- •Міністерство освіти та науки України
- •1 Хвилі в напрямних системах
- •1.1 Класифікація напрямлених хвиль
- •1.2 Поперечне хвильове число
- •1.3 Зв'язок між Es, Hs тa Ez, Hz
- •1.4. Загальні властивості напрямлених хвиль
- •2.1 Хвилі типу е в прямокутному хвилеводі
- •2.2 Круглий хвилевід
- •3 Коаксіальна лінія
- •Перелік посилань
2.1 Хвилі типу е в прямокутному хвилеводі
Розв'язок хвильового рівняння для складової
Запишемо рівняння (13) в декартовій системі координат
(42)
Будемо розв'язувати це диференціальне рівняння другого порядку в частинних похідних методом розділення змінних, тобто представимо вирішення у вигляді:
(43)
В (34) X залежить від змінної х, a Y - від у. Підставимо (43) в (42) і отримаємо
Розділимо ліву та праву частини на
(44)
В рівнянні (44) ліва частина уявляє собою суму двох незалежних по координатам х та у частин, тому можливо і праву частину представити у вигляді суми двох незалежних частин
(45)
тоді рівняння (45) розпадеться на два незалежних рівняння
; . (46)
Представимо (46) в іншому вигляді
; . (47)
Рівняння типу (36') добре вивчені. їх вирішення - це суперпозиція
гармонійних функцій
(48)
Підставимо (48) в (43) і отримаємо вирішення рівняння (42)
(49)
Знаходження невідомих Кх, Ку та K
В виразі (49) є шість невідомих: А, В, С, D, Кх, Ку. Для їх визначення
треба скористатися граничними умовами:
при х=0, х=а а)
(50)
при y=0, y=в б).
Підставимо (50а) в (49) і отримаємо два рівняння
а)
(51)
б).
Рівняння (51а) буде задовільнене при будь-яких значеннях змінної у тільки тоді, коли А=0. Підставимо А=0 в (51б) і отримаємо
Це рівняння буде при тій же умові (тобто для будь-яких у) задовільнене лише тоді, коли
BsinKxa = 0. (52)
Підставляючи (50б) в (49) аналогічно отримаємо а)
б). (53)
Розглянемо сукупність рівнянь (52) та (53б). Вони при А=0 та С=0 можуть бути задовільнені лише тоді, коли
а)
(54)
б).
Якщо ж припустити, що для задовільнення (52) та (53а) величини B=D=0, то при А=С=0 отримаємо з співвідношення (49), що і Ez=0, а це не задовольняє головній умові існування хвилі типу .
Із (54) витікає, що
а)
(55)
б).
В (55) m та п - це натуральний ряд чисел, починаючи з 1, бо при А=С=0, значення m=0, або n=0 знову приводять до Ez = 0, тобто зникає хвиля типу Е. Підставимо А=0, С=0 та (55) в (49) і позначимо добуток BD = E0z.
. (56)
Таким чином, отримали вирішення хвильового рівняння (43) у вигляді
(56). Для знаходження поперечної сталої поширення підставимо (55)в (45) і отримаємо
(57)
Знаходження поперечних складових та
Для знаходження структури поперечних складових електричного поля та використаємо (11) та (12) при Hz = 0.
(58)
(59)
Відмітимо, що (8') можливо і не користуватися, бо вже маємо співвідношення (32) для хвиль типу Е
Підставимо у вигляді (56) в (58)
З урахуванням ,розпишемо останній вираз покоординатно
(60)
Використавши (32), із (60а), (60б) зразу ж отримаємо (урахувавши, що
(61)
Висновки по (56) та (60): 1. Структура ,, , , в площині поперечнього перерізу відповідає структурі стоячих хвиль. При цьому m - число півхвиль, які вкладаються по широкій стінці, п - число стоячих півхвиль, які вкладаються по вузькій стінці. В відповідності до такої трактовки хвилі типу Е позначаються (або , або ), де кожній парі індексів m та n відповідає своя структура е.м.х. в хвилеводі.
2. В напрямі вісі z всі складові для хвилі типу Е мають характер рухомої хвилі - залежність .
3. Залежність від часу -
4.та зсунуті по фазі відносно на , що в одиницях довжини відповідає , де - довжина хвилі в хвилеводі, яка визначається по (19).
5. Індекс , бо інакше Еz = 0 і зникає хвиля типу Е.
Структура поля для хвиль типу Е
Для прикладу розглянемо структуру е.м.п. для е.м.х. типу Еп (це найнижча хвиля типу Е); спочатку окремо по її складовим.
1. Структура Ez - співвідношення (56), рис. 2.2.
Хай умовно вектор Ez в перерізі z = z0 має напрям, який протилежний напряму вісі z - рис.2.2а.
Якщо розглянути переріз z = z0+,то Ez міняє напрям на
протилежний, бо = -1 (дивись мал.2.2в).
Рисунок 2.2 - Структура складової Ez хвилі Еп
2. Структура Ех - (60а) та Ну - (60г), рис. 2.3а. та рис. 2.3б., відповідно, де позначкою (•) умовно зображено, що складова Ех переходить в складову
Рисунок 23 - Структура складових Ех та Н хвилі Еи
3. Структура Еg - (60б) та Нх - (60в), рис. 2.4а та 2.4б, відповідно.
Для побудування повної структури врахуємо, що:
Силові лінії вектора Е не перериваються, тобто силова лінія вектору Ez повинна замикатися силовими лініями ;
Силові лінії вектора Hs повинні бути замкненими, тобто Нх повинно замикатися Ну;
В будь-якій точці поперечнього перерізу для отримання сумарного вектору треба скласти два вектора (векторно);
4. Максимуми (або мінімуми) поперечних та поздовжніх складових вектору зсунуті по вісіz на .
Рисунок 2.4 - Структура складових Е та Нх хвилі Еп
Розглянемо відрізок хвилеводу з умовною довжиною та введемо характерні перерізи 1, 2, 3 - рис. 2.5.
Рисунок 2.5 - Характерні перерізи
Приймемо, що в розглядуваний момент часу t = t0 в перерізі z0 = 0 спостерігається максимум EzJ тобто Е2 = Ezmax .
Тоді з урахуванням зроблених зауважень (про побудування силових ліній для сумарних векторів) отримаємо повну структуру поля хвилі типу Еп - рис.2.6.
Рисунок 2.6 - Структура поля хвилі Е11 в перерізах
Далі розглянемо хвилі типу Н в прямокутному хвилеводі.
Хвилі типу Н в прямокутному хвилеводі
Для хвиль типу Н ввели умову:
Поздовжня складова магнітного поля Н2 задовільняє рівнянню (13)
Розпишемо оператор тоді рівняння буде
(62)
Приймемо, що і проведемо розділення змінних. Отримаємо вирішення
(63)
Для визначення невідомих А, В, С, D, Кх, Ку використаємо граничну умову (41) для Нz: =0.
З його використанням отримаємо: B = 0; D = 0
(64)
(65)
Невідомі , бо щезне хвиля Н приB=D=0 і звідси
(65)
З виразу (65) знайдемо
(66)
З виразу (66) виходить, що у хвиль типу Н при однакових з хвилями типу
Е значеннях індексів m та n значення параметрів співпадають
з аналогічними величинами для хвиль типу Е. Це явище зветься виродженням, а хвилі Н та Е при однакових m та n звуться виродженими хвилями. Позначаючи AC=Hoz і підставляючи знайдені невідомі в співвідношення (63), для Hz отримаємо
Для визначення поперечних складових використаємо (11) та (12)
(68)
Висновки по (67), (68).
1, 2, 3, 4 - тіж самі, що і для хвиль типу Е.
5. Індекси m та n можуть приймати значення m=0 або n=0, тобто хвиля типу Н може існувати і без півхвильових варіацій по вісям х або у для відповідних складових е.м.п. Таким чином, якщо a>b, то найнижчим типом хвилі серед хвиль типу Н є хвиля типу Н1о. Для неї . У найнижчої хвилі типу Е - хвилі Е11 . Як видно , томухвиля Н10 є найнижчою не тільки серед хвиль типу Н, а й серед хвиль типу Е, тобто серед всіх ймовірних типів хвиль прямокутного хвилевода.
Діаграма хвиль прямокутного хвилеводу
Розглянемо наступну хвилю типу Н – Н20. її критична довжина хвилі
. Якщо взяти такий хвилевод, де b а/2 , то для такого хвилеводу,
а навіть при b =
Як бачимо , тобто наступною хвилею за основною буде не Е11,Н11, а хвиля Н20. На основі цього аналізу можливо побудувати
діаграму хвиль прямокутного хвилеводу (),
Рисунок 2.7 - Діаграма хвиль ПХ
З діаграми видно, що діапазон хвиль з довжиною а < < 2а відповідає розповсюдженню основної хвилі Н10.
Хвиля Н10 в ПХ
Розглянемо окремо хвилю Н10 - основну хвилю прямокутного хвилеводу. Підставимо m=1 і n=0 в (67), (68).
(69)
Знайдемо параметри для хвилі Н10
(70)
; ;(71)
; для вакууму (72)
Структура поля хвилі Н10 для ПХ
Розглянемо структуру поля хвилі типу Н10 с початку окремо по складовим.
Рисунок 2.9 - Розподіл складових Нх - а), Еу - б) для хвилі Н10 ПХ
Для побудування повної структури зробимо деякі зауваження:
Силові лінії магнітного поля повинні бути замкнені, тому складова Нх замикається складовою Hz.
Максимуми (або мінімуми) та зсунуті відносно один-одного на
.
3. Розглянемо відрізок хвилеводу з умовною довжиною та введемо
характерні перерізи (рис. 2.10).
Поперечний переріз № 3 умовно візьмемо при тому значенні координати z, де буде максимум у складових Es та Hs (в цьому перерізі Hz=0).
Рисунок 2.11 - Структури та розподіли складових е. м. п. хвилі типу Н10 ПХ в перерізах 1- а), 2- б) (в перерізі 2 Hz=0)
Рисунок 2.12- Структура Еу та Нх хвилі Н10 ПХ в перерізі 3 (тут Hz=0)
Поляризаційні властивості хвиль типу Н
Необхідно відмітити одну обставину щодо поляризаційних властивостей магнітної компоненти е. м. п. хвиль типу Н, яку можливо продемонструвати на прикладі хвилі Н10.
Розглянемо деякий переріз А-А, що розташований між умовною коорди-натаю z=0 та z= , тобто між тими перерізами, де є максимум та максимум . Як виходить з (68):
а) різниця фаз між цими складовими .
б) В той же час ці два вектори ( та ) взаємно перпендикулярні.
Як відомо, при виконанні цих двох умов (, ) магнітне поле в електромагнітній хвилі буде мати обертову поляризацію, в загальному випад-
ку - еліптичну. Для того, щоб еліптична поляризація
стала круговою, треба щоб виконувалася умова . Хай це
буде виконуватися в повздовжньому перерізі В-В. Знайдемо ту координату С1,
при якій магнітне поле буде мати колову поляризацію. Ці координати знайдемо,
прирівнявши амплітуди .
Поділимо ліву та праву частину на ; ;
;
Підставимо та в праву частину і отримаємо
, звідси маємо
.
Приклад: хвилевод . Для нього діапазон хвилі Н10
. Візьмемо середину діапазону
.
Тоді .
Якщо взяти симметричну відносно площини координату С2, то
отримаємо , але, оскільки при вектор має протилежний напрям (до попереднього, тобто при С1=0,25а), то напрямок обертання зміниться на протилежний. Це явище використовується в пристроях НВЧ з феритами для розробки пристроїв невзаємного типу.
Для завершення загальних питань розглянемо хвилеводи колового перерізу, а потім більш ретельно дослідимо ті характеристики хвилеводів, які мають технічні застосування.