- •Лекция8 Понятие функции одной и нескольких переменных
- •8.1. Основные элементарные функции, их графики
- •8,5. Бесконечно большие функции одной переменной, их связь с бесконечно малыми.
- •8.6. Теоремы о пределах.
- •Непрерывность функции в точке, на отрезке, в области.
- •Лекция 9 Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •9.1. Понятие производной функции в точке.
- •9.2. Основные правила и формулы дифференцирования.
- •9.3. Дифференциал функции, его свойства.
- •9.4. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •9.5. Экстремум функции одной переменной
- •Необходимое и достаточные условия существования экстремумов функции одной переменной
- •2.3.6. Точки перегиба, Выпуклость, вогнутость линии
- •9.6. Асимптоты функции
- •2.3.8. Исследование функции одной переменной (общая схема)
- •9.7. Экстремумы функции двух переменных
- •9.8. Формула Тейлора
2.3.8. Исследование функции одной переменной (общая схема)
Общая схема исследования функции одной переменной.
1.Найти область определения функции. Это совокупность значений х, для которых можно вычислить значения у, пользуясь непосредственно уравнением y = f(x), или f(x, y) =0. Иначе, область определения функции есть множество значений х, при которых функция имеет смысл.
2.Найти точки пересечения графика функции с осями координат. В точке пересечения графика функции с осью Ох : у = 0, с осью Оу: х=0.
3.Исследовать функцию на четность, нечетность:условие четности: f(-x) = f(x).
условие нечетности: f(-x)=-f(x).
График четной функции симметричен относительно Оу,
нечетной – относительно начала координат.
4.Найти точки разрыва функции, если они есть, то найти односторонние пределы в каждой такой точке.
5.Найти асимптоты графика функции.
Если есть точка разрыва второго рода х = а, то существует вертикальная асимптота х = а.
Наклонная асимптота определятся уравнением
у = х+b,
где
6.Найти интервалы монотонности. Точки экстремумов.
7.Найти интервалы выпуклости, вогнутости. Точки перегиба.
8.Построить график функции.
9.7. Экстремумы функции двух переменных
Пусть D – область определения функции z=f(x, y); M0(x0, y0).
Если значение функции z=f(x, y) в точке M0 является наибольшим (наименьшим) по сравнению с другими ее значениями в -окрестности точки M0, то это значение называется максимумом (минимумом) функции, а точка M0 - точкой максимума (минимума).
Максимумы и минимумы функции, как сказано ранее, называют экстремумами.
Необходимые условия существования экстремума: если функция z=f(x, y) имеет в точке экстремум, то частные производные функции в этой точке равны нулю или хотя бы одна из частных производных не существует.
Как и прежде, точки, в которых выполняются необходимые условия существования экстремума функции z=f(x, y) , называются критическими.
Достаточное условие существования экстремума: чтобы функция
z=f(x, y) имела в критической точке экстремум, достаточно, чтобы в этой точке выполнялось условие
Если при этом , тоР0 - точка минимума;
если ,то Р0 - точка максимума.
При экстремум в точкеР0 не существует.
При требуется непосредственное исследование значений функции в точкеР0 и в точках ее окрестности.
9.8. Формула Тейлора
Многочлен с такими коэффициентами имеет вид
При замене функции y=f(x) многочленом Р(х) допускается погрешность, определяемая разностью откуда
или
Разность называетсяостаточным членом. Чем меньше , тем ближеР(х) к f(x) .Итак, где значениезаключено междух и х0.Это выражение называется формой Лагранжа для остаточного члена.Значение можно представить равенствомθ, где 0<θ<1, так какзаключено междух и х0.
Равенство называетсяформулой Тейлора.
В частности, если х0=0, то получим формулу Маклорена: