Сложение пар, лежащих в одной плоскости. Условие равновесия пар

Теорема. Система пар лежащих в одной плоскости, эквивалентна одной паре, лежащей в той же плоскости и имеющей момент, равный алгебраической сумме моментов слагаемых пар.

П

Рис. 3.10

Рис. 3.11

усть на тело действуют три пары сил с моментами:m₁, m₂, m₃ (рис. 3.10). На основании теоремы об эквивалентности пар, мы можем заменить на три пары, имеющие общее плечо (рис. 3.11):

m = m_k.

Для равновесия плоской системы пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов этих пар была равна нулю:

m_k = 0.

П

Рис. 3.12

ример 2.На двухконсольную горизонтальную балку действует пара сил (P, P), на левую консоль р авномерно распределенная нагрузка интенсивностью р, а в точкеD правой консоли – вертикальная нагрузка Q (рис. 3.12). О пределить реакции опор, если Р = 1*10⁴Н, Q = 2*10⁴Н, р = 2*10⁴Н/м, а = 0,8м.

Решение:

Согласно принципу освобождаемости от связей заменим их соответствующими реакциями (рис. 3.13). Выберем систему координат (Оху) и составим условие равновесия балки CD: Рис. 3.13

Распределенную нагрузку интенсивностью р заменим сосредоточенной силой F = p*a, приложенной к середине консоли АС.

Проекции всех сил на ось у: - F + R_Ay + R_B – Q = 0. (1) [2*10⁴*0.8 + R_Ay + R_B – 2*10⁴ = 0]

Проекции всех сил на ось x: R_Ax = 0. (2)

Так как в системе три силы неизвестны, то составим третье уравнение равновесия моментов сил: m_A(F) = F*a/2 + m(P) + R_B*AB – Q*AD = 0. (3)

2*10⁴*0.8/2 + 10⁴ + 2R_B – 3*2*10⁴ = 0.

Уравнения (1) и (3) образуют систему двух неизвестных с двумя переменными:

2*10⁴*0.8 + R_Ay + R_B – 2*10⁴ = 0; R_Ay + R_B – 0,4*10⁴ = 0;

0,8*10⁴ + 10⁴ + 2R_B – 6*10⁴ = 0. - 4,2*10⁴ = - 2R_B.

R_B = 2,1*10⁴ Н, тогда R_Ay = 0,4*10⁴ - R_B = 0,4*10⁴ - 2,1*10⁴ =1,7*10⁴ Н.

Проверка: 2*10⁴*0.8 - 1,7*10⁴ + 2,1*10⁴ – 2*10⁴ = 0.

Ответ:R_A = 1,7*10⁴ Н. (направлена вертикально вниз); R_B = 2,1*10⁴ Н, (направлена вертикально вверх).

Система сил как угодно расположенных в одной плоскости

Т

m = m_B(F)

Рис. 3.14

еорема. Силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно не изменяя оказываемого действия, переносить параллельно ей самой в любую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится (рис. 3.14).

Приведение плоской системы сил к данному центру.

Пусть к твердому телу приложены силыF₁, F₂, … F_n, лежащие в одной плоскости, перенесем их в произвольно выбранный центр О (рис. 3.15а, б).

а) б) в)

Рис. 3.15

Согласно вышеприведенной теоремы при переносе силы в данную точку добавляется пара сил, момент которой будет m = m₀(F). Тогда для данной системы сил получим силы: F₁’= F₁; F₂’ = F₂, …, F_n‘ = F_n и моменты: m₁ = m₀(F₁), m₂ = m₀(F₂), …, m_n = m₀(F_n).

Складывая геометрически силыF₁’, F₂’, …, F_n‘ по правилу силового многоугольника, получим результирующую силу R (силы F₁’; F₂’, …, F_n‘ – сходящиеся):

R= F₁’ + F₂’ + …, + F_n‘ = F_i’.

По теореме о сложении пар следует:

M₀ = m₀(F₁) + m₀(F₂) + …, + m₀(F_n) = m₀(F_i).

ВеличинаR, равная геометрической сумме всех сил системы называется главным вектором системы; величину M₀, равную сумме моментов всех сил системы относительно центра О, будем называть главным моментом системы относительно центра О (рис. 3.15в).

Теорема. Любая плоская система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно выбранному центру О заменяется одной силой R, равной главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом M₀ равному главному моменту системы относительно центра О.