математика 1227

21

∞

Інтеграл ∫ f (x)dx розбігається, отже і даний ряд розбігається.

1

1.2.2 Знакозмінні ряди. Ознака збіжності Лейбніца для знакопочережних рядів

Якщо серед членів ряду є як додатні, так і від’ємні (при цьому і тих, і інших необмежена кількість), то такий ряд називається знакозмінним.

Знакозмінний ряд називається знакопочережним, якщо будь-які два члени q>1ряду, які стоять поряд, мають протилежні знаки. Знакопочережний ряд можна записати так:

∞

u1 − u2 + u3 − u4 +... + (−1)n−1 un +... = ∑(−1)n−1 un ,

n=1

де всі числа un додатні.

Ознака Лейбніца.

Якщо члени даного ряду монотонно спадають за абсолютною величиною і його сума за абсолютною величиною не перебільшує абсолютної величини першого члена.

Наприклад. Довести збіжність ряду:

Даний ряд задовольняє умовам ознаки Лейбніца. Члени ряду за абсолютною величиною монотонно спадають, так як

отже, за ознакою Лейбніця ряд збігається.

Знакопочережний ряд, який задовольняє умовам ознаки Лейбніця, має таку властивість, якщо суму такого ряду замінити n -ю частковою сумою

Sn = u1 − u2 + u3 − u4 +... + (−1)n−1 un ,

22

тобто відкинути залишок Rn = S − Sn , то при цьому буде допущена похибка, абсолютна величина якої менша за абсолютну величину першого відкинутого члена un+1 .

Наприклад. Обчислити з точністью до 0,01 суму S ряду:

1 − 213 + 313 − 413 + 513 − 613 +...

Даний ряд збігається за ознакою Лейбніця. Відкинувши всі члени,

починаючи з 513 , ми припустимо похибку, яка менша 0,01. Так як

перший із відкинутих членів має знак плюс, то сума перших чотирьох членів

ряду за недостачею.

1.2.3 Абсолютна і умовна збіжність знакопочережних рядів. Властивості абсолютно збіжних рядів

Нехай маємо ряд з членами довільного знака

Складемо новий ряд із абсолютних величин членів ряду (*):

Ряд (*) називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд, складений із абсолютних величин його членів, тобто збігається ряд

(**).

Ряд (*) називається умовно збіжним, якщо він збігається, але ряд, складений із абсолютних величин його членів, тобто ряд (**), розбігається.

Нехай ряд (*) з членами довільного знака збігається абсолютно. Якщо в цьому ряді вибрати тільки додатні або тільки від'ємні члени, то одержані ряди будуть обидва збіжні. Якщо ж ряд (*) збігається умовно, то ряди, складені тільки із додатних або тільки від’ємних його членів, будуть розбіжними рядами.

Абсолютно збіжні ряди мають такі властивості:

24

n

∑∞ 1 - розбіжний. Отже даний ряд збігається умовно.

n=1 n

1.2.4 Функціональний ряд і його область збіжності. Степеневий ряд. Інтервал збіжності. Радіус збіжності степеневого ряду

Нехай дана нескінчена послідовність функцій u1 (x), u2 (x),..., un (x),... , які мають спільну область визначення.

Функціональним рядом називається складений із цих функцій вираз виду:

Функціональний ряд (1) при одних значеннях аргументу x може бути збіжним числовим рядом, а при інших значеннях аргументу x - розбіжним числовим рядом. Якщо функціональний ряд (1) збігається при x = x0 , то кажуть, що ряд збігається в точці x0 .

Областю збіжності ряду (1) називається сукупність всіх значень аргументу x , при яких цей ряд збігається.

25

x = x0 (x0 ≠ 0) , то він збігається абсолютно при будь-якому значенні

розбігається при будь-якому значенні x , яке задовольняє нерівність x > x0 .

Із теореми Абеля випливає, якщо степеневий ряд збігається в точці x0 ≠ 0 , то він збігається в інтервалі (− x0 , x0 ) . Можна довести,

що для всякого степеневого ряду, який має точки збіжності (окрім точки x = 0 ) і точки розбіжності, існує деяке число R > 0 , при цьому

ряд збігається у всіх точках, для яких x < R , і розбігається у всіх

26

точках, для яких x > R . Це число R називається радіусом збіжності

ряду (3).

Якщо ряд (3) збігається тільки при x = 0 , то покладаємо R = 0 . Якщо ж ряд (3) збігається при будь-якому значенні x , то покладають R = ∞. Інтервалом збіжності ряду (3) називається інтервал (−R, R) . Щоб знайти область збіжності степеневого ряду (3), треба спочатку визначити інтервал збіжності (−R, R) і після цього з’ясувати питання

про збіжність ряду на кінцях інтервалу, тобто при x = R і x = −R . На практиці радіус збіжності степового ряду (3) відшукують за

допомогою ознаки Даламбера або Коші.

Приклад. Застосовуємо ознаку Даламбера до ряду, складеному із

Слід зауважити, що формула (5) має місце тільки в тому випадку, коли степінь x при переході від одного члена до наступного зростає строго на одиницю.

lim n an

n→∞

Для степеневих рядів справедливі наступні теореми.

Теорема 1. Збіжний степеневий ряд можна почленно диференціювати будь-яке число раз всередині його області збіжності.

Теорема 2. Збіжний степеневий ряд можна почленно інтегрувати на будь-якому проміжку, який знаходиться всередині області збіжності даного ряду.

27

∞ 2n (x +2)n

Приклад 1. Знайти область збіжності ряду ∑ . n=0 5n (1+4n)

Заданий ряд – степеневий. Знаходимо радіус збіжності ряду:

28

1.2.5 Розвинення функцій в ряд. Наближені обчислення за допомогою рядів

Функцію можна розвинути в ряд в околі точки x0 за допомогою