Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
часть 2.doc
Скачиваний:
127
Добавлен:
08.02.2016
Размер:
716.8 Кб
Скачать

9.2. Основные правила и формулы дифференцирования.

Таблица производных.

Процесс нахождения производной называют дифференцированием функции. Пользуясь определением производной и теоремами о пределах, можно вывести правила и формулы дифференцирования основных элементарных функций.

Таблица производных.

Пусть с – постоянная,

u = u(x) и v = v(x) функции.

  1. (с) = 0 2. (u + v) = u + v

3. (u · v) = uv + u v, в частности (cu) = с · u

4. , в частности

5. y = f(u) – сложная функция, где u = u(x), тогда

.

6. , ,в частности .

7. ,в частности

8. , в частности .

9.10.

11.12.

13.14.

15.16.

  1. Показательно-степенная функция

, u = u(x), v = v(x)

равенства выразить .

9.3. Дифференциал функции, его свойства.

Пусть дана функция u = f(M) = f(x, y,…,z), D -область определения.

Если координатам точки М задать приращения, то получим новую точку

Полное приращение функции u в точке М (смотри 2.2.1.) :

Главная часть приращения функции

называется полным дифференциалом данной функции u = f(x, y, …,z) в точке M(x, y,…,z) и обозначается

В частности, имеем соответственно

илидля u = f(x)

для u = f(x, y)

дляu = f(x, y, z)

Свойства дифференциалов

  1. если С – постоянная величина, то dC= 0;

  2. , т.е. постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала;

9.4. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма. Если функция y=f(x) непрерывна в (а, b), имеет экстремум - max (min) в некоторой внутренней точке и дифференцируема в этой точке, то ее производная в этой точке равна нулю:

.

Теорема Роля. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на (a, b) и имеет на концах отрезка равные значения f(a) = f(b)=c , то на интервале (a, b) существует хотя бы одна точка х = х0 такая, что f /(x0) =0

Действительно. Так как функция непрерывна на [a, b], то, по теореме Вейерштрасса (2.1.13) она имеет на этом отрезке наименьшее и наибольшее значения: m и М.

  • Если m= М, то f /(x0)- const и для любого имеем f /(x0) =0.

  • Если ,то хотя бы одно из этих значений соответствует внутренней точке ,но тогда по теореме Ферма имеем f /(x0) =0.

Геометрический смысл теоремы Роля состоит в том, что существует хотя бы одна точка (x0 , f(x0)) такая, касательная в которой к графику функции y=f(x) будет параллельна оси Ох.

Теорема Коши. Если функция и непрерывны на [a, b], дифференцируемы на (a, b), причем , то существует хотя бы одна точка , такая, что

Теорема Лагранжа. Если y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), то существует хотя бы одна точка такая, что .

Теорема Лопиталя. Пусть функции y=f(x) и в окрестности точки х= а непрерывны, дифференцируемы и . При этом при или одновременно или

Тогда, если существует , то также существует, причем.

9.5. Экстремум функции одной переменной

Рассмотрим следующие виды монотонных функций. Очевидно, что если

1) x1<x2 y1<y2,тогда y=f (x)- возрастающая функция, ;

2)x1<x2 y1>y2 тогда y=f(x) – убывающая функция, ;

3)x1<x2 , ,тогда y=f3(x) – неубывающая функция, в этом случае существует отрезок [a, b], для которого у сохраняет постоянное значение,

4) x1<x2 ,y=f (x) – невозрастающая функция, существует

определенный отрезок [c, d], для точек которого у является постоянным,.

Необходимые условия монотонности функции:

1)если функция y=f(x) возрастает на (a, b), то f /(x)>0 для ;

2) если y=f(x) - неубывающая функция на (a, b), то для;

3)если функция y=f(x) убывает на (a, b),тодля ;

4) если функция y=f(x) является невозрастающей на (a, b),тодля.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.