Учебное пособие по изучению модуля № 3 курса “Теор

Перечень знаний и умений, которые должен приобрести студент при изучении

4

ВВЕДЕНИЕ

В учебном пособии изложенные основы теории помехоустойчивости систем передачи. Для проверки усвоения знаний рекомендуется использовать перечни контрольных вопросов, размещенные в конце каждого подраздела.

Изучение материала модуля 3 базируется на знаниях, полученных при изучении модуля 1 «Сигналы электросвязи» и модуля 2 «Основы теории информации и ее использование в телекоммуникационных системах». Из основ теории информации вытекает, что основными ресурсами системы передачи являются полоса пропускания канала связи и мощность сигнала на выходе канала. Эффективное использование ресурсов системы передачи обеспечивается применением «Теории помехоустойчивости приема сигналов электросвязи» (модуль 3) и «Основ теории помехоустойчивого кодирования в телекоммуникационных системах» (модуль 4).

Перечень знаний и умений, необходимых для изучения учебного материала модуля 3, которые должен приобрести студент в процессе изучения предыдущих дисциплин, приведен в табл. В.1.

Таблица В.1 – Перечень входных знаний и умений

5

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАЧ ПРИЕМА СИГНАЛОВ

Рассматривается система передачи (рис. 1.1). На вход системы передачи поступает первичный сигнал b(t). Модулятор преобразует первичный сигнал b(t) в модулированный сигнал s(t) для передачи на расстояние по линии передачи. Считается, что линия передачи не искажает сигнал s(t). На вход демодулятора поступает сумма сигнала s(t) и помехи n(t): z(t) = s(t) + n(t). Считают, если специально не оговорено, что помеха n(t) – это АБГШ (точнее, шум белый в полосе пропускания линии передачи). По сигналу z(t) демодулятор должен вос-

становить первичный сигнал ˆ( ) который наименее отличается от подлежаще b t , -

го передаче сигнала b(t). При демодуляции необходимо учесть все характеристики сигнала s(t) и помехи n(t).

В зависимости от характера первичного сигнала (цифровой или аналоговый) системы передачи делятся на цифровые и аналоговые. В этих системах поразному выполняются модуляция и демодуляция, по-разному количественно оценивается точность восстановления первичного сигнала. Свойства и формирование сигналов аналоговых и цифровых видов модуляции рассмотрены в модуле 1. В этом модуле рассматриваются задачи, возникающие при демодуляции сигналов:

−алгоритмы (схемы) демодуляции сигналов;

−помехоустойчивость систем передачи – способность системы пере-

дачи противостоять действию помех.

В цифровых системах передачи сигнал s(t) – это последовательность канальных символов, которые отображают первичный цифровой сигнал и поступают на вход канала связи через тактовый интервал Т:

При демодуляции неизвестными являются номера i канальных символов. Известными являются канальные символы (форма импульсов, их частота (частоты), их фазы, тактовый интервал, моменты отсчета тактовых интервалов). Каждый канальный символ si(t), если это удобно, обозначается как si.

6

Демодулятор должен различать канальные символы – выносить решение о номерах переданных канальных символов и выдать решение битами согласно модуляционному коду.

Будем считать, что демодулятор выносит решение sˆ j о переданном ка-

нальном символе на каждом тактовом интервале независимо от решений на других тактовых интервалах. Такой способ демодуляции называется поэлементным приемом. При поэлементном приеме работу демодулятора рассматривают на отдельных тактовых интервалах, например, при k = 0 демодулируемый сигнал имеет вид

Здесь номер канального символа неизвестный, и демодулятор должен вынести решение о номере i. Поскольку, на вход демодулятора поступает искаженный помехой сигнал, то решение о переданных канальных символах будут содержать ошибки. Ошибка канального символа – это решение демодулятора sˆ j после поступления на вход демодулятора символа si при j ¹ i. Ошибки появ-

ляются случайно из-за случайного характера помехи. Неверное решение демодулятора о канальном символе приводит к появлению на выходе демодулятора одного или больше неверных бит (в зависимости от модуляционного кода). Ве-

роятность ошибки бита р является количественной мерой помехоустойчивости

цифровой системы передачи. Вероятность ошибки бита р наряду со скоростью сигнала R является основной характеристикой цифровой системы передачи.

Ваналоговых системах передачи сигнал описывается информационным

инеинформационными параметрами. Информационный параметр сигнала, отображающий подлежащий передаче сигнал b(t), является реализацией некоторого случайного процесса и описывается статистическими характеристиками этого процесса. Неинформационные параметры сигнала считаются известными, так как они, как правило, не изменяются со временем или изменяются довольно медленно и могут быть измерены демодулятором.

Восстановление первичного сигнала в аналоговых системах передачи в теории связи рассматривают как задачу восстановления сообщения. При разработке алгоритмов (схем) демодуляторов нужно опираться на некоторый критерий точности восстановления первичного сигнала, который численно характеризует отклонение восстановленного сигнала от передаваемого сигнала, например, средний квадрат погрешности (под погрешностью понимают разность

между восстановленным сигналом ˆ( ) и переданным Средний квадрат b t b(t)).

погрешности является количественной мерой помехоустойчивости аналоговой системы передачи.

При обсуждении демодуляции кроме задач различения сигналов и восстановления сообщений часто рассматривают третью задачу – выявление сигнала. Суть этой задачи заключается в следующем: демодулятор должен вынести решение – есть ли на его входе некоторый сигнал известной формы или же на вход поступает только помеха. Эту задачу будем рассматривать как частный

8

С учетом этого перепишем систему неравенств (2.1), исключив из записи безусловную плотность вероятности p(z), входящую в правую и левую части и не зависящую от индекса:

Система неравенств (2.4) выражает правило максимума правдоподобия,

которое формулируется так: демодулятор выносит решение о передаче символа sˆi , если максимальна условная плотность вероятности сигнала z(t) при условии, что z(t) = si (t )+ n(t ). Условные плотности вероятности называют также функ-

циями правдоподобия.

Отметим, что правило максимума правдоподобия применяют для построения демодуляторов, если канальные символы равновероятные (в этом случае реализуется правило максимума апостериорной вероятности) или априорные вероятности канальных символов неизвестные.

Для перехода от правила решения (2.4) к алгоритму демодуляции следует воспользоваться представлением сигналов и помех в многомерном пространстве. Полным описанием множества канальных символов si(t), i = 0, …, М – 1 есть их представление в N-мерном пространстве (см. модуль 1). Там рассмотрены одномерные (N = 1) и двумерные (N = 2) сигналы, которые чаще всего используются. Для наглядности описания использовались сигнальные созвездия.

Реализация суммы сигнала и помехи z(t), которая подается на вход демодулятора, – соотношение (1.2) – также может быть представлена в многомерном пространстве, образованному базисными ортонормированными функциями {ψk(t)}, которые используются для описания и формирования канальных символов si(t):

(0, Ts) – интервал ортогональности.

Коэффициенты zk являются случайными гауссовскими некоррелированными величинами. Поэтому условные плотности вероятности p(z/si), i = 0, …, М – 1 имеют N-мерные распределения, которые определяются произведениями N одномерных распределений. Правая и левая части неравенств (2.4) перепишутся

Суммы в соотношении (2.9) есть не что иное, как квадраты расстояний между демодулируемым сигналом и канальными символами в N-мерном пространстве. Последнее соотношение выражает правило максимума правдоподобия для оптимальной демодуляции: решение о номере канального символа выносится в пользу того сигнала, расстояние между которым и демодулируемым сигналом минимальное. Укажем, что нет необходимости извлечения корня квадратного из левой и правой частей неравенств (2.9), можно сравнивать и квадраты расстояний.

Правило работы демодулятора можно трактовать так:

-пространство сигналов разбивается на М непересекающихся областей

сименами si, i = 0, …, М – 1; каждая область si – это совокупность точек, которые ближе к символу si(t), чем к другим символам;

-демодулятор выносит решение о передаче символа si(t), если точка z(t) в N-мерном пространстве попадает в область si.

Примечания. 1. Критерий минимума полной вероятности ошибки решения демодулятора в русскоязычной литературе называется также критерием идеального наблюдателя (термин введен В.А. Котельниковым).

2.Если ошибки решений демодулятора по-разному нежелательные для разных канальных символов, то используется критерий минимума среднего риска (критерий минимума полной вероятности ошибки решения демодулятора предполагает, что все ошибки одинаково нежелательны).

3.Если демодулятор решает задачу выявления сигнала известной формы (типичная задача в радиолокации), то используется критерий Неймана-

Пирсона.

Пример 2.1. Найдем правило решения оптимальной демодуляции одномерного (N = 1) сигнала АИМ-2, у которого канальные символы описываются

где А(t) – импульс с определенными временными и спектральными характеристиками, максимальное значение которого и энергия равны 1;

аі – коэффициенты, которые отображают переданный бит: а1 = а, а0 = – а; число а определяет энергии канальных символов.

Функция А(t) играет роль базисной функции ψ0(t) при представлении сигнала si(t) в одномерном пространстве.

10

На вход демодулятора на конкретном тактовом интервале (например, k = 0) поступает

где ζ – случайная величина с гауссовским распределением вероятностей, так как она является результатом линейного преобразования помехи с гауссовским распределением.

Согласно выражению (2.9) для восстановления двоичного символа, пере-

эффициента аі. Обсудим правило вынесения решения на основе сравнения условных плотностей вероятностей (2.4) (правило максимального правдоподобия): демодулятор выносит решение о передаче канального символа sˆ1 , если

> p(aˆ s0 ), и решение sˆ0 , если p(aˆ s1 ) < p(aˆ s0 ).

На рис. 2.1 показано сигнальное созвездие АИМ-2 и условные плотности вероятности оценки коэффициента, описывающего демодулируемый сигнал. Из этого рисунка видно, что вместо сравнения условных плотностей вероятностей

Рисунок 2.1 – Сигнальное созвездие АИМ-2 и условные плотности вероятности оценки aˆ : а – неоптимальная установка границы; б – оптимальная установка границы

Вероятность ошибки при передаче s1(t)

Аналогично определяется вероятность ошибки при передаче s0(t)