M01486_Вышка_2_семестр

x′+ x +5y = 0

2)

y′− x − y = 0

x = (2C2 −C1 ) cos 2t − (2C1 +C2 )sin 2t

Відповідь:

y = C1 cos 2t +C2 sin 2t

x′ = 2x + y

x = (C

+C

t)e3t

3)

Відповідь:

1

2

+C2 +C2t)e3t

y′ = 4 y − x

y = (C1

x′ = y + 2et

x = C et

+C

2

e−t + tet

−t2

− 2

4)

Відповідь:

1

y′ = x + t2

y = C1et −C2e−t + (t −1)et − 2t

x′ = y −5 cos t

x = C e2t

+C

e−t − 2 sin t −cos t

5)

Відповідь:

1

2

2t −C2e−t +sin t + 3cos t

y′ = 2x + y

y = 2C1e

x′ = 2 y − 2t −1

x = C e2t − 2C

2

e−t −t +1

7)

y′ = x + y

Відповідь:

1

y = C1e2t +C2e−t + t

3)

2

′′

′

3

, y(0)

′

(1 + x )y

+ 2xy

= 2x

= 0, y (0) =1

4)

y

′′

+ 32 sin y cos

3

y =

′

0, y(0) = 0; y (0) = 4

2. 1)

y1 = cos x, y2 = cos 2x

2)

k1 = 3 −2i, k2 = 3 + 2i

4)

y

′′

+ 4 y

′

′

+ 29 y = 0 , y(0) = 0, y (0) =15

3.

1)

y

′′

+ 4 y

1

= cos 2x

2)

а) λ =1, λ

2

= 2 , f (x)

= (ax2

+bx +c)ex

1

= 0 , f (x)

б) λ =1, λ

2

= ax2

+bx +c

1

в) λ1 = 2i, λ2 = −2i , f (x) = Asin 2x

б)

y ′′+ 4 y =

4(sin 2x +cos 2x)

в) y

′′

−

4 y

′

+5 y = 2x

2

e

x

,

y(0) =

′

2, y (0) = 3

′′

′

2

4

′

1

г) y

−

6 y

+9 y = x − x +

3 , y(0) = 3 , y

(0) = 27

д) y ′′−4 y ′ = 8(e 4 x +e − 4 x )

dx

= y

y′

= −5y + 2z + 40ex

4.

а)

dt

б)

′

= y −6z +9e−x

dy

= −x

+1

z

dt

Варіант 2.

1.

1)

y′′ = sin 2 x cos x

2)

y

′′

−

2xy

′

+

2

= 0

, y(0)

′

1 − x 2

1 − x 2

=1, y (0) =1

2. 1)

y1 = x,

y2 = ex

2)

k1 = 0,

k2 = 3

4)

y

′′

+ 4 y

′

= 0

′

, y(0) = 7, y (0) = 8

3.

1)

y

′′− y′ =

1

2)

ex

+1

= −1 +i , f (x) = Ae−x

а) λ = −1 −i, λ

2

1

б) λ = 5, λ

2

= −5 , f (x) = e−5x (ax2

+bx +c)

1

в) λ1 = −i,

λ2 = i , f (x) = Acos x + B sin x

в) y′′+6 y′+9 y =10 sin x, y (0 ) = y ′(0 ) = 0

′′

x

′

г) y − y = 8e

, y(0) = 2, y (0) = 4

д) y′′−5 y′ = 25(ex +e−x )

dx

= x − z

dy

= 4 y − z −5x +1

dt

dx

4.

а)

б)

dz

dz

= 6z

= y + 2z + x −1

dt

dx

Варіант 4.

1.

1)

y′′ =

2

2)

x

2

x

xy

′′

− y

′

′

= x e , y(0) = −1, y (0) = 0

3)

xy

′′

+ y

′

=

1

x

2. 1)

y1 = x3 ,

y2 = x4

2)

k1 = 3,

k2 = 5

4)

y

′′

−2 y

′

+3y =

′

0, y(0) =1, y (0) = 3

3.

1)

′′

′

1

y

+ 2 y

+ 2 y = ex sin x

б) y′′−4 y′ = xe4 x

(12x −

7)e

, y(0)

в) y

′′

−

5 y

′

+6 y =

−x

′

= y

(0) = 0

г)

y

′′

+ y = 2 cos x ,

′

y(0) =1, y

(0) = 0

д)

y′′+ 4 y = sin 2 x

dx

= 4x − y

dy

= −2 y + z −e

2 x

dt

dx

4.

а)

б)

dy

dz

2 x

= x + 2 y

= −3y + 2z +6e

dt

dx

Варіант 5.

1.

1)

y

′′

=

ln x

x

5)

y

′′

4 y

′

= 2e , y(0) = 0, y (0) =1

2. 1)

y1 = ex ,

y2 = x2 ex

2)

k1 = 7 −5i, k2 = 7 +5i

4)

y

′′

−2 y

′

+ 2 y =

′

0, y(0) = 0, y (0) =1

3. 1)

y′′+ 4 y′+ 4 y = e−2 x ln x

2)

а) λ = 0, λ

2

= 0 , f (x) = ax2 +bx +c

1

= 2 , f (x) = e−x (ax3 +bx2 +cx + d )

б) λ =1, λ

2

1

= 4i , f (x) = e2 x sin 2x

в) λ

= −4i,

λ

2

1

в) y

′′

−

2 y

′

= e

x

(x

2

+ x

−3), y(0)

′

= y (0) = 2

г) y

′′

−

2 y

′

+ y

= 4(sin x +cos x),

y(0) =

′

1, y (0) = 0

д) y′′− y = e2 x +ex (x2 + x +1)

dx

= x − y

dy

= 5 y + 4z +e

x

dt

dx

4.

а)

б)

dy

dz

= 4x −3y

= 4 y +5z

+1

dt

dx

Варіант 6.

1.

1)

y′′ =

3

sin 2x cos x

2)

2

xy

′′

ln x = y

′

,

′

y(e) = y (e) =1

4)

′ ′′

= e

y

′

3y y

, y(−3) = 0, y (−3) =1

2. 1)

y1 = e2 x , y2 = e−3x

2)

k1 =1 −3i, k2 =1 + 3i

4)

y′′+

π

π

y = 0, y

=1, y′

= 0

3.

1)

2

2

y′′+ y′ = tg 2 x

f (x) = sin x +cos x

2)

а)

λ

= 0,

λ

2

=1,

1

, f (x) = e3x (ax2 +bx +c)

б)

λ = 3, λ

2

= 4

1

f (x) = a sin 6x +b cos 6x

в) λ1 = 5 +6i,

λ2

= 5 −6i ,

3)

а) y′′+ y′+ y = (x + x2 )ex

б)

y′′+ 4 y = 2 cos2 x −1

в) y

′′

+9 y = 6e

3x

,

y(0)

′

= y

(0) = 0

г) y

′′

−3y

′

= 3(2 − x

2

),

′

y(0) = 0, y (0) =1

д) y′′+ y′ = ex + x2

dx

= 6x − y

dx

= 2x + 4 y + cos t

dt

dt

4.

а)

б)

dy

dy

= 3x + 2 y

= −x − 2 y + sin t

dt

dt

Варіант 7.

1.

1)

y′′ = xe x

3)

2x

y′′−

y′ = 0

x2 +1

49

4)

′′

=

1

′

y

, y(0) = y (0) = 0

2. 1)

y1 = cos x, y2 = sin x

2)

k1 = 3 −2i, k2 = 3 + 2i

4)

y

′′

+ 4 y

′

= 0, y(0) = 7,

′

y (0) = 8

3. 1)

y

′′

−2 y

′

+ y

=

ex

x

2)

а) λ = 5, λ

2

= −5 , f (x) = ax3 +bx2 +cx + d

1

= 3 +i , f (x) = e3x (ax +b)

б) λ = 3 −i

, λ

2

1

f (x) = Acos 7x + B sin 7x

в) λ1 = 7i, λ2

= −7i ,

в) y

′′

− y

′

= −2x,

y(0) =

′

0, y (0) =1

г) y

′′

−4 y

′

+5 y

= 2x

2

e

x

, y(0)

′

= 2, y

(0) = 3

д) y′′−4 y′+ 4 y = 3e2 x −4 sin 2x

dx

= 2x −9 y

dy

= 2 y − z +

2e

x

dt

dx

4. а)

б)

x

dy

= x +8 y

dz

= 3y −

2z + 4e

dt

dx

2)

y

′′

′

π

=1,

′ π

= 2

− y ctgx = sin 2x, y

2

y

2

3)

x

2

y

′′

=

′

2

( y )

50

4)

y′′

=

1

(y′)2

5)

yy

′′

′

)

2

= 2, y(0)

′

+(y

=1, y (0) =1

2. 1)

y1 =1,

y2

= cos 2x

2)

k1 = 3 +5i, k2 = 3 −5i

3.

1)

′′

′

1

y

+3y

+ 2 y = ex +1

2)

а) λ = 0, λ

2

= 3 , f (x) = ax2

+bx +c

1

= 7 , f (x) = e5x

б) λ = 5, λ

2

1

λ2 = − 6i , f (x) = Acos 6x + B sin 6x

в) λ1 = 6i,

в) y

′′

+6 y

′

+9 y

= 9xe

−3x

′

, y(0) = 2, y (0) =1

г) y

′′

+ y

′

= e

x

,

′

y(0) = y (0) =1

д) y′′− y = 2ex

+cos x

dy

= −y −2z

dx

= x + y −cos t

dx

dt

4.

а)

б)

dz

dy

= 3y + 4z

= −2x − y +sin t +cos t

dx

dt

Варіант 9.

1.

1)

y′′sin 2x = sin 4x

2)

3

′′

2

′

=1, y(1) =

′

x y

+ x y

1, y (1) =1