Лекция 9 Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции)

Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке:k≤ f(x)≤K

Теорема 2 (теорема Вейерштрасса).

Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке наименьшего значенияи наибольшего значения

Теорема 3 (теорема Больцано-Коши) .

Если функция непрерывна на отрезке и значения ее на концах отрезкаиимеют противоположные знаки, то естьf(a) f(b) < 0,

то внутри отрезка найдется точка такая, что .

Теорема 4 (о непрерывности основных элементарных функций).

Основные элементарные функции непрерывны в области определения.

Аналогичная теорема имеет место для элементарных функций, то есть функций, полученных из основных элементарных с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции (функция от функции).

Теорема 5 (о непрерывности элементарных функций).

Элементарные функции непрерывны в области определения

Теорема 6 (о промежуточных значениях непрерывной функции).

Пусть функция непрерывна на некотором отрезке (в том числе бесконечном). Если в двух каких- либо точках этого отрезка а и в функция принимает различные значения: f(a)=A; f(b)=B, то каково бы ни было С , лежащее между А и В, найдется x, лежащее между а и b , что f(x)= C.

Непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, принимает хотя бы раз и всякое промежуточное значение.

9.1. Понятие производной функции в точке.

Из школьного курса математического анализа известно, что для функции одной переменной , которая определена и непрерывна в областиD,

приращении функции есть разность

,

где-приращение аргумента.

Рассмотрим функцию нескольких переменных

u = f(M) или

u=f(х, у,…z),

которая определена и непрерывна в области D.

Для таких функций введем понятия полного и частного приращений функций. Пусть первая координата х точки М получает приращение и становится равной. Другие координаты точкиМ ( аргументы данной функции), остаются без изменения. Точка М(х, у,…z) преобразована в точку

М(х +), функция при этом изменила свое значение на величину

f (М) – f (М) = или

,

называется частным приращением функции f по х.

Аналогично можно определить частные приращения по другим переменным:

- частное приращение функции f по y,

- частное приращение функции f по z.

Полным приращением функции u=f(х, у,…z) называется

.

Если существует конечный или бесконечный предел отношения частного приращения функции по одной из независимых переменных к приращению этой независимой переменной при условии, что последнее приращение стремится к нулю произвольным образом, то он называетсячастной производной данной функции по соответствующей независимой переменной в точке , обозначают:

Если функция зависит от одного аргумента:, то, как известно, ограничиваются термином «производная функции» ,обозначают

.

Также встречается следующие обозначения производных:

• для функции одной переменнойy = f(x) производную обозначают

• в случае функции двух переменных z = f(x, y) обозначают

частную производную функции f (x,y) по х:

частную производную функции f (x,y) по y:

.