Координатный способ задания движения
Положение точки
по отношению к данной системе отсчета
,
можно определить ее декартовыми
координатами
,
,
(рис. 7.2.).
При движении все эти три координаты будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, необходимо знать значения координаты точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости:
; 
;
. (7.2)
Уравнения (7.2) представляют собой уравнения движения точки в декартовых координатах.
В случае плоского
движения, например, точка движется в
плоскости
,
ее уравнения движения задаются в виде:
,
(7.3)
Рис. 7.2.
Уравнения (7.2),
(7.3) представляют одновременно уравнения
траектории точки в параметрической
форме, где роль параметра играет величина
.
Исключив параметр
,
можно найти уравнение траектории в
обычной форме, т.е. в виде, дающем
зависимость между ее координатами:
–для пространственного
движения;
–для плоского
движения.
Векторный способ задания движения
Пусть точка
движется по отношению к некоторой
системе отсчета
.
Положение этой точки можно определить,
задав вектор
,
проведенный из начала координат
в точку
.
Вектор
называется радиусом – вектором точки
.
При движении точки
вектор
будет с течением времени изменяться и
по модулю и по направлению. Следовательно,
можно задать вектором-функцией, зависящим
от аргумента
:
(7.4.)
Геометрическое
место концов вектора
,
т.е. годограф этого вектора, определяет
траекторию движущейся точки. Проектируя
уравнение (7.4.) на оси координат получим:
; 
;
. (7.5).
Пример 1.
Заданы уравнения движения точки в координатной форме:
; 
(плоское движение). Значения
и
в сантиметрах. Определить траекторию
движения точки.
Решение.
Для определения
траектории движения точки, необходимо
исключить параметр
из уравнений движения, заданных в
координатной форме. Для этого возведем
в квадрат данные уравнения:
,
отсюда:
.
Сложим соответственно левые и правые части полученных уравнений:
,
Отсюда следует:
,
так как
.
Это есть каноническое уравнение эллипса с полуосями 5 и 8 см. Таким образом, данная точка совершает движение по эллипсу (рис.7.3.)
Y
8
X, см
-8
5
-5
Рис. 7.3.
Ответ: траектория движения точки – эллипс.
Пример 2.
Уравнения движения
точки на плоскости
задано:
,
.
Определить траекторию движения точки.
Решение.
Исключим параметр
из уравнений. Для этого из первого
уравнения определим, что
и подставим во второе уравнение:
.
Таким образом,
получим:
.
Графиком траектории движения точки является парабола (рис. 7.4.).
Рис. 7.4
Ответ:
– уравнение движения точки.
Пример 3.
Задано уравнение движения точки в векторной форме:
.
Составить уравнение движения точки в координатной форме.
Решение.
Вследствие того,
что
,
то отсюда следует:
; 
;
Ответ: уравнение
движения точки:
;
;
.
Вопросы для самоконтроля
Что изучает кинематика?
Способы задания движения точки?
Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 10.1 – 10.23 [2].
Литература: [1], [3], [4].
Лекция 8
Вектор скорости точки
Скоростью
называется
векторная величина, модуль которой
определяется изменением пройденного
пути за единицу времени. Скорость будем
обозначать символом
,
а ее модуль –
,
тогда:
;
.
Рис.8.1.
Так как скорость – вектор, то кроме модуля скорость имеет точку приложения и направление. Направление вектора скорости совпадает с направлением касательной к траектории движения точки в каждый момент времени.
Размерная скорость в СИ – м/с.
Вектор ускорения точки
Ускорением называется векторная величина, определяемая как изменение скорости в единицу времени.
(рис.8.2.)
Рис. 8.2
Размерность ускорения – м/с.
Определение скорости и ускорения точки при векторном способе задания движения (рис. 8.3)
Скорость точки определяется:
.
Рис. 8.3
Ускорение точки определяется:
.
Определение скорости и ускорения точки при
координатном способе задания движения
Определение скорости точки
Так как вектор
скорости точки определяется:
,
отсюда, учитывая уравнения,
;
;
,
получим:
;
;
или
;
;
.
Модуль скорости
определяется:
.
Направление вектора
скорости определяется через направляющие
углы
,
,
:
;
;
.
Определение ускорения точки
Так как вектор
ускорения точки
,
то, проектируя это уравнение на оси
координат, получим:
;
;
;
или
;
;
.
Модуль и направление вектора ускорения определим соответственно по формулам:
;
;
;
,
где:
,
,
– углы, образованные вектором ускорения
с осями координат.
В случае плоского
движения, например, в плоскости
проекции скорости и ускорения на ось
равны нулю. При прямолинейном движении,
например, вдоль оси
уравнение движения задается в виде:
,
тогда:
;
.
Определение скорости при естественном способе задания движения
Пусть даны (рис.
8.4.) траектория точки и закон движения
вдоль этой траектории в виде:
.
Рис. 8.4
За промежуток
времени
точка проходит расстояние
,
перемещаясь из положения
в
,
тогда скорость на этом участке можно
определить:
.
Модуль скорости
в данный момент времени определяется
первой производной от расстояния
точки по времени.
Направлен вектор скорости по касательной к траектории и приложен к точке траектории, соответствующей данному моменту времени.
Касательное и нормальное ускорения точки
Касательное
ускорение точки равно первой производной
от модуля скорости или второй производной
от расстояния по времени. Касательное
ускорение обозначается –
.
.
Касательное ускорение в данной точке направлено по касательной к траектории движения точки; если движение ускоренное, то направление вектора касательного ускорения совпадает с направлением вектора скорости; если движение замедленное – то направление вектора касательного ускорения противоположно направлению вектора скорости. (рис. 8.5.)
Рис. 8.5
Нормальным ускорением точки называется величина, равная квадрату скорости, деленному на радиус кривизны.
Вектор нормального
ускорения направлен от данной точки к
центру кривизны, (рис.8.6.). Нормальное
ускорение обозначается
.
–нормаль к данной
точке на траектории движения.
Рис. 8.6.
Полное ускорение
точки
определяется из векторного уравнения:
Рис. 8.7
Зная направление
и модули
и
,
по правилу параллелограмма определим
ускорение, соответствующее данной точке
траектории движения. Тогда модуль
ускорения
определим:
.
Пример 1.
Определить
траекторию, скорость и ускорение середины
шатуна кривошипно-шатунного механизма,
если
,
а угол
при вращении кривошипа растет
пропорционально времени:
(рис. 8.8.)
Рис. 8.8
Решение.
Определим уравнение
движения точки
.
Для этого определим координаты точки
в произвольном положении:
;
.
Получим уравнения
движения точки
:
или, учитывая, что
:
.
Представим полученные уравнения в виде:
.
Возводя эти равенства почленно в квадрат и складывая, получим:
.
Траектория точки
представляет эллипс с полуосями
и
.
Определим проекции
скорости точки
на оси координат:
.
Модуль скорости
точки
:
.
Определим проекции
ускорения точки
на оси координат:
.
Модуль ускорения определится как:
,
где
– длина радиуса вектора, проведенного
из начала координат в точку
.
Для определения
направления ускорения точки
найдем направляющие косинусы:
,
.
Отсюда следует,
что вектор ускорения
все время направлен от точки
к центру эллипса. ( Рис. 8.8. )
Пример 2.
Даны уравнения
движения точки:
;
.
Определить уравнение
траектории точки для момента времени
.
Найти положение точки, скорость и
ускорение точки, а также ее касательное
ускорение и радиус кривизны траектории
в этой точке.
Решение.
Определим траекторию движения точки по уравнениям:
.
Отсюда, возведя в квадрат обе части уравнений и складывая отдельно левые и правые части, получим:
Траектория движения точки представляет эллипс с полуосями 2 и 4 с центром в точке с координатами (0,6) (рис. 8.9).
Рис. 8.9
В момент времени
точка находится в положении
с координатами:
;
,
т.е.
(8.2).
Определим проекции
скорости точки
:
При
получим:
;
.
Модуль скорости
при
будет:
Отсюда следует, что точка движется по траектории по часовой стрелке. Вектор скорости направлен по касательной к траектории.
Определим проекции ускорения:
,
.
При
проекции ускорений будут:
,
.
Модуль ускорения:
,
.
Определим касательное
ускорение точки при
.
Так как
,
.
Тогда
.
Вследствие того,
что
,
.
Отсюда:
.
Подставляя численные значения, получим:
.
Нормальное ускорение точки в данный момент времени:
,
.
Радиус кривизны
в точке при
будет:
,
.