Вопросы для самоконтроля

1. Три формы уравнений равновесия твердого тела?

2. Составление уравнений равновесия для составной конструкции?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 4.1 – 4.80 [2].

Литература: [1], [3], [4].

Лекция 5. Системы пар и сил в пространстве

Момент силы относительно центра

Моментm₀(F) силы F относительно центра О есть вектор, равный по модулю произведению силы F на плечо h и направлен перпендикулярно плоскости в которой лежат радиус-вектор r и сила F (рис. 5.1):

m

Рис. 5.1

₀(F) = r  F

m₀(F) = r*F*sin, где  - угол между векторами r и F.

Направление вектораm₀(F) будет таким, откуда поворот, совершаемый силой, виден происходящим против часовой стрелки.

В координатной форме:

m₀ = r  F = ; откуда m₀ = m_xi + m_yj + m_zk.

Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называется алгебраическая величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью (рис. 5.2).

m

Рис. 5.2

₀(F) = m₀(F_xy) =  F_xy*h.

Момент считается положительным, если с положительного конца оси Z поворот, который сила F_xy стремится совершить, виден происходящим против хода часовой стрелки, и отрицательным, если наоборот.

Замечания.

1. Если сила параллельна оси, то ее момент относительно оси равен нулю (так как F_xy=0)

2. Если линия действия силы пересекает ось, то момент силы равен нулю (так как h =0)

3. Если сила перпендикулярна к оси, то ее момент относительно этой оси равен произведению силы на расстояния между ними.

Пример 1. Найти моменты относительно осейX, Y и Z сил P и Q, которые действуют на горизонтальную плиту (рис. 5.3).

Решение:

С

Рис. 5.3

илаP параллельна оси Z и перпендикулярна осям X и Y, следовательно:

m_x(P) = -P*CK = ;

m_y(P) = P*CN = ;

m_z(P) = 0.

Спроектируем силуQ на плоскость YZ (рис. 5.4):

Q_yz = Q sin, тогда m_x(Q) = Q_yz* b = b * Q * sin.

Относительно оси Y: Q_zx = Q sin, тогда

m_y(Q) = - Q_zx* b = - b * Q * sin.

О

Рис. 5.4

тносительно осиZ: m_Z(Q) = Q_xy* OA = b * Q * cos.

Ответ:

m_x(P) = -P*CK = -P*b/2; m_x(Q) = b * Q * sin

m_y(P) = P*CN = P*a/2; m_y(Q) = - b * Q * sin.

m_z(P) = 0; m_Z(Q) = b * Q * cos.

Аналитические выражения для моментов силы относительно осей координат

Так какm_Z(F) = m₀(F_xy) = m₀(F_x) + m₀(F_y). Это следует из теоремы Вариньона.

Момент силы относительно точки О:

m₀(F) = = (y* F_z – z* F_y)*i – (x* F_z – z* F_x)*j – (x* F_y – y* F_x)*k, где

m_x(F) = y*F_z – z*F_y

m_y(F) = z*F_x – x*F_z тогда: m₀(F) = m_x(F)*i + m_y(F)*j + m_z(F)*k

m_z(F) = x*F_y – y*F_x

Приведение пространственной системы сил к данному центру

Пусть на тело действует пространственная система сил и необходимо эту систему сил привести к центру О.

К

а)

б)

Рис. 5.5

аждую силу приводим к центру О. Для этого параллельным переносом начало вектора каждой силы переносим в центр О и добавляем соответствующий момент (рис. 5.5а):

m₁ = m₀(F₁); m₂ = m₀(F₂); m_n = m₀(F_n);

Получаем новую систему сил, приведенных к центру О: F’₁, F’₂, F’_n и моменты m₁, m₂, m_3.

Систему сил заменяем одной силой R, приложенной в той же точке:

R =  F’_n = F_n.

Систему моментов сил заменяем одним моментом: M₀ = m₀(F_n).

R – главный вектор системы

M₀ – главный момент системы, относительно нового центра О (рис. 5.6).

Таким образом, любая система сил, действующих на твердое тело, при приведении к произвольному центру О заменяется главным вектором системыR, приложенным в центре приведения O и одной парой с моментом M₀, равным главному моменту системы относительно центра О.

В аналитической форме:

R_x =  F_nx, R_y =  F_ny, R_z =  F_nz.

M_x = m_x(F_n), M_y = m_y(F_n), M_z = m_z(F_n).