Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

M01486_Вышка_2_семестр

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

513.73 Кб

Скачать

☆

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Запорізький національний технічний університет

ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ з вищої математики

для студентів технічних спеціальностей денної форми навчання

( 2-й семестр)

111 частина

2004

Індивідуальні завдання з вищої математики для студентів технічних спеціальностей денної форми навчання ( 2-й семестр) 111 частина. / Укл.: В.Г. Засовенко, І.М. Килимник., Л.І. Паталаха , Т.Г. Полякова – Запоріжжя:

ЗНТУ, 2004. - 86 с.

Укладачі: Розділи „Теорія поля”, „Теорія стійкості”- В.Г. Засовенко, доцент, к.ф.-м. н.

Розділ „ Диференціальні рівняння” - І.М. Килимник, доцент, к.т.н., Л.І. Паталаха , ас., Т.Г. Полякова, ас.

Рецензент: В.М. Онуфрієнко, проф., к.ф.-м. н.

Відповідальний за випуск: - І.М. Килимник, доцент, к.т.н.

Затверджено Радою МФ

Протокол № 8 від 20.04.04

Затверджено на засіданні кафедри

„Вищої математики” Протокол № 7 від 28 квітня 2004 р.

	3
	ЗМІСТ
		Стор.
1.	Теорія поля	4
	Аудиторне заняття	4
	Індивідуальні завдання	4
2.	Диференційні рівняння	14
2.1	Диференціальні рівняння 1-го порядку	14
	Аудиторне заняття	14
	Індивідуальні завдання	18
2.2	Диференціальні рівняння вищих порядків та	36
	системи диференціальних рівнянь
	Аудиторне заняття	37
	Індивідуальні завдання	41
3.	Теорія стійкості	74
	Аудиторне заняття	74
	Індивідуальні завдання	74
	Література	86

1. ТЕОРІЯ ПОЛЯ

Аудиторне заняття

1. Скалярне поле визначене функцією f = f (x; y; z). Знайти його градієнт та побудувати поверхню рівня f = 1 .

f= 4 y2 + z . x2

−

2(4 y2

+ z)

Відповідь:

;

, гіперболічний параболоїд.

Знайти значення похідної функції u = u(x; y; z) в точці M1 за

напрямком вектора

M1M 2

u = ln

y2 + 4z2 , M1(−1;0;1), M 2 (1;1;3).

Відповідь: 2

Для векторного поля

(M ) = (z − y) i + y2 z2

+ x3

, та точки M 0 (1;2;−1),

знайти: rot

(M 0 ),

rot

(M 0 )

(M 0 ).

divF

Відповідь: (8;−2;1),

69, − 4.

За допомогою формули Остроградського-Гауса знайти потік

векторного

поля

= (y + z) i −(x + y)

через замкнену

+ yzk

поверхню S : (x −2)2 +(z +1)2 = 9, y =1, y = 3 . Відповідь: 18π .

5. Застосувавши формулу Стокса знайти циркуляцію векторного поля F = (y − z; − x − z; y) по замкненому контуру трикутника, який утворюється в наслідок перетинів координатних площин з площиною

	5
P : 2x −2 y + z =1	(нормаль до трикутника спрямована від початку
координат).			Відповідь:		1	.

				2
6. Довести, що поле			= (2xy; x2 ; 2z) є потенціальним та знайти
		a
його потенціал.			Відповідь: x2 y + z2 +C .
	Індивідуальні завдання
1. Скалярне поле	визначене функцією			f = f (x; y; z). Знайти його
градієнт та побудувати поверхню рівня f				=1 .

	f =	x2	+	y2	+ z 2 .

1.	4		9

3.	f	=	4x2	+(y −1)2		.
				z 2

5.	f	=	3y2	+ x	.
			z	2

2.	f	=	12z		.
			x2 + y2

4.	f	=	y − z 2	.
			x2

6.	f = ln x2 + y2 + z2 .

7. f =			2x +2z	.	8. f = ln			1		.
7. f =				.	8. f = ln			2 + y2		.
			x2 + y2				x	2 + y2		+ z2
9.	f	=	2x + z2	.	10.	f	= x2 −2 y2 + z2 .
9.	f	=		.	10.	f	= x2 −2 y2 + z2 .
			x2 + y2
11.	f	= 5 + x2 + y2 − z2 .			12.	f	=	z	.
							x2 + y2

13.

= arcsin x2 + y2 + z2 .

14.

2z −1

x2 + y2

15.

= x2 + y2 + z2 .

16.

4 + x2 + y2 − z .

17.

18.

+ y2

x2 + y2

19.

= ln(x2 +4 y2 ).

20.

y2 + z2

21.

2 y

22.

−

− z 2 .

x2 + z2

23.

24.

x2 + y2

+ z2

y2 + z2

25.

x2 +4 y2 − z2 .

26.

2 y

y2 + z2

27.

28.

= ln

x2 +4 y2 − z2 .

y2 + z2

29.

x2 − y2 − z2 .

30.

= ln(x2 +4 y2 − z2 ).

Знайти

значення

похідної функції u = u(x; y; z) в точці M1 за

напрямком вектора

M1M 2

u = x2 y + y2 z + z2 x, M1 (1;1;1), M 2 (3;2;3).

					7
2.	u = 5xy3 z2 ,				M1 (−1;1;2), M 2 (2;5;2).
3.	u = ln(x2 + y2 + z2 ),				M1 (0;1;1), M 2 (2;0;3).
4.	u = ex2 + y2 +z2 ,				M1 (1;1;1), M 2 (0;3;3).
5.	u = ln(xy + yz + xz),				M1 (1;1;1), M 2 (2;−1;3).
6.	u =	1 + x2 + y2 + z 2 , M1(1;1;1), M 2 (−1;0;3).
7.	u = x2 y − 2 + z2 x,				M1 (1;1;−1), M 2 (2;−1;−3) .
8.	u = ex y + xe y			− z2 ,	M1 (0;0;1), M 2 (1;2;3) .
9.	u = 3xy2 − xyz + z2 ,				M1 (1;1;0), M 2 (3;−1;1) .
10. u = 5x2 yz − xy2 z2 ,					M1 (1;1;1), M 2 (3;2;3).
11. u =		x	,	M	1 (1;0;1), M 2 (2;−2;3).
11. u =		y2 + z2	,	M	1 (1;0;1), M 2 (2;−2;3).
		y2 + z2

12.u = y2 z − 2xyz, M1 (1;2;1), M 2 (3;3;3).

13.u = (x + y)2 + z2 , M1 (0;1;−1), M 2 (−1;3;1)


14.	u = ln(1 + y + x2 + z2 ), M1 (1;1;1), M 2 (1;4;5).
15.	u = x2 + 2 y2 + 4z2 ,		M1 (1;0;1), M 2 (3;1;−1) .
16.	u = ln(x3 + y3 + z),		M1 (0;1;1), M 2 (2;0;3) .
17.	u = 3x −2 y +e z , M1(1;1;0), M 2 (3;−1;1).
18.	u = x y −3xyz, M1 (1;0;1), M 2 (3;1;−1).
19.	u = 3x2 yz2 ,	M1 (−1;1;2), M 2 (1;3;3).
20.	u = exy+z2 ,	M1 (−1;1;1), M 2 (0;3;3).
21.	u = x yz ,	M1 (1;2;1), M 2 (3;1;−1) .
22.	u = (x2 + y2 + z2 )2 ,		M1 (0;1;1), M 2 (2;0;3).

23.u = (x − z)y , M1 (2;2;1), M 2 (3;0;−1) .

24.u = xy2 + y2 z + z2 , M1 (1;1;0), M 2 (3;−1;1).

								8
25.	u = ln(x2 + y2 + z),							M1 (0;1;1), M 2 (2;0;3).
26.	u =		1				, M1 (1;0;1), M 2 (2;−2;3).
26.	u =	x	+ y2			+ z2	, M1 (1;0;1), M 2 (2;−2;3).
		x	+ y2			+ z2
27.	u =	x	+	y	,	M1 (0;1;1), M 2 (2;2;3).
27.	u =	y	+	z	,	M1 (0;1;1), M 2 (2;2;3).
		y		z				M1 (0;1;1), M 2 (−3;1;5).
28.	u = x3 + xy2 −6xyz,							M1 (0;1;1), M 2 (−3;1;5).

29.u = xy − yz + xz , M1 (1;1;1), M 2 (3;3;0).

30.u = ex−yz , M1 (1;1;1), M 2 (1;4;5).

3. Для векторного поля

F(M ) = Fx (x; y; z)i + Fy (x; y; z) j + Fz (x; y; z)k

знайдіть: rot

(M 0 ),

rot

(M 0 )

(M 0 ).

divF

(M ) = x2 i − xy2

+ z 2

M 0 (0;1;−2)

(M ) = xy i +(yz + xz)

M 0 (2;0;3)

+ xzk

(M ) = xy2 i + yz2

− x2

M 0 (1;−2;0)

(M ) = xz i + z

M 0 (3;0;1)

+ yzk

(M ) = yz i − z2

+ xyzk

M 0 (2;1;−1)

(M ) = xy i + xyz

M 0 (−1;0;3)

− xk

(M ) = y2 i − xy

+ z2

M 0 (−2;1;1)

(M ) = xz i − xyz

+ x2 zk

M 0

(0;1;1)

(M ) = xy i − y2 z

M 0

(0;−2;1)

− xzk

10.

(M ) = xz i − y2

M 0

(0;1;2)

− zyk

11.

(M ) = y2 i − xy2

+ z3

M 0 (−1;2;1)

12.

(M ) = xy i − xy2

+ z2

M 0 (1;−1;1)

13.

(M ) = (x + y) i + yz

M 0 (2;1;0)

+ xzk

14.

(M ) = xyz i −(y + z)

M 0 (4;0;1)

+ xzk

15.

(M ) = x i − y2 z

+ x2 zk

M 0 (−3;0;2)

16.

(M ) = (x + y2 )i + yz

− x2

M 0 (1;0;4)

17.

(M ) = xz i − y

M 0 (0;−1;4)

+ yzk

18.

(M ) = xyz i − x

M 0 (1;2;−1)

+ yzk

19.

(M ) = (z − y) i + y2 z2

+ x3

M 0 (4;1;−3)

20.

(M ) = (x − y) i + yz

M 0 (−4;1;0)

− yk

21.

(M ) = (y − z) i − z2

+ xyzk

M 0 (3;0;1)

22.

(M ) = yz i − z 2

+(x + y)

M 0 (1;3;0)

23.

(M ) = z2 i − xyz

+ z 2

M 0 (1;−2;1)

24.

(M ) = xz i +(x − z)

+(y − x)

M 0 (0;0;1)

25.

(M ) = xz i +(x − y)

+ x2 zk

M 0 (1;1;−2)

26.

(M ) = (x − z) i + xy

+ y2 zk

M 0 (2;2;1)

27.

(M ) = (x − z) i + xyz

+ x2

M 0 (−2;2;1)

28.

(M ) = (y − z) i + y2

− z3

M 0 (−1;2;1)

29.

(M ) = (x − y) i − x2

M 0 (0;2;−2)

+ xzk

30.

(M ) = (x − z) i − z 2

+ xyzk

M 0 (1;−1;0)

4. За допомогою формули Остроградського-Гаусса знайти течію

векторного поля a через зовнішню поверхню тіла, обмеженого S .

1. a = (x − z) i −(2x + z) j +(x + z)k , S : x2 + y2 + z 2 = 4

2. a = x2 i −(2x + y) j +(x − z)k , S : y2 + z 2 = 4, x =1, x = 3 3. a = x i − y j + xyzk , S : x = −1, x = 2, y = 0, y =1, z =1, z = 2 4. a = 3x i + (y2 + z)j +(x − z)k , S : x2 + z 2 =1, y = 0, y = 2 5. a = (3x −1) i +(2x − y + z) j + zk , S : x2 + y2 + z 2 = 9

6. a = (x + z) i −(x − z) j +(x + 2 y + z)k , S : x2 + y2 + z 2 =1

7. a = 3x i −(2x + z) j + zk , S : x + 2 y − z = 4, x = 0, y = 0, z = 0

8. a = x2 i − z j +(x + y)k , S : (y + 2)2 + z 2 = 4, x = 0, x = 2

9. a = x2 y i − z j , S : x = 0, x = 2, y = 0, y =1, z = −1, z = 2

10.

= (x + 2 y) i − y

, S : x2 + y2 + z 2 =1

+ 2zk

11.

, S : x2 + z 2 =1, y = −2, y = 0

= xy i −2 y j + 2zk

12.

= (3x − y + 2z) i − z

+(x + z)

, S : x2 +(y +1)2 + z2 =1

13.

= (x2 − z 2 )i − y

, S : y2 + z 2 = 3, x = −1, x = 2

− zk

14.

= x i − y

+ yz2

, S : x = 0, x =1, y = 0, y =1, z =1, z = 3

15.

, S : x + 2 y + z = 2, x = 0, y = 0, z = 0

= 2x i − y j + 4zk

16.

= 2 yz i +(2x − y)

+(x +3z)

, S : (x −2)2 + y2 + z2 = 4

17.a = y i − yz j + x2 yk , S : x2 + y2 = 3, z =1, z = 4

18.a = y i − xy j + xk , S : x = −1, x = 2, y =1, y = 3, z = 0, z = 2

19.a = y i −(2x + z) j +3zk , S : x + y − z = 3, x = 0, y = 0, z = 0

20.a = (x + y) i +3y j +(y − z)k , S : x2 +(y +1)2 +(z +5)2 = 9

21.a = xy i − y j +(z +5)k , S : x2 + z2 = 5, y = −1, y = 3

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.02.20161.55 Mб7M01285 СОЦІОЛОГІЯ печать.pdf
#
07.02.2016327.8 Кб11M01393 Эл снабжение.pdf
#
07.02.2016276.29 Кб4M01404.pdf
#
07.02.2016230.92 Кб5M01440 экономика.pdf
#
07.02.2016412.83 Кб7M01444.pdf
#
07.02.2016513.73 Кб11M01486_Вышка_2_семестр.pdf
#
07.02.2016473.9 Кб5M01521.pdf
#
07.02.20161.11 Mб6M01537.pdf
#
07.02.2016264.75 Кб6M01590.pdf
#
07.02.2016583.17 Кб15M01927.pdf
#
07.02.2016270.11 Кб9M01988(МЕТ.).pdf