8,5. Бесконечно большие функции одной переменной, их связь с бесконечно малыми.

Рассмотрим функцию , определенную на множество,- предельная точка множества.

Функция называетсябесконечно большой при , если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа, найдется такое положительное число(зависящее от, что для всех, не равныхи удовлетворяющих условию, будет верно неравенство.

Запись того, что функция бесконечно большая при, следующая:

или при.

Краткая запись этого определения:

функция бесконечно большая при, если для

, что ;выполняется

Для бесконечно больших функций имеют место следующие свойства.

Если и, (,), тогда

1. 

2. 

3. если , то

4. Связь между бесконечно малой и бесконечно большойфункциями отметим в следующем свойстве:

если функция есть бесконечно малая величина при, то функцияявляется бесконечно большой при.

И обратно, если функция бесконечно большая при, то функцияесть величина бесконечно малая при.

То есть, если , то

и наоборот, если , то.

Например, является бесконечно малой при, тогда, то есть является бесконечно большой при.

8.6. Теоремы о пределах.

Пусть и- функции, для которых существуют пределы при(или при):,.

Сформулируем основные теоремы о пределах.

1. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, то есть

.

2. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, то есть

.

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, то есть .

3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), то есть

.

4. Если , то предел сложной функцииf[(x)] равен

.

5. Теорема о переходе к пределу в неравенстве.

Если в некоторой окрестности точки

, то .

6. Теорема о пределе промежуточной функции.

Если в некоторой окрестности точки функциязаключена между двумя функциямии, имеющими одинаковый предел - число,

то функция имеет тот же предел,

то есть, если

и ,

то

Первым замечательным пределом называют ,

Вторым замечательным пределом называют

или

,

где число e = 2.71828… - иррациональное число, называемое неперовым числом, так как найдено Непером в XVII веке. Число e находит применение в математическом анализе, является основанием натуральных логарифмов.

7. Непрерывность функции в точке, на отрезке, в области.

Функция u = f(M) называется непрерывной в точке М₀, если она определена в этой точке и ее окрестности и

.

Функция u = f(M) называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Функция одной переменной y = f(x) называется непрерывной на интервале (a, b) или на отрезке [a, b], если она непрерывна в каждой точке этого интервала или этого отрезка.

Для функция одной переменной y = f(x) определение непрерывности в точке, используя теорему о существовании предела, можно сформулировать таким образом:

функция y = f(x) является непрерывной в точке х = х₀ , если:

1. функция определена в этой точке х = х₀ и ее окрестности;

2. существуют односторонние пределы:

;

3. односторонние пределы равны и равны значению функции в точке х₀:

;

Данное определение часто используют на практике при исследовании функции на непрерывность.

Приведем краткую запись определения непрерывности функции в точке х₀

f – непрерывна в т. х₀ ,если

Имеют место следующая

Теорема (об арифметических операциях над непрерывными функциями в точке) :

Если функции f₁(M), f₂(M) непрерывна в точке М₀, то будут непрерывными в этой точке также функции:

Из определения непрерывности функции в точке , следует, что символы предела и функции можно переставить, если функция непрерывна в точке, то есть

.

7. Точки разрыва функции одной переменной, их классификация

В предыдущем разделе введено понятие функции непрерывной в точке:

Функция y = f(x) является непрерывной в точке х = х₀ , если:

1. она определена в этой точке х = х₀ и ее окрестности;

2. существуют односторонние пределы:

;

3. односторонние пределы равны и равны значению функции в точке х₀:

;

Таким образом, для непрерывной функции в точке хнеобходимо и достаточно, чтобы

Функция имеет точку разрыва, если хотя бы одно из условий 1)-3)

не выполнено в точке х

Введем следующую классификацию точек разрыва:

• Точка называетсяточкой разрыва 1^го рода, если существует

-односторонние пределы, они конечны, но не равны друг другу

(разрыв конечного скачка);

-односторонние пределы равны, но не равны значения функции в точке (устранимый разрыв).