Центр тяжести. Центр параллельных сил

Рассмотрим систему параллельных и одинаково направленных силF₁, F₂, …, F_n приложенных к телу в точках A₁, A₂, …, A_n. Эта система имеет равнодействующую R, направленную как слагаемые силы, а по модулю равна: R = å F_i.

Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей силы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.

Формулы для определения координат центра параллельных сил:

; ;.

Центр тяжести твердых тел

Твердое тело состоит из набора частиц, которые обладают силой тяжести. Силы тяжести всех этих частиц направлены к центру Земли, но, учитывая, что размеры Земли несоизмеримо больше размеров тела, то эти силы можно считать параллельными.

Таким образом, центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц данного тела при любом положении тела в пространстве.

Координаты центра тяжести тела как центра параллельных сил определяются по формулам:

; ;,

где Pi – сила тяжести i-ой частицы тела;

P – сила тяжести всего тела: P = å P_i.

Координаты центра тяжести однородного тела:

; ;,

где Vi – объем i-ой частицы тела;

V – объем тела, V = å V_i.

Координаты центра тяжести однородной линии:

; ;,

где li – длина i-ой части линии;

L – длина всей линии, L = å l_i.

Определение координат центра тяжести однородной плоской фигуры

Координаты однородной плоской фигуры определяются по формулам:

, (6.2)

, (6.3)

где X_ic, Y_ic – координаты центра тяжести

i - части фигуры,

S_i - площадь i – части фигуры.

Центры тяжести некоторых однородных тел:

1. Треугольник

, (6.4)

, (6.5)

где x₁, x₂, x₃, y₁, y₂, y₃ – соответственно абсциссы и ординаты вершин треугольника.

2. Круговой сектор (рис. 6.4):

Рис. 6.4

(6.6)

Площадь сектора: S = R² (6.7)

3. Круговой сегмент (рис. 6.5):

Рис. 6.5

, (6.8)

Площадь сегмента: S = ½ R²(2 – sin 2), (6.9)

Примеры выполнения заданий

Задача 1 (способ разбиения)

Определить координаты центра тяжести плоской фигуры, представленной на

рис. 6.6:

Рис. 6.6

Решение

Разбиваем данное плоское тело на части, для каждой из которых положение центра тяжести известно. Тогда координаты центра тяжести всего тела можно вычислить по формулам (1) и (2).

В данном случае тело разбиваем на прямоугольник ABCL, треугольник LFK и полукруг CDF (рис. 6.7):

Рис. 6.7

Рассмотрим отдельно каждую часть фигуры:

1. Прямоугольник ABCL

Центр тяжести (С₁) определяется на пересечении диагоналей АС и BL, т.е.

.

Площадь определяется: S₁ = AL * AB

Подставляя численные значения, получим:

X₁c = 15 мм; Y₁c = 20 мм; S₁ = 1200 мм².

2. Треугольник LFK

Координаты центра тяжести (С₂) определяются по формулам (3); (4).

Из рисунка видно, что координаты вершин являются:

L(30;0); F(30;20); K(45;10)

Площадь

,

где h – высота треугольника, опущенная из вершины К на сторону FL.

Подставляя численные значения, получим:

3. Полукруг CDF.

Координаты центра тяжести (С₃) определяем по формуле (5).

Так как R = 10 мм; b = 20 мм; , то, подставляя численные значения, получим:

X_3C = 34 мм; Y_3C = 30 мм; S₃ = 157 мм².

Для вычисления центра тяжести плоской фигуры составим таблицу:

Номер элемента	Si мм2	Xci, мм	Yci, мм	SiXci, мм3	SiYci, мм3
1	1200	15	20	18000	24000
2	150	35	10	5250	1500
3	157	34	30	5350	4700
	1507	-	-	28600	30200

В соответствии с формулами (1), (2) получим, что координаты центра тяжести всей фигуры будут:

Ответ: координаты данной плоской фигуры:

Задача 2 (способ дополнения)

Определить площадь плоской фигуры, изображенной на рис. 6.8

Рис. 6.8

Решение.

Разбиваем данное плоское тело на части согласно рисунку 6.9:

Рис. 6.9

I часть II часть III часть

- - -

прямоугольник ABKN треугольник CDF полукруг LMN

Причем площади дополняющих фигур треугольника CDF и полукруга LMN берутся с отрицательным знаком.

Рассмотрим отдельно каждую часть фигуры:

1. Прямоугольник ABKL

Центр тяжести (С₁) определяется на пересечении диагоналей BN и AK,т.е.

площадь определяется: S₁ = AN * BA

Подставляя численные значения, получим:

X_1C = 30 мм.; Y_1C = 15 мм.; S₁ = 1800 мм²

2. Треугольник CDK

Координаты центра тяжести (С₂) определяем по формулам (3), (4).

Из рисунка видно, что координаты вершин треугольника являются:

С(30;30); F(20;30); D(42;15)

Площадь

где h – высота треугольника, опущенная из вершины D на сторону CF.

Подставляя численные значения, получим:

3. Полукруг MNL.

Координаты центра тяжести (С₃) определяем по формуле (5).

Так как R = 10 мм; b = 20 мм; , то, подставляя численные значения, получим:

Y_3C = 10 мм.

Для вычисления центра тяжести плоской фигуры составим таблицу:

Номер элемента	Si Мм2	Xci, мм	Yci, мм	SiXci, мм3	SiYci, мм3
1	1800	30	15	54000	27000
2	-150	30,7	25	-4605	-3750
3	-157	34,3	10	-5385,1	-1570
	1493	-	-	44009,9	21680

В соответствии с формулами (1), (2) получим, что координаты центра тяжести всей фигуры будут:

Ответ: координаты данной плоской фигуры: X_C = 29,5 мм; Y_C = 14,5 мм.