Теория автоматического управления

Тема 2 характеристики линейных сау содержание

1.3. Частотные характеристики линейных САУ

1.4. Логарифмические амплитудно-частотые характеристики – ЛАЧХ

1.5. Типовые позиционные звенья САУ

1.6. Типовые дифференцирующие звенья САУ

1.7. Типовые интегрирующие звенья САУ

1.8. Структурные схемы САУ и их преобразования

1.3. Частотные характеристики линейных сау

Частотные характеристики линейных САУ рассчитываются через передаточные функции: если W(p) – передаточная функция, то W(j𝜔) – частотная характеристика (ЧХ), получаемая из передаточной функции путём замены в ней p на j𝜔 ЧХ как комплексное число может быть представлено в показательной и алгебраической формах.

Показательная форма:

(1.22)

Эта запись позволяет найти еще две важнейшие характеристики: АЧХ и ФЧХ:

A(ω) – амплитудо-частотная характеристика (АЧХ);

W(jω) – фазо-частотная характеристика (ФЧХ).

Алгебраическая форма:

W(j𝝎)=P(𝛚)+jQ() (1.23)

Данное выражение порождает еще две характеристики: – вещественно-частотная характеристика (ВЧХ) и– мнимо-частотная характеристика (МЧХ).

График ЧХ на комплексной плоскости называется годографом (рис.1.7).

Между величинами A, ᵠ, P и Q существуют связи (аргумент ɷ опущен):

(1.24)

Особенности вычислений ЧХ можно проследить только на числовом

примере 3.3.

Пусть передаточная функция звена имеет вид

Частотная характеристика

(1.25)

В записи (1.25) ЧХ формально представляет собой отношение двух комплексных чисел числителя и знаменателя.

Считая (1.25) показательной формой записи ЧХ, вычисляем АЧХ и ФЧХ:

- АЧХ: (1.26)

- ФЧХ: (1.27)

ВЧХ и МЧХ рассчитываем, используя дополнительное умножение числителя и знаменателя ЧХ на комплексно-сопряженное к знаменателю число:

откуда

(1.28)

Как видно, вывод выражений A(ɷ), W(jɷ), P(ɷ) и Q(ɷ) принципиально прост. Сложным являются вычисления координат точек годографа ЧХ, если принять во внимание, что при этих вычислениях нужно знать:

- до какого значения аргумента ɷ нужно считать (полный интервал изменения ɷ от 0 до ) ?;

- и каким должен быть шаг jɷ вычислений ?

В сравнении с расчётами переходных процессов расчёты ЧХ сложнее тем, что нет простых процедур определения конечной (верхней) частоты ɷ счёта и шага jɷ . Последний, к тому же, будет неравномерным.

Здесь следует пользоваться проверенными на практике приёмами расчёта ЧХ:

1. Необходимо предугадать вчерне вид годографа, а именно, где его начало и конец, через какие квадранты комплексной плоскости и в каком порядке он пройдёт при изменении частоты ɷ от 0 до .

Прежде всего, находят точки пересечения годографа с осями координат. Для этого решают уравнения:

P)=0  -⁴+2²+9=0  =2,04, т.е. годограф пересекает мнимую ось на частоте ₅=2,04, если в качестве иллюстрации расчётов принять рис.1.7;

Q()=0  (0,5²+1,5)=0  =0, т.е. годограф пересекает действительную (вещественную) ось на частоте ₁=0.

Далее вычисляют значения P(ɷ) и Q(jɷ) при найденных частотах и на бесконечности при ɷ =.

2. Определяют значение угла (), с которым годограф входит в начало координат, по формуле

()=-90^o(n-m), (1.29)

где n и m - степени полиномов p, соответственно, знаменателя и числителя передаточной функции.

По результатам описанных вычислений строится в черновом варианте годограф ЧХ (рис.1.7).

3. Подготавливается таблица вычислений, состоящая из 5-ти строк (табл.1.4).

Таблица 1.4

	1=0	2	3	4=2,04	5	6	7	=
P()				0				0
Q()	0							0
A()								0
()	0			-90o				-180o

В этой таблице прежде всего нужно заполнить первую строку - строку частот . Все остальные строки затем заполнятся вычислениями по формулам (1.26)...(1.28).

Сначала находим частоты ₂ и ₃ для точек годографа, лежащих в 4-м квадранте. Очевидно, что эти частоты должны быть такими, чтобы точки годографа на этих частотах равномерно заполняли бы участок в 4-м квадранте, т.е. угол  между соседними точками был примерно равен 30^о (ни в коем случае не надо стремиться получить точно 30^о, а лучше задать, например, 30^о10^о). Руководствуясь этими соображениями, задаёмся частотой в пределах от 0 до 2,04 (эти значения верны только для рассматриваемого числового примера!) и вычисляем угол . Если он равен 30^о10^о, то нами найдена (точнее - угадана) частота ₂. Если вычисления дали 60^о10^о, то найдена частота ₃. Иначе нужно снова задать значение . Аналогично определяют частоты ₅...₇ для 3-го квадранта.

После заполнения строки частот заполняется значениями вся таблица. По значениям P() и Q( строится годограф W(j) (рис.1.7), а по значениям A() и  строятся АЧХ и ФЧХ (рис.1.8).

Замечание к расчётам по формуле (4.7) значений угла  на калькуляторе, компьютере и по таблицам тригонометрических функций. Во всех перечисленных случаях определяется только главные значения арктангенса - ARCTG(*), - которые находятся в пределах от -90^о до +90^о. Действительное значение угла определяется с учётом структуры выражения, находящегося под знаком arctg, которое является отношением мнимой Q к действительной P части соответствующего комплексного числа. Если P>0, то угол лежит в 1-м или 4-м квадрантах, если P<0, то угол лежит во 2-м или 3-м квадрантах. При Р=0 угол равен 90^о:

где sign(Q) - знак числа Q.

Как видно из приведенных выше приёмов расчёта ЧХ такой расчёт содержит достаточно громоздкие вычисления.