
- •Лекция8 Понятие функции одной и нескольких переменных
- •8.1. Основные элементарные функции, их графики
- •8,5. Бесконечно большие функции одной переменной, их связь с бесконечно малыми.
- •8.6. Теоремы о пределах.
- •Непрерывность функции в точке, на отрезке, в области.
- •Лекция 9 Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •9.1. Понятие производной функции в точке.
- •9.2. Основные правила и формулы дифференцирования.
- •9.3. Дифференциал функции, его свойства.
- •9.4. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •9.5. Экстремум функции одной переменной
- •Необходимое и достаточные условия существования экстремумов функции одной переменной
- •2.3.6. Точки перегиба, Выпуклость, вогнутость линии
- •9.6. Асимптоты функции
- •2.3.8. Исследование функции одной переменной (общая схема)
- •9.7. Экстремумы функции двух переменных
- •9.8. Формула Тейлора
Лекция8 Понятие функции одной и нескольких переменных
Если каждой точке
по некоторому правилу
ставится в соответствие единственное
действительное число
Ø,
то
называютфункцией,
причем называют D
– область
определения
функции; E
– область
изменения
функции.
Точка
является аргументом функции. Правило
,
однако, применимо не к самой точке, а к
ее координатам.
Таким образом,
функция
устанавливает связь между точками
и точками некоторого множества одномерного
пространства
.
Область определения
четной
и нечетной
функции симметрична относительно начала
координат. Если это условие не выполнено,
то функция не является четной и не
является нечетной.
Функция
называетсяпериодической, если существует такое положительное число Т, что при любом значении
выполняется равенство
,
число Т называют периодом функции.
Функция
называетсявозрастающей на множестве
, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть для любых
, таких, что
, выполняется неравенство
.
Функция
называетсяубывающей на множестве
, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: если
,
то
для любых
.
8.1. Основные элементарные функции, их графики
Особую роль в математическом анализе играют элементарные функции.
Основными элементарными функциями называют:
степенную функцию
;
логарифмическую функцию
;
показательную функцию
;
тригонометрические функции
;
обратные тригонометрические функции
.
Функцию называют элементарной, если ее аналитическое выражение составлено из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий и операции суперпозиции (функции от функции), примененных конечное число раз.
8.2. Предел функции в точке
Говорят, что есть предельная
точка
множества
,
если в любой окрестности этой точки
содержится бесконечное множество точек
.
Обозначают
.
Используя логические символы данное определение можно записать таким образом:
,
что для
,
как только
,
выполняется
.
В частности,
для функции одной переменной
;
- предельная точка.
Определение предела
можно записать таким образом:
,
что для
:
как только
выполняется
;
8.3. Односторонние пределы функции одной переменной.
Теорема существования предела
Предел функции
при
называетсялевосторонним
и обозначается
,если
точка
остается все время слева от
,
что означает выполнение неравенства
.
Аналогично
определяется и обозначается правосторонний
предел:
Теорема о существовании предела.
Функция
имеет в точке
предел, равный
,
тогда и только тогда, когда существуют
односторонние пределы в точке
,
и они равны между собой и равны числу
.
8.4. Бесконечно малые функции, их классификация
Важное значение в дальнейшем имеют функции, пределы которых в точках равны нулю.
Функция
называетсябесконечно малой в точке
, если
.
Классификация бесконечно малых функций
Если
,
причем
и
то
и
называютсябесконечно
малыми одного порядка малости (скорости
приближения
и
к нулю являются почти равными).
Если
,
то
- бесконечно малаяболее
высокого порядка
малости,
чем
(
приближается к нулю быстрее, чем
).
Обозначают
.
Если,
то
и
называютсяэквивалентными
бесконечно малыми в окрестности точки
М0
(
и
приближаются к0
с одной скоростью). Обозначают:
~
.