Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4193

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

445.74 Кб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

Запорізький національний технічний університет

ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ

з вищої математики

для студентів технічних спеціальностей денної форми навчання (2-й семестр)

1 частина

2011

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

Індивідуальні завдання з вищої математики для студентів технічних спеціальностей денної форми навчання (2-й семестр, 1частина) / Укл.: Попригіна Т.Ф., Скуйбіда Л.Г., Слюсарова Т.І., – Запоріжжя: ЗНТУ, 2011 – 74 с.

Укладачі: Розділ «Невизначений інтеграл» - Т.І. Слюсарова, ас. Розділ «Визначений інтеграл» - Т.Ф.Попригіна, ст.викл.,

Л.Г. Скуйбіда, ст. викл.

Комп′ютерна верстка: Давиденко С.І.

Рецензенти: І.М. Килимник, доц., к.т.н.; В.М. Онуфрієнко, проф., доктор ф.-м.н., зав. каф. загальної математики.

Відповідальний за випуск: Ю.І. Нагорний, доц., к.ф.-м.н.

Затверджено на засіданні кафедри вищої математики ЗНТУ Протокол № 7 від 25.05.11

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

		3
		ЗМІСТ
1. Невизначений інтеграл		4
1.1 Таблиця інтегралів		4
1.2	Правила інтегрування	4
1.3	Аудиторні завдання	8
1.4	Індивідуальні завдання	15
2.Визначений інтеграл		44
2.1	Аудиторні завдання	44
2.2 Індивідуальні завдання		47
Література		74

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

1.НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Таблиця інтегралів:

u= u(x), du = u′(x)dx ;

1)òdu = u + C ;

uα+1

2)òuαdu = a +1 + C, a ¹ 1;

3)ò duu = ln u + C ;

4) ò audu =	au	+ C ;
	ln a

5)ò eudu = eu + C ;

6)òsin u du = -cosu + C ;

7)ò cosu du = sin u + C ;

8)ò tgu du = -ln cosu + C ;

9)ò ctgu du = ln sin u + C ;

10) ò

= tgu + C ;

cos2 u

11) ò

= -ctgu + C ;

sin 2 u

12) ò

arctg

+ C ;

u2 + a2

u - a

+ C ;

13) ò

u2 - a2

u + a

14) ò

= ln

u +

u2 ± a2

u2 ± a 2

ò duu = 2u + C ;

ò		du	= -ò	du	;
ò		a2 - u2	= -ò	u2 - a2	;
		a2 - u2		u2 - a2
	+ C ;

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

15) ò	du	= arcsin	u	+ C ;
			a
	a 2 - u2

16)òsh u du = ch u + C ;

17)òch u du = sh u + C ;

18)ò a2 - u2du = 12 ua2 - u2 + 12 a2 arcsin ua + C ;

19)ò u2 ± a2du = 12 uu2 ± a2 ± 12 a2 ln u + u2 ± a2 + C

20)

= th + C ;

ch u

21)

= -cth u + C ;

sh u

22)

= ln

+ C ;

sin u

= ln

æ u

+ C .

23)

tgç

cosu

è 2

Правила інтегрування

òk ×f (x)dx = k × òf (x)dx = k × F(x)+ C, де F′ (x)= f (x), k- стала

величина

2.òf (ax + b)dx = 1a × F(ax + b)+ C

3.ò(f (x)± j(x))dx = òf (x)dx ± òj(x)dx + C

4.Інтегрування частинами: òf (x)dx =òudv = uv - ò vdu

5.Заміна змінної : òf (x)dx = òf (j(t))×j′(t)dt , де x = j(t)

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

Деякі підстановки

№

Вид інтегралу

Підстановка

Вираз для

Новий

з/с

інтеграл

2xdx = dt,

× ò f (t)dt

x 2 = t

ò f (x

)xdx

xdx =

x3 = t

3x2dx = dt,

× ò f (t)dt

ò f (x

x 2dx =

æ 1

= -dt

- ò f (t)dt

ò f ç

= t

è x

ò f (

)×

= 2 × dt

2 × òf (t)dt

= t

ò f (ln x)×

ln x = t

= dt

ò f (t)dt

ò f (sin x) × cos xdx

sin x = t

cos xdx = dt

ò f (t)dt

ò f (cos x) × sin xdx

cos x = t

sin xdx = −dt

- ò f (t)dt

ò f (tgx)×

tgx = t

= dt

ò f (t)dt

cos2 x

ò f (ex ) × ex dx

ex = t

ex dx = dt

ò f (t)dt

10.

ò f (arctg x)×

arctg x = t

= dt

ò f (t)dt

x2 +1

x2 + 1

òf (arcsin x)×

arcsin x = t

= dt

11.

ò f (t)dt

1 - x

1- x2

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

f ′(x)

12.

f (x) = t

f ′(x)dx = dt

f (x)

Деякі види інтегралів

, для яких

застосовується

метод

інтегрування частинами

№

Вид інтегралу

Що брати за u

Що брати за

з/с

ì kx

(x) ×

ï kx

dv =

ï kx

Pn (x)

ïsin kx ï

îcos kxþ

ìarccos x ü

ìarccos x

ïarcsin x ï

ïarcsin x

ò Pn

(x) ×

u =

dv = Pn (x)dx

íarctg x

ýdx

íarctg x

ïarcctg x ï

ïarcctg x

îloga

kxþ

îloga

kxþ

mx ü

ìcos kxü

будь-який з

ïe

ò í

ý ×

ýdx

множників

mx ï

îsin kx þ

îa

ìcos(ln kx)ü

u =

ìcos(ln kx)ü

ísin(ln kx)

ýdx

ísin(ln kx) ý

dv = dx

(x) = a

+ a

× x + a

× x 2

+ a

× x3

+...+ a

× x n

многочлен

степені n

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

Аудиторні завдання

1.3.1 Безпосереднє інтегрування. Внесення сталої, змінної або функції під знак диференціалу

1.ò x × xdx

2.ò 5dxx

3.ò 2 - 1-2x2 dx1- x

		2 - x2
4.	ò		dx
		1+ x2
5.	òe3x × dx

6. ò tg2x dx

7. ò (shx - sin x)dx

1 ö2

8.ò dx

9.ò(2tgx + 3ctg x)2dx

10.ò x ×cos(x2) dx

11.ò x ×dxln x

12.ò sin x × cosx dx

13.ò (e2x + e−2x )dx÷øxç x -è

Відповідь: 52 × x2 × x + C

Відповідь: 54 ×5x4 + C

Відповідь: 2×arcsin x - x + C

Відповідь: 3× arctgx - x + C

Відповідь: 13 ×e3x + C

Відповідь: tgx − x + C

Відповідь: ch x + cosx + C

Відповідь: x2 - 2× x + ln x + C 2

Відповідь:

4 × tgx - 9 × ctgx - x + C

Відповідь: sin(x2 )+ C 2

Відповідь: ln ln x + C

Відповідь: 23 ×sin x × sin x + C

e2x e−2x

Відповідь: 2 - 2 + C

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

14.

òcos(2x + 7)dx

Відповідь:

sin(2x + 7)

+ C

Відповідь:

15.

7x - 3

x +

+ C

4 + x2

- 3×ln

4 + x2

1.3.2 Метод підстановки (метод заміни змінної)

1.dx

ò x + 2 + 3

2.òecos2 x ×sin 2x dx

1+ x

(9 + 3

)

(x + 2)

(x2 + 4x +1)4

6.ò x × 2 - 3x dx

7.dx

òex -1

8.e2x

ò4ex +1dx

		x
9.	ò		dx
		(x +1)4

Відповідь:

2(x + 2 - 3× lnx + 2 + 3)+ C

Відповідь: - ecos2 x + C

Відповідь: 2(x +1 - lnx +1 +1)+ C

6 x - 3arctg

Відповідь: 6 ×ç

+ C

Відповідь: -

+ C

2 ×

+ 4x

(2 - 3x)3

æ 8

Відповідь: -

x÷

+ C

è15

Відповідь: ln ex -1 = ln ex -1 - x + C ex

Відповідь: 214 × (3ex -1)× 4(ex +1)3 + C

Відповідь:	1	-	1	+ C
	3(x +1)3		2(x +1)2

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

			10
10. ò	ln (tgx)	dx	Відповідь:	ln2(tg x)	+ C

	cos2 x			2

1.3.3Метод інтегрування частинами

1.ò(x + 5)×3x dx

2.ò x×e2x dx

3.òarctgx dx

4.ò x ×cos2x dx

5.òsin(ln x)dx


6.	ò		x		dx
6.	ò	sin2 x			dx
		sin2 x
	ò			×ln x dx ;
7.	ò		x	×ln x dx ;
8.	òarcsin x dx
9.	ò x2 × e−xdx
10.	òex ×sin x dx

	x	æ	x + 5		1	ö
Відповідь: 3		ç		-			÷	+ C

		×ç	ln 3		ln2	÷
		è				3 ø

æ x

+ C

Відповідь:

ln(1+ x2 )

x×arctgx -

+ C

Відповідь:

x ×sin 2x

cos2x

+ C

Відповідь:

×(sin(ln x)- cos(ln x))+ C

Відповідь: ln

sin x

- x ×ctgx + C

+ C;

Відповідь:

çln

Відповідь: x ×arcsin x +

1- x2

+ C

Відповідь:

+ 2x + 2

+ C

Відповідь:

ex ×(sin x - cosx)

+ C

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.02.2016529.01 Кб73_R_візуалізація_2.pdf
#
12.07.2019611.84 Кб114 Физическая культура и спорт в дорев России.doc
#
04.09.201926.94 Кб24. Європейська валютна інтеграція (№2-6).docx
#
22.08.2019188.42 Кб441-50 Економ Аналіз.doc
#
07.02.20163.7 Mб164193.doc
#
07.02.2016445.74 Кб44193.pdf
#
30.08.2019741.17 Кб243881.rtf
#
23.09.2019128.51 Кб247-50.doc
#
07.02.2016240.25 Кб547990.rtf
#
21.04.201944.21 Кб349.docx
#
07.02.2016674.3 Кб74_Ekonomika_Topalov_novaya (3).doc