Вопросы и задания

1. Что такое "показательная" и "алгебраическая" формы записи ЧХ ? Как перейти от одной формы записи к другой ?

2. Как по заданной передаточной функции рассчитать выражения АЧХ А(ω) и ФЧХ φ(ω) ?

3. Каковы практические приемы расчета частотных характеристик ?

4. Почему при вычислениях ФЧХ φ(ω) требуется коррекция и какова эта коррекция ?

1.4. Логарифмические амплитудно-частотые характеристики - ЛАЧХ

Из частотных характеристик в ТАУ чаще всего используются асимптотические логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ). Преимущество асимптотических ЛАЧХ (далее – просто ЛАЧХ) в том, что их расчёт чрезвычайно прост при достаточно высокой точности. При использовании ЛАЧХ не существует проблем с длительным выбором (угадыванием) частот, при которых следует выполнять вычисления.

ЛАЧХ определяется выражением

, (1.30)

а асимптотической она становится благодаря специальным правилам ее построения, суть которых в том, что:

- оси координат полулогарифмические, а именно, ось ω логарифмическая неравномерная, а ось L(ω) линейная равномерная;

- ЛАЧХ состоит из отрезков прямых линий со стандартными коэффициентами наклона.

Для построения ЛАЧХ необходимо передаточную функцию W(p) привести к стандартной форме

(1.31)

Например,

Далее из (1.31) образуем АЧХ

(1.32)

В выражении АЧХ (1.32) будут всегда присутствовать максимум только четыре стандартных сомножителя видов

(1.33)

Для радикалов , которым в исходной передаточной функции (1.31) соответствуют скобки выражений двух- и трехчленоввведем приближенные замены:

1) (1.34)

или для скобки двучлена

(1.35)

Обозначим и назовем её частотой сопряжения участков ЛАЧХ. Максимальная погрешность замен (1.34) достигается на частоте сопряжения и составляет3 дБ. Это малая величина, если оценивать ее по реальным графикам ЛАЧХ (рис.1.9).

2) (1.36)

или для скобки трехчлена

(1.37)

Максимальная погрешность замен (1.36) достигается на частоте сопряжения и составляет 6 дБ.

Пусть ω_с.min минимальная частота сопряжения, определенная для передаточной функции W(p), представленной в виде (1.31). Тогда в соответствии с (1.35) и (1.38) для диапазона частот ω<ω_с.min все скобки двучлены и трехчлены можно принять равными 1 и приближенные передаточная функция, АЧХ и ЛАЧХ будут иметь вид:

(1.38)

где V=lg ω.

В осях V – L первый участок ЛАЧХ L_I при ω<ω_с.min, представляет собой прямую линию, проходящую через точку 20 lg K с коэффициентом наклона –20 ν дБ/дек. Так как наклоны всех участков ЛАЧХ будут иметь наклоны кратные числу 20, то наклон будем обозначать просто как –ν.

Предположим, что частота сопряжения ω_с.min порождена скобкой двучленом , находящейся в числителе передаточной функции (т.е.). Тогда приω≥ω_с.min согласно (1.34) приближенные передаточная функция, АЧХ и ЛАЧХ будут иметь вид:

(1.39)

В осях V – L второй участок ЛАЧХ L_II при ω≥ω_с.min, представляет собой прямую линию, проходящую с наклоном –(ν-1) через конечную точку первого участка на частоте ω_с.min.

Аналогично можно построить 3-й, 4-й и все последующие участки ЛАЧХ, которые всегда будут прямыми линями с наклонами кратными числу 20.

Обобщением изложенного является следующий алгоритм построения ЛАЧХ:

1). По выражению (1.31) находим все частоты сопряжения ω_с, упорядочиваем их по возрастанию от значения ω_с.min до значения ω_с.mах.

2). Составляем выражение передаточной функции W_I(p) первого для первого участка ЛАЧХ. Задаемся любой частотой из диапазона ω_I<ω_с.min и вычисляем ординату L_I(ω_I) первого участка ЛАЧХ. Через точку с координатами ω_I и L_I(ω_I) проводим прямую линию с наклоном –ν до частоты сопряжения ω_с.min.

3). Все последующие отрезки ЛАЧХ строим по следующим двум правилам (без вычислений):

а) при переходе частоты сопряжения, порожденной скобкой двучленом , наклон ЛАЧХ изменяется на единицу, а порожденной скобкой трехчленом- наклон изменяется на два;

б) при переходе частоты сопряжения, порожденной скобкой числителя, наклон ЛАЧХ изменяется в положительную сторону, а порожденной скобкой знаменателя – наклон ЛАЧХ изменяется в отрицательную сторону.

Числовой пример

Построить ЛАЧХ для САУ с передаточной функцией вида

Решение:

1). Приводим W(p) к стандартному виду типа (1.31):

где .

2). Рассчитываем частоты сопряжения и логарифм от них

(1.40)

3). Подготавливаем плоскость V – L к построению ЛАЧХ (рис.1.9), для чего отмечаем на ней вертикальными пунктирными линиями значения V₁, V₂, V₃ и V₄, взятые из (1.40).

4). Составляем выражение передаточной функции W_I(p) первого для первого участка ЛАЧХ

Учитывая минимальное значение частоты сопряжения ω_с.min=0,67, задаемся частотой ω_I=0,1 из диапазона ω_I<ω_с.min и вычисляем ординату L_I(ω_I) первого участка ЛАЧХ

дБ.

Через точку с координатами ω_I=0,1 и L_I(ω_I)=12 проводим прямую линию с наклоном –1 (так как ν=1)до частоты сопряжения ω_с.min=0,67.

5). Все последующие отрезки ЛАЧХ строим по двум вышеназванным правилам (без вычислений).

Так как частота сопряжения ω_с1=0,67, разделяющая I-й и II-й участки ЛАЧХ, порождена скобкой двучленом числителя, то наклон линии II-го участка будет равен 0, что следует из вычислений –1+1=0.

Так как частота сопряжения ω_с3=5, разделяющая II-й и III-й участки ЛАЧХ, порождена скобкой трехчленом знаменателя, то наклон линии III-го участка будет равен -2, что следует из вычислений 0-2=-2.

Так как частота сопряжения ω_с2=10, разделяющая III-й и IV-й участки ЛАЧХ, порождена скобкой трехчленом числителя, то наклон линии IV-го участка будет равен 0, что следует из вычислений –2+2=0.

Так как частота сопряжения ω_с4=20, разделяющая IV-й и V-й участки ЛАЧХ, порождена скобкой двучленом знаменателя, то наклон линии V-го участка будет равен -1, что следует из вычислений 0-1=-1.

ЛАЧХ построена.