Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка 1807

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

276.95 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Запорізький національний технічний університет

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ

до контрольної роботи з дисципліни “Вища математика” для студентів економічних спеціальностей заочної форми навчання

Частина 2

2006

Методичні вказівки та індивідуальні завдання до контрольної роботи з дисципліни “Вища математика” для студентів економічних спеціальностей заочної форми навчання. Частина 2. / Укл.: Н.О. Нечіпоренко, М.О. Щолокова, О.А. Тиха - Запоріжжя: ЗНТУ,

2006. – 42 с.

Укладачі: Н.О. Нечіпоренко, доцент М.О. Щолокова, старший викладач О.А. Тиха, асистент

Рецензент: Мастиновський Ю.В., доцент

Експерт: Прушківський В.Г., доцент

Відповідальний за випуск: Мастиновський Ю.В., доцент

Затверджено на засіданні кафедри "Прикладної математики"

Протокол № _10_

від "_14_" __06__ 2006р.

ЗМІСТ

С.

РОЗВ’ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТУ………………………4

ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ…………………………......25

ЛІТЕРАТУРА……………..……………………....................42

РОЗВ'ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТУ

Основні правила інтегрування

1)Якщо F'(x) = f (x), то∫ f (x)dx = F (x) + C,

2)∫аf (x)dx = a∫ f (x)dx , де а – постійна величина;

3)∫[f1 (x) ± f2 (x)]dx = ∫ f1 (x)dx ± ∫ f2 (x)dx .

Таблиця основних інтегралів

∫ xn dx =

xn+1

+ C .

n + 1

∫

= ln

+ C .

∫ a x dx =

a x

+ C, (a > 0, a ≠ 1).

ln a

4.∫ex dx = ex + C.

5.∫sin xdx = − cos x + C.

6.∫cos xdx = sin x + C.

∫

= tgx + C.

cos

∫

= −ctgx + C.

sin

∫

x + a

+ C.

− x

x − a

10.

∫

arctg

+ C,(a ≠ 0).

+ x

11.

∫

= arcsin x + C, x < a .

a 2 − x 2

12.

∫

2 dx

2 = ln x +

x2 ± a2 + C.

± a

13.

∫ shxdx = chx + C.

14.

∫chxdx = shx + C.

14.

∫

= thx + C.

16.

∫

= −cthx + C.

ЗАВДАННЯ 1.

а) Знаходження невизначеного інтеграла шляхом зведення його до табличного називається безпосереднім інтегруванням.

Приклад 1

∫(5x3 +3x2 +4)dx = 5∫ x3dx+3∫ x2dx+4∫dx= 5 x4 +3 x3 +4x +C =

4 3

=5 x4 + x3 +4x +C. 4

Приклад 2

1−

∫ 3x + 1dx = ∫ 3

x dx + ∫ 3dx = ∫ x 6 dx + ∫ x−

3 dx =

+ C =

1 +

1 −

6x 6

3 + C.

Приклад 3

∫

cos 2x

dx = ∫

cos2 x − sin2 x

∫

cos2 x

dx =

dx −

sin2 xsin2 x

cos2 xsin2 x

sin2 x

− ∫

dx = ∫

− ∫

= −ctgx − tgx + C.

cos2 xsin2 x

sin2 x

cos2 x

б) Заміна змінної в невизначеному інтегралі виконується за допомогою підстановки двох видів:

1) x = ϕ (t) , де ϕ (t) - монотонна, безперервно диференційована

функція нової змінної t. Формула заміни змінної в цьому випадку:

∫f (x)dx = ∫ f [ϕ (t)] ϕ ′(t)dt .

2)u = ψ (t) , де u - нова змінна. Формула заміни змінної при цій підстановці:

∫f [ψ (t)] ψ ′(t)dt = ∫ f (u)du .

Такий варіант заміни змінної часто називають підведенням під знак диференціала. Користуючись цим правилом, можна поширити таблицю основних інтегралів:

15.

∫tgx dx = ∫

sin x

dx = −∫

d(cos x)

= − ln

cos x

+ C.

cos x

16.

∫ctgx dx = ∫

cos x

dx = −∫

d(sin x)

= ln

sin x

+ C.

sin x

Приклад 4

− x 2 )

∫

xdx

= −

∫

d (a 2

= −

∫ (a

− x

−

− x

) =

)

2 d (a

−

− x

1−

= −

(a 2 − x 2

) 2

+ C = − a 2 − x 2 + C .

1 −

Приклад 5

∫

xdx

∫

d ( x 2

a )

∫

+ a )

−

+ a ) =

( x

2 d ( x

−

+ 1

( x 2

a ) 2

+ C = − x 2 + a + C .

−

+ 1

Цими інтегралами можна користуватися як табличними.

Приклад 6

Знайти

∫ x

2x − 9

Нехай

2x − 9 = u2 , тоді

x =

u 2 + 9

dx = u du.

Маємо

∫

= ∫

udu

2 ∫

= 2

+ C =

arctg

x 2 x − 9

u + 9

u +

= 2 arctg

2 x − 9 + C .

Приклад 7

Знайти

∫

sin 2xdx .

3 − cos4 x

Нехай cos2 x = t , тоді

dt = −2 cos xsin xdx,

dt = − sin 2xdx. .

Маємо

∫

sin 2xdx

= −∫

= − arcsin

+ C = C − arcsin cos2 x.

3 − cos4

3 − t 2

Приклад 8

Знайти

∫

x4 dx

x10

− 2

Тому що x4

є похідною

x5 , то замінивши x5

на t, отримаємо:

x 4 dx

∫

x10 − 2 = ∫ t52 − 2 =

5 ∫

t 2 − ( 2 )2

5 ln t + t 2 − 2 + C =

= 1 ln x 5 + x10 − 2 + C.

в) Інтегрування по частинам.

Якщо u(x) та v(x) диференційовані функції, то правдива наступна формула інтегрування по частинам

∫udv = u v − ∫vdu.

Цією формулою можна користуватися неодноразово. Треба вказати 4 основні випадки, коли використовується метод інтегрування по частинам.

1)Інтеграли виду ∫ Pn (x)ex dx .

Тому що при диференційовані показник ступеня многочлена

Pn (x)	зменшується, то підінтегральні вирази треба розподілити
так:
		Pn (x) = u, exdx = dv.
Тоді	du = Pn′(x)dx		та v = ∫ex dx = ex .
З формули		∫udv = u v − ∫vdu		маємо:
		∫ Pn (x)ex dx = Pn (x)ex − ∫ Pn′(x)ex dx.

До інтегралу справа знову використовуємо формулу інтегрування по частинам. Так треба робити доки при

ex множник залишиться постійнім.

Приклад 9
Знайти	∫ x2 ex dx,
Нехай	u = x2 та dv = ex dx ,	тоді du = 2xdx та v = ex .

Зформули інтегрування по частинам маємо:

∫x2 e2 dx = x2 ex − ∫2xex dx.

Для інтегралу ∫2xex dx знову застосуємо формулу: u = x, dv = ex dx du = dx, v = ex ,

∫ x2 ex dx = x2 ex − 2(xex − ∫ex dx) = x2 ex − 2xex + 2ex + C.

2) Для інтегралів виду: ∫ Pn (x)sin xdx та ∫ Pn (x) cos xdx

діємо аналогічно, як і в випадку 1).

Приклад 10

Знайти	∫ x cos xdx.
Нехай	u = x та dv = cos xdx , тоді du = dx та v = sin x .

∫ x cos xdx = x sin x − ∫sin xdx = x sin x + cos x + C.

3)Інтеграли виду: ∫ Pn (x) ln xdx .

В цьому випадку логарифмічну функцію слід прийняти за u, тому що після диференціації вона спроститься:

u = ln x,			dv = Pn (x)dx,
du =	dx	,	v = ∫ Pn (x)dx .

	x

∫Pn (x) ln xdx = ln x ∫ Pn (x)dx − ∫ 1 ∫ Pn (x)dx dx + C.

Приклад 11
Знайти	∫ x ln xdx.
Нехай	u = ln x , dv = xdx, du =	dx	,	v =	x2	.

		x		2

Зробив інтегрування по частинам, знайдемо:

∫ x ln xdx =

ln x − ∫

dx =

ln x −

+ C.

4) Для інтегралів виду:

∫ Pn (x) arcsin xdx ,

∫ Pn (x) arccos xdx ,

∫ Pn (x)arctgxdx ,

∫ Pn (x)arcctgxdx , діємо

аналогічно,

як і в

випадку 3).

Приклад 12

Знайти

∫ xarctgxdx. .

Нехай

u = arctgx ,

dv = dx ,

тоді du =

, v = x .

+ x2

∫arctgxdx = x arctgx − ∫

dx = xarctgx −

1+ x2

+ C.

1+ x

ЗАВДАННЯ 2.

Знайти об’єм продукції, випущеної за 5 років, якщо функція

Кобба - Дугласа має вид g(t) = (1 + 2t)e4t .
Розв’язок
Об’єм продукції за T років складає:
		T				5									u = 1 + 2t; du = 2dt
		T				5									u = 1 + 2t; du = 2dt
Q = ∫ g (t)dt = ∫ (1 + 2t)e4t dt =															dv = e			4t	dt; v =		1	e	4t	=
0						0									dv = e				dt; v =		4	e
																					4
= 1 + 2t e4t				0		− 1			5			11 e		20 − 1 −					1 e 4 t	0 =
= 1 + 2t e4t				0		− 1			∫ e4t dt =			11 e		20 − 1 −					1 e 4 t	0 =
				5																5
4						2 0						4		4					8
4						2 0						4		4					8
=	11	e 20 −	1		−		1	e 20 +		1	=	21	e20 −			1	=	1	(21e20 − 1).
4			4			8			8			8		8				8

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.04.20192.06 Mб51Методики для курсовой.doc
#
16.07.2019383.49 Кб12методики по вниманию.doc
#
07.02.2016377.76 Кб57Методича по укр.мове.pdf
#
07.02.2016962.05 Кб23Методические материалы.doc
#
23.08.20194.69 Mб28методическое пособие новое.doc
#
07.02.2016276.95 Кб6Методичка 1807.pdf
#
08.11.2019229.89 Кб3методичка 2012 семенар КПЗС.doc
#
07.02.20164.06 Mб16Методичка Access.doc
#
07.05.20191.37 Mб2Методичка ІСуФУ 2007.doc
#
07.02.2016262.28 Кб7методичка ІУК.pdf
#
23.11.2019368.64 Кб3методичка банк. операции.doc