ТЕМА 9

Предельные теоремы теории вероятностей

Неравенство Чебышева и его значение. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема теории вероятностей (теорема Ляпунова) и ее использование в математической статистике.

Теория вероятностей изучает закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Предельные теоремы теории вероятностей устанавливают зависимость между случайностью и необходимостью. Изучение закономерностей, проявляющихся в массовых случайных явлениях, позволяет научно предсказывать результаты будущих испытаний.

Предельные теоремы теории вероятностей делятся на две группы, одна из которых получила название закона больших чисел, а другая - центральной предельной теоремы.

В настоящей главе рассматриваются следующие теоремы, относящиеся к закону больших чисел: неравенство Чебышева, теоремы Чебышева и Бернулли.

Закон больших чисел состоит из нескольких теорем, в которых доказывается приближение средних характеристик при соблюдении определенных условий к некоторым постоянным значениям.

1. Неравенство Чебышева.

Если случайная величина имеет конечное математическое ожидание и дисперсию, то для любого положительного числа справедливо неравенство

, (9.1)

т. е. вероятность того, что отклонение случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине не превзойдет , больше разности между единицей и отношением дисперсии этой случайной величины к квадрату .

Запишем теперь вероятность события , т. е. события, противоположного событию . Очевидно, что

. (9.2)

Неравенство Чебышева справедливо для любого закона распределения случайной величины и применимо как к положительным, так и к отрицательным случайным величинам. Неравенство (9.2) ограничивает сверху вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания на величину, большую чем . Из этого неравенства следует, что при уменьшении дисперсии верхняя граница вероятности тоже уменьшается и значение случайной величины с небольшой дисперсией сосредоточиваются около ее математического ожидания.

Пример 1. Для правильной организации сборки узла необходимо оценить вероятность, с которой размеры деталей отклоняются от середины поля допуска не более чем на . Известно, что середина поля допуска совпадает с математическим ожиданием размеров обрабатываемых деталей, а среднее квадратическое отклонение равно .

Решение. По условию задачи имеем: , . В нашем случае - размер обрабатываемых деталей. Используя неравенство Чебышева, получим

.

2. Теорема Чебышева.

При достаточно большом числе независимых испытаний можно с вероятностью, близкой к единице, утверждать, что разность между средним арифметическим наблюдавшихся значений случайной величины и математическим ожиданием этой величины по абсолютной величине окажется меньше сколь угодно малого числа при условии, что случайная величина имеет конечную дисперсию, т. е.

,

где - положительное число, близкое к нулю.

Переходя в фигурных скобках к противоположному событию, получим

.

Теорема Чебышева позволяет с достаточной точностью по средней арифметической судить о математическом ожидании или наоборот: по математическому ожиданию предсказывать ожидаемую величину средней. Так, на основании этой теоремы можно утверждать, что если произведено достаточно большое количество измерений определенного параметра прибором, свободным от систематической погрешности, то средняя арифметическая результатов этих измерений сколь угодно мало отличается от истинного значения измеряемого параметра.

Пример 2. Для определения потребности в жидком металле и сырье выборочным путем устанавливают средний вес отливки гильзы к автомобильному двигателю, т. к. вес отливки, рассчитанный по металлической модели, отличается от фактического веса. Сколько нужно взять отливок, чтобы с вероятностью, большей , можно было утверждать, что средний вес отобранных отливок отличается от расчетного, принятого за математическое ожидание веса, не более чем на кг ? Установлено, что среднее квадратическое отклонение веса равно кг .

Решение. По условию задачи имеем , , , где - средний вес отливок гильзы. Если применить к случайной величине неравенстсво Чебышева, то получим

,

а с учетом равенств (4.4) и (4.5) -

.

Подставляя сюда данные задачи, получим

,

откуда находим .