2.3.8. Исследование функции одной переменной (общая схема)

Общая схема исследования функции одной переменной.

1.Найти область определения функции. Это совокупность значений х, для которых можно вычислить значения у, пользуясь непосредственно уравнением y = f(x), или f(x, y) =0. Иначе, область определения функции есть множество значений х, при которых функция имеет смысл.

2.Найти точки пересечения графика функции с осями координат. В точке пересечения графика функции с осью Ох : у = 0, с осью Оу: х=0.

3.Исследовать функцию на четность, нечетность:условие четности: f(-x) = f(x).

условие нечетности: f(-x)=-f(x).

График четной функции симметричен относительно Оу,

нечетной – относительно начала координат.

4.Найти точки разрыва функции, если они есть, то найти односторонние пределы в каждой такой точке.

5.Найти асимптоты графика функции.

Если есть точка разрыва второго рода х = а, то существует вертикальная асимптота х = а.

Наклонная асимптота определятся уравнением

у = х+b,

где

6.Найти интервалы монотонности. Точки экстремумов.

7.Найти интервалы выпуклости, вогнутости. Точки перегиба.

8.Построить график функции.

9.7. Экстремумы функции двух переменных

Пусть D – область определения функции z=f(x, y); M₀(x₀, y₀).

Если значение функции z=f(x, y) в точке M₀ является наибольшим (наименьшим) по сравнению с другими ее значениями в -окрестности точки M₀, то это значение называется максимумом (минимумом) функции, а точка M₀ - точкой максимума (минимума).

Максимумы и минимумы функции, как сказано ранее, называют экстремумами.

Необходимые условия существования экстремума: если функция z=f(x, y) имеет в точке экстремум, то частные производные функции в этой точке равны нулю или хотя бы одна из частных производных не существует.

Как и прежде, точки, в которых выполняются необходимые условия существования экстремума функции z=f(x, y) , называются критическими.

Достаточное условие существования экстремума: чтобы функция

z=f(x, y) имела в критической точке экстремум, достаточно, чтобы в этой точке выполнялось условие

Если при этом , тоР₀ - точка минимума;

если ,то Р₀ - точка максимума.

При экстремум в точкеР₀ не существует.

При требуется непосредственное исследование значений функции в точкеР₀ и в точках ее окрестности.

9.8. Формула Тейлора

Многочлен с такими коэффициентами имеет вид

При замене функции y=f(x) многочленом Р(х) допускается погрешность, определяемая разностью откуда

или

Разность называетсяостаточным членом. Чем меньше , тем ближеР(х) к f(x) .Итак, где значениезаключено междух и х_0.Это выражение называется формой Лагранжа для остаточного члена.Значение можно представить равенствомθ, где 0<θ<1, так какзаключено междух и х_0.

Равенство называетсяформулой Тейлора.

В частности, если х₀=0, то получим формулу Маклорена: