Аналітичні обчислення

Пакет Mathсadмістить велику кількість команд аналітичних обчислень. Найбільш прості:Expand– розкриття дужок,Collect– приведення членів,Factor– розкладання на множники,Simplify–  спрощення виразів.

Приклад

Використання символьного знака рівності:

Expand – розкриття дужок

Для поліноміальних виразів розкриває дужки, а дрібно-раціональні вирази приводить до виду, придатному для інтегрування. При цьому команду Expandтреба використовувати з панеліSymbolic.

Приклад

Collect – приведення членів

Команда Collectвикористовується для приведення подібних членів (групування по ступенях) у виразі А за змінною VAR.

Приклад

Simplify – спрощення виразів

Режим автоматичного спрощення полягає у використанні інформації про властивості математичних функцій для перетворення виразів до більш компактної форми. При цьому команду Simplifyтреба використовувати з панеліSymbolic.

Приклад

Розв’язання диференційних рівнянь

Для розв’язання диференційних рівнянь можна використовувати функцію rkfixed. Щоб розв’язати диференційне рівнянняn-го порядку, треба

• задати вектор початкових умов,

• розв’язати рівняння відносно старшої похідної та привести його до n-рівнянь першого порядку.

• скористатися функцією rkfixed з наступними аргументами: вектор початкових умов, початкове та кінцеве значення інтервалу, на якому шукається рішення, кількість точок, в яких шукається рішення, та вектор правих частин.

Приклад

Знайти рішення рівняння с початковою умовою y(0)=4на інтервалі від 0 до 5 в 100 точках. Приведемо рівняння до виду.

Ввести:

y₀:=4

D(x,y):=–3*y₀

Z:=rkfixed(y,0,5,100,D)

Z=

Для побудови графіка треба задати n:=0..99, потім вставити графік, задавши по осі абсцис Z_n,0, по осі ординат Z_n,1.

Приклад

Знайти рішення для диференційного рівняння четвертого порядку з початковими умовамиy(0)=0; ;;;k=3 на інтервалі от 0 до 0.5 с кроком 0.001. Вирішуємо рівняння відносно старшої похідної:. Потім приводимо дифрівняння четвертого порядку до системи із чотирьох рівнянь першого порядку:

Потім набираємо:

Z:=rkfixed(y, 0, 0.5, 500, D)

Z=

В результаті отримаємо таблицю значень: перший стовбець – час або Z_n,0, другий –y(t) або Z_n,1, третій –абоZ_n,2четвертийабоZ_n,3п’ятий –абоZ_n,4.

Для побудови графіків змінних треба задати n:=0..499,а потім вставити графік та набрати по осі абсцис Z_n,0, по осі ординат одну з змінних Z_n,1, Z_n,2, Z_n,3, Z_n,4.або всі разом на одному графіку через кому.

2. Лабораторне завдання

Кожне завдання виконувати у окремому документі, результати виконання зберегти у новому файлі за ім’ям zav_(номер завдання), на приклад: zav_1.

1. Обчислення функцій

Згідно варіанту визначити функції Р(a, b, x) та R(a, b, x) та обчислити їх для значення аргументу x, якій вибрати самостійно з урахуванням області існування функції. Обчислення виконати двома способами.

Варіанти завдань

1	;		a=2.95; b=1;
2		;	a=3; b=0.3;
3	;		а = 0.52; b = 2;
4			а = 7;
5			a=7.4;
6			а = 1.2; b = –0.7;
7			а=3.18; b=2;
8			а=8;
9			а = 3.5; b = –0.4;
10			а = 0.5; b = –1.9;
11			а = 3.8; b = 1.1;
12			а = 3.8; b =1.1;
13	;		a = 2.6; b = 3.4;
14	;	;	a = 25;
15	;		a = 1.4; b = 0.3;
16	;		a = –0.8;
17	;		a = 12.3;
18		;	а = 4;
19	;	;	a = –0.8; b = 1;
20			b = 1;
21	;	;	a= 1.8; b = 2;
22			b = 1;
23			a = 1.5; b = 7;
24	;	;	a= 2.0;
25	;

2. Використання дискретної змінної

За умовами завдання 2.1 вивести таблицю значень функцій Р(a, b, х) та R(a, b, x) у заданому інтервалі аргументу x згідно варіанта. Забезпечити виведення не менше 10 значень аргументу x та функцій.

х	Р(х)	x	R(х)

1	у інтервалі 0 хз кроком/20;
2	у інтервалі 0<x<2з кроком/(1+b);
3	у інтервалі 0< х<2з кроком/10;
4	у інтервалі 0< х<2з кроком/10;
5	10 значень функції у інтервалі 0< х<;
6	10 значень функції у інтервалі 0< х<;
7	10 значень функції у інтервалі 0< х</25;
8	у інтервалі 0< х<2з кроком/8;
9	у інтервалі 0< х<2з кроком/6;
10	25 значень функції у інтервалі 0< х <2;
11	25 значень функції у інтервалі 0< х <2;
12	25 значень функції у інтервалі 0< х <3;
13	30 значень функції у інтервалі 0< х <15;
14	у інтервалі 0< х <1.5з кроком/15;
15	у інтервалі 0< х <3з кроком/15;
16	у інтервалі 0< х <з кроком/20;
17	у інтервалі 0< х <з кроком/20;
18	10 значень функції у інтервалі 0<х<;
19	15 значень функції у інтервалі 0< х <2;
20	у інтервалі 0< х <3з кроком/4;
21	у інтервалі 0< х <з кроком/30;
22	у інтервалі 0< х <2з кроком/10;
23	20 значень функції у інтервалі 0< х <2;
24	15 значень функції у інтервалі 0< х <3;
25	у інтервалі 0< х <з кроком/15;

3. Побудова графіків

Побудувати графіки функцій Р(a, b, х) та R(a, b, x) за умовами завдань 2.1. та 2.2. на одному графіку. Змінити діапазон зміни аргументу x та простежити зміни у графіках функцій.

4. Обчислення сум та добутків

Обчислити вираз згідно варіанта.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

5. Використання матриць

Ввести дві матриці 3х3 Х та Y та обчислити:

1. кількість стовпців та рядків у кожній матриці;

2. елементі x_1,0та y_1,2 ;

3. суму матриць;

4. добуток матриць;

5. транспонувати першу матрицю;

6. обернені матриці;

7. детермінанти матриць;

8. максимальний та мінімальний елементи кожної матриці.

6. Використання комплексних чисел

Ввести два комплексних числа та знайти:

1. їх суму, різницю та добуток;

2. дійсну та уявну частини їх суми, різниці та добутку;

3. модулі обох чисел;

4. числа, які комплексно спряжені з кожним із чисел, з сумою чисел та добутком чисел.

7. Розв’язання рівнянь

За умовами завдання 2.1 знайти значення х, при якому функція Р(a, b, х) дорівнює нулю. Рішення знайти за допомогою функцій root() та find().

8. Розв’язання систем рівнянь

Розв’язати системи лінійних рівнянь згідно варіанта.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

9. Символьні обчислення

Виконати символьні обчислення за допомогою команд Expendта символьного знаку рівності згідно варіанта:

№ варіанта	Команда Expand	Символьний знак рівності
	cos(x+y)	(a-b)3/(a-b)
	cos(x-y)	(a-b)2(a-b)
	tg(x+y)
	sin(x+y)
	sin(x-y)	(a-b)2(a-b)3
	tg(x-y)
	(x+y)2
	3(a+1)(a-2)(a+2)
	18x3(x-1(x+1)
	(x-y)3
	(x+y)(x-y)
	(2a-b)(2a+b)
	(2a-b)(4a2 +2ab+b2 )
	(2a-b)/(4a2 -b2 )
	(2a-b)/(4a2 -b2 )
	sin(4x)

10. Розв’язання диференційних рівнянь

1. Розв’язати задане диференційне рівняння другого порядку в заданому інтервалі часу

1) 2y+3y+40y=7sin(1.3t–0.7), початкові умови: y(0)=5 y(0)=2 в інтервалі від 0 до 3 з кроком 0.01

2) 0.5y+y+3y=10, початкові умови: y(0)=7 y(0)=–7 в інтервалі від 0 до 5 з кроком 0.01

3) 5y+7y+50y=15sin(0.63t+1.6), початкові умови: y(0)=0 y(0)=4 в інтервалі від 0 до 10 з кроком 0.02

4) y–0.1y+3y=10cos(4t+1.6), початкові умови: y(0)=0 y(0)=5 в інтервалі від 0 до 5 з кроком 0.01

5) 0.9y+0.18y+10y=40, початкові умови: y(0)=0 y(0)=0 в інтервалі від 0 до 20 з кроком 0.02

2. Розв’язати задане диференційне рівняння третього порядку в заданому інтервалі часу

1) 2y+0.4y+0.3y+0.0018y=2, початкові умови: y(0)=0 y(0)=0 в інтервалі від 0 до 50 з кроком 0.02

2) 0.02y+0.012y+0.16y+0.8y=4, початкові умови: y(0)=0 y(0)=0 в інтервалі від 0 до 20 з кроком 0.01

3 Розв’язати задане диференційне рівняння четвертого порядку в заданому інтервалі часу

1) 0.2y+0.5y+ 0.8y+2.5y+0.35y=2, початкові умови: y(0)=0 y(0)=0 y(0)=0 y(0)=0 в інтервалі від 0 до 40 з кроком 0.01

2) 4y+3.2y+8y+2.5y+2y=10, початкові умови: y(0)=0 y(0)=0 y(0)=0.04 y(0)=0.5 в інтервалі від 0 до 40 з кроком 0.01