Определение траекторий точек тела

Рассмотрим точку М, положение которой в сечении S определяется рассмотрением от полюса А и углом(рис. 10.4). Если движение тела задано уравнениями (10.1), то координаты х и у точки М в осях О_ху будут:

, (10.2)

где х_А, у_А и φ – известные по уравнениям (10.1) функции времени t. Уравнения (10.2), определяющие закон движения точки М в плоскости О_ху, дают одновременно уравнение траектории этой точки в параметрической форме. Уравнение траектории получается, исключив из системы (10.2) параметр t.

Пример 1.

Для кривошипно-шатунного механизма (рис. 10.4) определить уравнения плоского движения шатуна АВ. Угол поворота кривошипа изменяется согласно закону , гдеk – постоянный коэффициент. Длина кривошипа ОА = r, шатуна АВ = l.

Решение

Рис. 10.4.

Выбираем неподвижную систему координат с началом в точке О. Подвижную систему координат берем с началом в точке А, принадлежащей и кривошипу и шатуну.

Ось х₁ проводим по шатуну АВ, ось у₁ – перпендикулярно к нему. Пусть точка А будет полюсом, тогда уравнения движения полюса имеет вид:

Для нахождения третьего уравнения движения зависимости угла поворота шатуна от времени, спроектируем отрезок АВ на ось у. Обозначая через φ угол между осями х₁ и х₂, находим:

, отсюда

.

Определение скоростей точек тела

Плоскопараллельное движение твердого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся со скоростью полюса V_A, и из вращательного движения вокруг этого полюса.

Рис. 10.4.

Положение любой точки М, лежащей в сечении (S) тела определяется соотношением: , где– радиус-вектор полюса;– вектор, определяющий положение точки М относительно осей Ах΄у΄, перемещающихся вместе с полюсом А поступательно. Тогда

.

В полученном равенстве величина есть скорость полюса А; величинаравна скорости, которую точка М получает при, т.е. относительно осей Ах΄у΄ или, иначе говоря, при вращении тела вокруг полюса А. Таким образом, из предыдущего равенства следует, что

. (10.2)

При этом скорость точки М во вращательном движении вокруг полюса А будет:

, (), (10.3)

где: – угловая скорость вращения тела.

Таким образом, скорость любой точки М тела геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости точки М в ее вращении вместе с телом вокруг этого полюса.

Модуль и направление скорости находятся построением соответствующего параллелограмма (рис. 10.5).

Рис. 10.5

Теорема о проекциях скоростей двух точек тела

Теорема. Проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны друг другу (рис. 10.6):

Рис. 10.6

Определение скоростей точек с помощью мгновенного центра скоростей

Мгновенным центром скоростей (м.ц.с.) называется точка сечения S тела, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Пусть в некоторый момент времени точки А и В сечения S тела имеют скорости V_A и V_B, непараллельные друг другу (рис. 10.7).

Рис. 10.7

Для определения мгновенного центра скоростей в данном случае необходимо из точки А восстановить линию а, перпендикулярную направлению вектора , а из точки В восстановить линиюв, перпендикулярную направлению вектора скорости . Точка пересечения линийа и в является мгновенным центром скоростей для данного тела в этот момент времени. Таким образом, точка Р является м.ц.с. и поэтому скорость этой точки равна нулю в данный момент времени.

Если точку Р взять за полюс, то по формуле (10.2):

, так как .

Учитывая соотношение (10.3) получим

, ()

, (),

отсюда следует:

, (10.4)