Методичка 1807

2

Методичні вказівки та індивідуальні завдання до контрольної роботи з дисципліни “Вища математика” для студентів економічних спеціальностей заочної форми навчання. Частина 2. / Укл.: Н.О. Нечіпоренко, М.О. Щолокова, О.А. Тиха - Запоріжжя: ЗНТУ,

2006. – 42 с.

Укладачі: Н.О. Нечіпоренко, доцент М.О. Щолокова, старший викладач О.А. Тиха, асистент

Рецензент: Мастиновський Ю.В., доцент

Експерт: Прушківський В.Г., доцент

Відповідальний за випуск: Мастиновський Ю.В., доцент

Затверджено на засіданні кафедри "Прикладної математики"

Протокол № _10_

від "_14_" __06__ 2006р.

3

ЗМІСТ

С.

РОЗВ’ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТУ………………………4

ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ…………………………......25

ЛІТЕРАТУРА……………..……………………....................42

4

РОЗВ'ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТУ

Основні правила інтегрування

1)Якщо F'(x) = f (x), то∫ f (x)dx = F (x) + C,

2)∫аf (x)dx = a∫ f (x)dx , де а – постійна величина;

3)∫[f1 (x) ± f2 (x)]dx = ∫ f1 (x)dx ± ∫ f2 (x)dx .

Таблиця основних інтегралів

4.∫ex dx = ex + C.

5.∫sin xdx = − cos x + C.

6.∫cos xdx = sin x + C.

5

ЗАВДАННЯ 1.

а) Знаходження невизначеного інтеграла шляхом зведення його до табличного називається безпосереднім інтегруванням.

Приклад 1

∫(5x3 +3x2 +4)dx = 5∫ x3dx+3∫ x2dx+4∫dx= 5 x4 +3 x3 +4x +C =

4 3

=5 x4 + x3 +4x +C. 4

Приклад 2

8

в) Інтегрування по частинам.

Якщо u(x) та v(x) диференційовані функції, то правдива наступна формула інтегрування по частинам

∫udv = u v − ∫vdu.

Цією формулою можна користуватися неодноразово. Треба вказати 4 основні випадки, коли використовується метод інтегрування по частинам.

1)Інтеграли виду ∫ Pn (x)ex dx .

Тому що при диференційовані показник ступеня многочлена

До інтегралу справа знову використовуємо формулу інтегрування по частинам. Так треба робити доки при

ex множник залишиться постійнім.

Зформули інтегрування по частинам маємо:

∫x2 e2 dx = x2 ex − ∫2xex dx.

Для інтегралу ∫2xex dx знову застосуємо формулу: u = x, dv = ex dx du = dx, v = ex ,

∫ x2 ex dx = x2 ex − 2(xex − ∫ex dx) = x2 ex − 2xex + 2ex + C.

9

2) Для інтегралів виду: ∫ Pn (x)sin xdx та ∫ Pn (x) cos xdx

діємо аналогічно, як і в випадку 1).

Приклад 10

∫ x cos xdx = x sin x − ∫sin xdx = x sin x + cos x + C.

3)Інтеграли виду: ∫ Pn (x) ln xdx .

В цьому випадку логарифмічну функцію слід прийняти за u, тому що після диференціації вона спроститься:

∫Pn (x) ln xdx = ln x ∫ Pn (x)dx − ∫ 1 ∫ Pn (x)dx dx + C.

x

Зробив інтегрування по частинам, знайдемо:

10

ЗАВДАННЯ 2.

Знайти об’єм продукції, випущеної за 5 років, якщо функція