тема 7

ТЕМА 7

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Определение целочисленной случайной величины. Биномиальный, пуассоновский, геометрический и равномерный законы распределения их числовые характеристики. Гипергеометрический закон.

Среди дискретных случайных величин особенно важны величины, принимающие только целые значения . Такие случайные величины называются целочисленными.

1. Биномиальный закон.

В общей форме бииномиальный закон описывает осуществление признака в испытаниях с возвратом. Наглядной схемой таких испытаний является последовательный выбор с возвращением шаров из урны, содержащей белых и черных шаров. Если - число появлений белых шаров в выборке из шаров, то

, , (7.2)

где - вероятность появления белого шара при одном извлечении, - вероятность появления черного шара при одном извлечении.

Основные характеристики биномиального распределения:

,

.

Пример 1. Пусть вероятность получения бракованного изделия равна . Какова вероятность того, что среди изделий окажется не более бракованных ?

Р е ш е н и е. Пусть , . Согласно биномиальному закону и закону сложения имеет место

.

2. Закон Пуассона (закон редких событий).

Случайная величина называется распределенной по закону Пуассона с параметром , если

, . (7.3)

Характерной особенностью распределения Пуассона является совпадения математического ожидания и дисперсии, причем

.

Распределение Пуассона может быть получено из биномиального распределения путем предельного перехода при , при условии и в этом случае интерпретируется как закон “редких” явлений. Если достаточно велико, а мало, то формулу Пуассона (7.3) часто используют в качестве приближения вместо точных биномиальных формул для вероятностей успехов в испытаниях (подробнее см. главу 3).

Пример 2. На факультете насчитывается студентов. Какова вероятность того, что первого сентабря является днем рождения одновременно для студентов данного факультета ? Вычислить указанную вероятность для значений .

Р е ш е н и е. Так как и вероятность родиться первого сентября любому из студентов факультета , то можно считать, что случайное число студентов , родившихся первого сентября, пожчиняется закону распределения Пуассона с параметром . Поэтому по формуле (7.3)

.

Далее находим рекуррентно:

,

,

.

К случайным величинам, подчиненым закону Пуассона, приводит большое число задач, относящихся к вопросам массового обслуживания. В качестве примера укажем работу телефонной станции. Можно доказать, что при выполнении некоторых условий вероятность вызовов за промежуток времени определяется формулой

(здесь - число вызовов). Если положить , то последняя формула означает, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

3. Геометрический закон.

Производится последовательность независимых испытаний до появления некоторого события , вероятность которого в каждом испытании одна и та же и равна . Тогда число произведенных испытаний есть дискретная случайная величина с геометрическим распределением вероятности. Примером может служить стрельба по некоторой цели до первого попадания, причем вероятность попадаиня при каждом выстреле не заависит от результатов предыдущих выстрелов и сохраняет постоянное значение . Число произведенных выстрелов будет случайной величиной, возможными значениями которой являются все натуральные числа. Геометрический закон распределеиня задается следующей формулой:

, ,

где .

Основные характеристики данного распределения:

,

.

4. Равномерный закон.

Равномерное распределение задается следующим законом:

, .

Этот закон имеет место в случае, когда возможных исходов испытания равновероятны. Примером целочисленной случайной величины, распределенной по равномерному закону, может служить число очков, выпадающих при бросании симметричной кости (любое из значений выпадает с одинаковой вероятностью ).

Числовые характеристики данного распределения:

,

.

5. Гипергеометрический закон.

Случайная величина имеет гипергеометрическое распределение с параметрами , и (, и - натуральные числа), если она принимает конечное множество возможных натуральных значений соответственно с вероятностями

, , (7.4)

причем

, .

Гипергеометрическое распределение возникает в экспериментах по выбору без возвращения шаров из урны, содержащей шаров, из которых белых и черных. Таким образом, это распределение описывает осуществление признака в выборке без возврата (в отличие от биномиального распределения). На практике к гипергеометрическому распределению приводят задачи, где изделия из партии отбирают случайно (обеспечивая для каждого изделия равную с остальными возмодность быть отобранным), но отобранные изделия не возвращают в партию. Такой отбор особенно важен в тех задачах, где проверка изделия связана с его разрушением (например, проверка изделия на срок службы). Числовые характеристики данного распределения:

,

.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. На контроль поступила партия деталей из цеха. Известно, что всех деталей не удовлетворяет стандарту. Сколько нужно испытать деталей, чтобы с вероятностью не менее обнаружить: а) хотя бы одну нестандартную деталь; б) не менее трех нестандартных деталей.

Ответ: а) ; б) .

2. Производится обстрел учебной цели из орудия. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна . Поражение цели может наступить при попаданиях () с вероятностью, равной (). Вычислить вероятность поражения цели при выстрелах.

Ответ: .

3. осветительных лампочек для елки включены в цепь последовательно. Вероятность для любой лампочки перегореть при повышении напряжения в сети равна . Определить вероятность разрыва цепи при повышении напряжения в сети.

Ответ: .

4. Аппаратура состоит из элементов, каждый из которых независимо от остальных выходит из строя за время с вероятностью . Найти вероятности следующих событий: - за время откажет хотя бы один элемент, - за время откажет ровно элемента, - за время откажет не более элементов.

Ответ: , , .

5. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в минуту, равно . Найти вероятности следующих событий: - за две секунды на АТС не поступит ни одного вызова, - за две секунды на АТС поступит менее двух вызовов, - за одну секунду на АТС поступит хотя бы один вызов, - за тре секунды на АТС поступит не менее шести вызовов.

Ответ: , , , .

6. Случайная величина - число электронов, вылетающих с нагретого катода электронной лампы в течение времени , - подчиняется распределения Пуассона с параметром ( - среднее чсло электронов, испускаемых в единицу времени). Определить вероятности следующих событий: - за время число испускаемых электронов будет меньше , - за время вылетит четноек число электронов.

Ответ: , .

7. Вероятность попадания стрелка в мишень в неизменных условиях постоянна и равна . Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнется. Обозначим число выданных стрелку патронов в данном эксперименте. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Ответ: ,

8. Из урны, содержащей белых и черных шаров, случайным образом и без возвращения извлекается шара. Случайная величина - число белых шаров в выборке. Описать закон распределения и найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Ответ: ,

	0	1	2	3
	1/6	1/2	3/10	1/30