Вероятность ошибки бита на выходе демодулятора ФМ-2		Вероятность ошибки бита на выходе декодера
			Код (5,7)		Код (133,171)
	z	pФМ-2	z	pд	z	pд
2	1,78	3,9∙10–2	2,82	2,4∙10–3	3,98	1,2∙10–3
3	2,00	2,4∙10–2	3,16	7,8∙10–4	4,47	1,5∙10–4
4	2,24	1,3∙10–2	3,54	1,9∙10–4	5,01	1,1∙10–5
5	2,52	6,1∙10–3	3,98	3,5∙10–5	5,62	4,1∙10–7
6	2,82	2,4∙10–3	4,46	4,2∙10–6
7	3,55	7,9∙10–4	5,62	1,1∙10–8
8	3,99	2,0∙10–4
10	4,47	4,2∙10–6

Как и при оценке помехоустойчивости декодирования блоковых кодов (см. разд. 8) в случае сверточных кодов используют понятие энергетического выигрыша.

энергетический выигрыш от применения сверточного кодирования (ЭВК) равен разности значений Eб/N0, необходимых для обеспечения заданной вероятности ошибки декодирования p при отсутствии и при использовании кодирования.

Уровень вероятности ошибки, на котором определяется выигрыш, зависит от требований к верности передаваемой цифровой информации. Для цифровых систем передачи телефонии требуемый уровень вероятности ошибки бита обычно составляет p = (10^–5...10^–6). В системах передачи телевидения в цифровой форме стараются обеспечить p = (10^–10...10^–11). Величину энергетического выигрыша при заданной вероятности ошибки бита p* можно определить, сравнивая аргументы функции Q(z) в близких по форме выражениях для вероятности ошибки (11.4) и (11.5) (для одинаковых вероятностей p_ск = p_ФМ-2 = p*).

Расчеты показывают, что величина ЭВК зависит от уровня вероятности ошибки p*, на котором определяется ЭВК. Это хорошо видно на кривых рис.11.1, представляющих результаты расчетов из упражнения 11.1. Величина ЭВК с уменьшением вероятности p* стремится к своему пределу, который в теории кодирования называют как асимптотический энергетический выигрыш от применения кодирования (АЭВК):

АЭВК = lim ЭВК (p*→0). (11.6)

Сравнивая аргументы в выражениях (11.5) и (11.4) приходим к широко используемому в энергетических расчетах телекоммуникационных систем выражению для АЭВК в логарифмических единицах

АЭВК_дБ = 10 lg(R_код d_f). (11.7)

Поскольку АЭВК является верхней границей ЭВК, для быстрого сравнения и выбора кодов используют именно АЭВК. Значения этого выигрыша часто включаются в таблицы СК (см. таблицы приложения А.3). В табл. 11.1 для примера приведены данные о сверточных кодах с различными длинами кодового ограничения ν и скоростями R_код. Указаны значения АЭВК. Более подробные сведения даны в таблицах (А.3…А.6) приложения А.3.

Таблица 11.1 – Характеристики сверточных кодов

Скорость кода Rкод	Длина кодового ограничения ν = 4		Длина кодового ограничения ν = 6
	Код	АЭВК, дБ	Код	АЭВК, дБ
1/3	25,33,37	6,02	133,145,175	6,99
1/2	31,33	5,44	133,171	6,99
2/3	31,33,31	5,23	133,171,133	6,02
3/4	25,37,37,37	4,78	135,163,163,163	6,73

Сопоставление величин энергетического выигрыша, обеспечиваемого циклическим кодированием (см. табл. 8.3 и рис. 8.1) с аналогичными параметрами для СК (см. табл. 11.1 и рис. 11.1) показывает, что сверточные коды в сочетании с алгоритмом декодирования А. Витерби обеспечивают значительно больший энергетический выигрыш по сравнению с кодами блоковой структуры. Это объясняет широкое использование сверточных кодов в телекоммуникационных системах для повышения помехоустойчивости. Типичным здесь является применение кода (133,171), обеспечивающего АЭВК = 6,99 дБ при скорости R_код = 1/2, т.е. при двухкратном расширении полосы частот кодированного сигнала. Для кодеков такого кода разработаны и серийно выпускаются декодеры витерби в виде больших интегральных схем.