9.2. Основные параметры и классификация ск

Скорость кода определяется как

,(9.3)

где k – количество информационных символов, одновременно поступающих на k входов кодера, n– количество соответствующих им кодовых символов на n выходах кодера.

Используют несколько характеристик для определения длины памяти при кодировании. Длина кодирующего регистра (ДКР) K равна количеству элементов задержки, содержащихся в схеме кодера. ДКР часто применяют для определения памяти при кодировании со скоростью ,когда кодер содержит один регистр. Кодер, изображенный на рис. 9.1, имеет ДКР K = 3. Если кодер содержит несколько входов (k > 1), то длины регистров, подключенных к каждому входу, могут быть различны. В этом случае определяют длину кодового ограничения.

длина кодового ограничения (ДКО) по каждому входу определяется старшей степенью соответствующих порождающих многочленов i = max [deg ]. Результирующая длина кодового ограничения кодера определяется суммой: . (9.4)

Для кодов с одним регистром памяти (k = 1) величины ДКО и ДКР связаны простым соотношением:

 = K. (9.5)

Для сравнения сложности алгоритмов декодирования СК используют характеристику сложности. Поскольку, как отмечалось ранее, развитие решетчатой диаграммы состоит в повторении одного и того же шага (см. рис. 9.3), сложность диаграммы принято определять количеством ветвей на шаге решетчатой диаграммы. Число состояний решетки определяется числом переменных K = v на входах элементов регистра. при использовании кода с основанием m все возможные комбинации этих переменных образуют набор состояний кодера. Общее число состояний равно S = m^K. Из каждого состояния выходят (и в каждое состояние также входят) m^k ветвей. В итоге сложность одного шага решетки можно определить количеством ветвей на этом шаге

W = m ^v+k. (9.6)

Помехоустойчивость декодирования зависит от дистанционных свойств кодовых последовательностей на выходе кодера. При этом для двоичных кодов чаще всего расстояние между последовательностями оценивают в метрике Хемминга.

Свободное расстояние сверточного кода df – минимальное расстояние между двумя произвольными полубесконечными последовательностями на выходе кодера, отличающимися в первой ветви.

Для коротких кодов свободное расстояние можно определить по диаграмме состояний. Если диаграмма двоичного кода задана, то свободное расстояние кода равно минимальному весу Хемминга пути по диаграмме из состояния 00 в это же состояние (исключая петлю у этого состояния). На диаграмме рис. 9.2 видно, что свободное расстояние d_f = 5. По величине свободного расстояния СК судят о корректирующих свойствах сверточных кодов. В частности, если два пути на выходе кодера СК, выходящие из одного состояния решетчатой диаграммы, различаются в метрике Хемминга на величину d_f, то при декодировании по минимуму расстояния по аналогии со случаем декодирования блоковых кодов (см. разд. 3.1), кратность исправляемых ошибок определяется выражением

, (d_f  – нечетное). (9.7)

Свободное расстояние используется для оценки помехоустойчивости декодирования сверточных кодов с применением алгоритмов максимального правдоподобия или близких к ним (алгоритм Витерби и др.).

Некоторые СК обладают свойством катастрофичности. Катастрофическим СК называется такой код, у которого входная информационная последовательность бесконечного веса дает на выходе кодера последовательность конечного веса. При использовании катастрофического кода конечное число ошибок в канале вызывает бесконечное число ошибок при декодировании. По этой причине использовать на практике катастрофические коды не рекомендуется, а таблицы СК сведений о катастрофических кодах не содержат (см., например, табл. А3 в приложении А.3), поскольку при поиске порождающих многочленов лучших кодов катастрофические коды отбрасываются.

В систематическом коде на k (из n возможных) выходах кодера присутствуют информационные последовательности передаваемых символов, а на остальных (n – k) выходах – последовательности дополнительных символов, формируемых как линейные комбинации информационных символов. При скорости R_код = 1/2 порождающие многочлены систематического кода имеют вид

g⁽¹⁾(D) = 1 и g⁽²⁾(D) = g₀⁽²⁾+g₁⁽²⁾D+g₂⁽²⁾D²+...+g_⁽²⁾D^.

Систематические коды позволяют получить на приемной стороне оценку информационных символов, не производя декодирования или какой-либо иной обработки принимаемых символов. Несистематические коды таким свойством не обладают.

Как и в случае блоковых кодов, применение сверточного кодирования со скоростью R_код = приводит к расширению спектра сигнала в канале. При этом коэффициент расширения полосы определяется выражением:

K_F = . (9.8)

при малых скоростях кодов значительное расширение полосы становится неприемлемым, поэтому стараются применять коды с высокой скоростью. Практически, выбор параметров сверточных кодов производят на основе компромисса, исходя из требуемого уровня энергетического выигрыша кодирования и допустимого коэффициента расширения спектра сигнала в канале.

Упражнение 9.1. Анализ взаимосвязей параметров СК.

Используя последовательную модификацию структуры исходного кодера СК (7, 5) (рис. 9.1) и соответствующих ему диаграммы состояний и решетки (9.2 и 9.3), установим взаимосвязи параметров кодера k, n, R_код, S, и порождающих многочленов СК со свободным расстоянием кода d_f. Рассмотрим несколько вариантов СК:

1. Исходный сверточный код (7, 5) – см. рис. 9.4.

Параметры кода:

k = 1;

n = 2;

k = 2;

R_код = 1/2;

для двоичного кода с m = 2 → S= m^k = 2² = 4;

свободное расстояние d_f  = 5;

код несистематический.

2. Формирование систематического кода (1, 5) – см. рис. 9.5.

Модифицируем первый многочлен исходного кода, оставив одну связь, как показано ниже на рисунке. Диаграмма состояний частично изменится. число состояний останется прежним, поскольку состав кодирующего регистра не изменился. Изменяются ненулевые ветви: в соответствии с изменением первого порождающего многочлена на месте первого символа ветви следует проставить первый символ состояния, в которое направлена эта ветвь. Скорость кода также не изменилась.

Параметры кода:

k = 1;

n = 2;

k = 2;

R_код = 1/2;

для двоичного кода m = 2 → S = 4;

свободное расстояние уменьшилось: d_f  = 3.

код систематический.

Этот частный пример иллюстрирует общий факт теории СК: по величине свободного расстояния систематические СК оказываются хуже кодов несистематических, из которых они образованы. Поэтому на практике предпочитают использовать несистематические СК.

В приложении А.3 приведены характеристики двоичных сверточных кодов с максимальным свободным расстоянием Хемминга для различных скоростей кодов.