16.Визначення незалежності вхідних параметрів н-методом

де m – кількість змінних на вході об’єкту, n – кількість вимірів параметру_.

_,

_,

17

Корреляционная функция—функциявремениили пространственныхкоординат, которая задаеткорреляциюв системах со случайными процессами.

Зависящая от времени корреляция двух случайных функцийX(t) и Y(t) определяется как:

,

где угловые скобки обозначают процедуру усреднения.

Если корреляционная функция вычисляется для одного и того же процесса, она называется автокорреляционной:

.

Аналогично можно вычислить корреляционную функцию для процессов, происходящих в разных точках пространства в различные моменты времени:

.

Корреляционные функции широко используются в статистической физике и других дисциплинах, изучающих случайные (стохастические) процессы.

Таким образом, корреляционной функцией случайной функции называется неслучайная функция двух аргументов, которая при каждой паре значений,равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции:

,                 (15.3.4)

где

,.

Вернемся к примерам случайных функций и(рис. 15.3.2 и 15.3.3). Мы видим теперь, что при одинаковых математических ожиданиях и дисперсиях случайные функциииимеют совершенно различные корреляционные функции. Корреляционная функция случайной функциимедленно убывает по мере увеличения промежутка; напротив, корреляционная функция случайной функциибыстро убывает с увеличением этого промежутка.

Выясним, во что обращается корреляционная функция , когда ее аргументы совпадают. Полагая, имеем:

,                     (15.3.5)

т. е. при корреляционная функция обращается в дисперсию случайной функции.

Таким образом, необходимость в дисперсии как отдельной характеристике случайной функции отпадает: в качестве основных характеристик случайной функции достаточно рассматривать ее математическое ожидание и корреляционную функцию.

Так как корреляционный момент двух случайных величин ине зависит от последовательности, в которой эти величины рассматриваются, то корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов, т. е. не меняется при перемене аргументов местами:

.               (15.3.6)

Если изобразить корреляционную функцию в виде поверхности, то эта поверхность будет симметрична относительно вертикальной плоскости, проходящей через биссектрису угла(рис. 15.3.5).

Рис. 15.3.5.

Заметим, что свойства корреляционной функции естественно вытекают из свойств корреляционной матрицы системы случайных величин. Действительно, заменим приближенно случайную функцию системойслучайных величин. При увеличениии соответственном уменьшении промежутков между аргументами корреляционная матрица системы, представляющая собой таблицу о двух входах, в пределе переходит в функцию двух непрерывно изменяющихся аргументов, обладающую аналогичными свойствами. Свойство симметричности корреляционной матрицы относительно главной диагонали переходит в свойство симметричности корреляционной функции (15.3.6). По главной диагонали корреляционной матрицы стоят дисперсии случайных величин; аналогично прикорреляционная функцияобращается в дисперсию.

На практике, если требуется построить корреляционную функцию случайной функции , обычно поступают следующим образом: задаются рядом равноотстоящих значений аргумента и строят корреляционную матрицу полученной системы случайных величин. Эта матрица есть не что иное, как таблица значений корреляционной функции для прямоугольной сетки значений аргументов на плоскости. Далее, путем интерполирования или аппроксимации можно построить функцию двух аргументов.

Вместо корреляционной функции можно пользоваться нормированной корреляционной функцией:

,                       (15.3.7)

которая представляет собой коэффициент корреляции величин ,. Нормированная корреляционная функция аналогична нормированной корреляционной матрице системы случайных величин. Принормированная корреляционная функция равна единице:

.                 (15.3.8)

Выясним, как меняются основные характеристики случайной функции при элементарных операциях над нею: при прибавлении неслучайного слагаемого и при умножении на неслучайный множитель. Эти неслучайные слагаемые и множители могут быть как постоянными величинами, так в общем случае и функциями .

Прибавим к случайной функции неслучайное слагаемое. Получим новую случайную функцию:

.                             (15.3.9)

По теореме сложения математических ожиданий:

,             (15.3.10)

т. е. при прибавлении к случайной функции неслучайного слагаемого к ее математическому ожиданию прибавляется то же неслучайное слагаемое.

Определим корреляционную функцию случайной функции :

,                   (15.3.11)

т. е. от прибавления неслучайного слагаемого корреляционная функция случайной функции не меняется.

Умножим случайную функцию на неслучайный множитель:

.                                (15.3.12)

Вынося неслучайную величину за знак математического ожидания, имеем:

,               (15.3.13)

т. е. при умножении случайной функции на неслучайный множитель ее математическое ожидание умножается на тот же множитель.

Определяем корреляционную функцию:

,              (15.3.14)

т. е. при умножении случайной функции на неслучайную функцию ее корреляционная функция умножается на.

В частности, когда (не зависит от), корреляционная функция умножается на.

Пользуясь выведенными свойствами характеристик случайных функций, можно в ряде случаев значительно упростить операции с ними. В частности, когда требуется исследовать корреляционную функцию или дисперсию случайной функции, можно заранее перейти от нее к так называемой центрированной функции:

.             (15.3.15)

Математическое ожидание центрированной функции тождественно равно нулю, а ее корреляционная функция совпадает с корреляционной функцией случайной функции :

.            (15.3.16)

При исследовании вопросов, связанных с корреляционными свойствами случайных функций, мы в дальнейшем всегда будем переходить от случайных функций к соответствующим центрированным функциям, отмечая это значком вверху знака функции.

Иногда, кроме центрирования, применяется еще нормирование случайных функций. Нормированной называется случайная функция вида:

.                     (15.3.17)

Корреляционная функция нормированной случайной функции равна

,                (15.3.18)

а ее дисперсия равна единице.

18

19

В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье.

Если процесс имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определитьпреобразование Фурьекак случайную комплексную функцию частоты:

(1)

Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваляэнергия

(2)

Функция характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.

Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу , реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье.Спектральная плотность мощноститакого процесса может быть найдена на основании теоремыВинера-Хинчинакакпреобразование Фурьеот корреляционной функции:

(3)

Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известнойопределяет:

(4)

Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно и, имеем

(5)

(6)

Формула (6) с учетом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот отдо. Если понимать подслучайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величинабудет иметь размерность энергии [В²/Гц] = [В²с]. Поэтомуиногда называютэнергетическим спектром. В литературе часто можно встретить другую интерпретацию:– рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величинуназываютспектром мощностислучайного процесса.