1.4. Загальні властивості напрямлених хвиль

В ЛП різного типу можуть поширюватися однорідні (ТЕМ) та неоднорідні (Н, Е, гібридні) типи хвиль. Для вивчення їх властивостей необхідно виявити, як залежать їх характеристики від геометрії ЛП, її заповнення (, ) та частоти.

Критична частота (довжина хвилі)

Вже отримано вираз для поздовжнього хвильового числа

.

Залежність від поздовжньої координати при цьому було обрано, як для рухомої хвилі - у вигляді (2).

Тоді, для того, щоб фазовий набіг мінявся лінійно при зміні координати z

(а це головна ознака рухомої хвилі), хвильове число повинно бути чисто дійсним числом, що можливо лише при виконанні умови

; (14)

якщо (14) не виконується, то - чисто уявна величина, тоді фаза вздовж z не

змінюється, а амплітуда буде зменшуватися по закону . При цьому з двох можливих значень взяли , бо значення не відповідає фізичній

суті: якщо взяти , то амплітуда буде збільшуватися по закону . Визначення: Частота, яка визначається з умови

(15)

зветься критичною частотою f_кр розглядуваної ЛП. З умови (15) визначимо

критичну частоту f_кр

. (16)

Для того, щоб знайти f_кр, треба розв'язати рівняння типу (13) при тих граничних умовах, які справедливі для розглядуваної ЛП; звідси знайти те К_кр

(або ), яке відповідає критичному режиму, а потім скористатися виразом (16).

Знайдемо довжину хвилі , що відповідає частоті f_кр.

,

де - фазова швидкість в вільному середовищі з параметрами , .

Ця величина (знайдена з (17)) зветься критичною довжиною хвилі.

Поздовжні стала розповсюдження та довжина хвилі в ЛП. Дисперсія

Для знаходження підставимо в (6) вираз (17)

, (18)

де - довжина хвилі в вільному середовищі, заповненому речовиною з

параметрами , .

Введемо - довжина хвилі в поздовжньому напрямку ЛП.

Підставимо сюди з (18) і отримаємо

.

Вираз (19) - дисперсійна характеристика, тобто залежність від (або ).

Висновки:

1. Хвилі в ЛП можуть поширюватися лише при умові ().

2. Довжина хвилі в ЛП - відрізняється від довжини хвилі в вільному прос­торі: .

3. Якщо , тобто , то і відповідної ЛП нелінійно залежать

від частоти. Це явище зветься дисперсією, а ЛП, яким воно властиве - диспер­сійними.

Розглянемо, як залежать характеристики напрямлених хвиль від їх типу

(ТЕМ, Е, Н, гібридні).

Хвиля ТЕМ - поперечньо електромагнітна

Для цієї хвилі по її визначенню E_z =0, H_z =0. Підставимо ці значення в (11) та (12) і отримаємо

. (20)

Оскільки завбачується, що хвиля існує, то , та , тоді з (20) виходить

, або , або f_кр = 0 (21)

і, таким чином, в тих ЛП, де можливе існування ТЕМ- хвилі, вона може поширюватися на будь-яких частотах. Можливо показати, що цій умові в першу чергу задовольняють двозв'язані системи, тобто такі, де може існувати сталий струм (f_кр =0). Поперечні перерізи таких ЛП зображені на рис. 1.3.

Рисунок 1.3- ЛП з хвилею ТЕМ

Для знаходження підставимо (21) в (18) і отримаємо

, (22)

звідси фазова швидкість

, (23)

тобто та такі ж як і для плоскої хвилі в такому ж середовищі.

Підставимо в (5 вираз (22)

. (20)

Це рівняння Лапласа, які, як відомо, визначають потенціальні поля, а це, в свою чергу, визначає, що

, (25)

де - скалярний потенціал, який також задовольняє рівнянню Лапласа.

. (26)

Підкреслимо деякі важливі обставини:

1. Рівняння (24), (25) описують статичні поля і вони для хвилі з залежністю від

часу у вигляді справедливі лише тоді, коли зафіксувати час (t = t₀).

2. Ці рівняння справедливі лише для поперечного перерізу, а по вісі z це .

Таким чином, розв'язавши (26), знайдемо , а потім по (25) знайдемо і . Функцію, яка аналогічна можливо ввести і для визначення - це векторний електродинамічний потенціал , але в цьому нема потреби, бо вектори та взаємозв'язані. Для того, щоб це продемонструвати підставимо в (9а)-(9г) значення E_z = 0, H_z = 0.

(27)

Зложимо (9б) з (9в) і отримаємо

.

З умови правої трійки знайдемо ; , тоді

;

.

У відповідальності з (22) для хвилі ТЕМ , тоді

. (28)

Згадаємо визначення характеристичного опору для плоскої хвилі

- порівняємо з (28), звідси

, (29)

, (30)

Висновки:

1. З (29) виходить, що характеристичний опір хвилі ТЕМ для ЛП, що заповнена речовиною з параметрами , співпадає з таким же для плоскої хвилі в середовищі з параметрами , .

2. З (30) виходить, що для хвилі ТЕМ вектори та взаємно перпендикулярні.

3. Характеристики хвилі ТЕМ (, , К_кр, f_кр, z_c) не залежать від частоти. Але цей висновок справедливий лише до тої частоти f_кр.в, починаючи з якої у відповідній ЛП можуть існувати хвилі більш високого типу, ніж ТЕМ - це Н, Е, гібридні.

Хвилі типу Е (ТН, ТМ). Електричні хвилі

Для хвиль типу Е складова . Підставимо це значення в (11) та (12) і отримаємо

(31)

Знайдемо величину з (31а)

- підставимо в (246) і отримаємо

, a6o

. (32)

Як видно з (32) вектори та взаємно перпендикулярні та синфазні, як і для хвилі ТЕМ. Підкреслимо, що це відноситься лише для поперечних складових.

Вже отримано (18) , де ;

Підставимо (18) в (32)

.

Звідси зразу знайдемо z_c з умови

. (33)

Для вакууму , , тоді

, тоді

. (34)

Частотні залежності для зображені на рис. 1.4.

Рисунок 1.4 - Частотні залежності для

При - чисто уявна величина, вектори та

зсунуті по фазі на , , тому передачі енергії нема:

, тобто зменшується по закону експоненти. Підкреслимо, що це зменшення зумовлене не втратами в стінках, а реактивним характером е.м.х. в ЛП при

Знайдемо фазову швидкість хвилі типу Е.

- підставимо сюди (18) і отримаємо

,

Де - швидкість світла в середовищі з параметрами .

Частотні залежності для зображені на рис. 1.5.

Рисунок 1.5 - Частотні залежності для

Висновок: параметри хвилі типу Е нелінійно залежать від частоти, тобто ця хвиля дисперсійна.

Хвилі типу Н (ТЕ). Магнітні хвилі

Для хвилі типу Н складова . Підставимо в (11) та (12)

а)

(36)

б)

Знайдемо з (36)

iпiдставимо в (36)

, звiдси отримаємо

. (37)

Для того, щоб (37) привести до класичної форми, помножимо (37) зліва

на орт

Тут маємо подвійний векторний добуток

, а тому

Скалярний добуток, бо кут між векторами z₀ та H_S дорівнює

, а скалярний добуток , бо кут дорівнює 0.

- звідси зразу отримаємо

(38)

Цей вираз показує, що поперечні складові H_S та E_S хвилі типу Н cинфазні та взаємно перпендикулярні.

З урахуванням (18)

отримаємо

, або

(39)

Для вакууму , , і з урахуванням цього

. (40)

Частотні залежності для зображені на рис. 1.6 . Корисно порівняти їх з рис.1.4.

Рисунок 1.6 - Частотні залежності для

При опір - чисто уявна величина, вектори та зсунуті по фазі на , передачі енергії нема, та експоненціально зменшуються по z.

- залежність така ж, як і для хвилі типу Е.

Як видно з останніх виразів, хвиля Н також дисперсійна. Для подальшого розгляду нам буде потрібна гранична умова для складової H_z на поверхні ідеального провідника. Отримаємо її з виразу (36).

Гранична умова для H_z на поверхні провідника

20

Рисунок 1.7 - До граничної умови для складової H_z

З виразу (36) при E_z = 0 маємо .

Але для будь-якої ЛП площина поперечнього перерізу перпендикулярна до вісі z, тобто будь-який орт буде лежати в цій площині, тому можливо за­писати, що

H_s = Нn, де n₀ - напрямок нормалі до бокової поверхні.

З другого боку, градієнт по S - це максимальна з похідних по напрямку, тобто

Таким чином

, але на поверхні провідника з .

Звідси витікає, що

. (41)

Порівняємо залежності та - рис.1.8.

Ці залежності навівають на думку, що на достатньо високих частотах сукупність хвиль Н та Е повинна дати хвилю типу ТЕМ.

Далі будемо розглядати конкретні напрямні системи, тобто лінії передавання різних типів. Почнемо з хвилеводів. Найбільш поширені з них мають поперечний переріз у формі прямокутника, або кола.

Рисунок 1.8 - До порівняння залежностей та

2 ПРЯМОКУТНИЙ ХВИЛЕВІД

Прямокутний хвилевід зображений на рис. 2.1

Рисунок 2.1 - Прямокутний хвилевід

Сумістимо початок декартової системи координат з вершиною внутрішнього кута хвилеводу - точка О. Хай розміри хвилеводу а та в.

Нагадаємо, що поздовжні складові E_z та Н_z задовольняють рівнянням (13)

(13)

а зв'язок між , та , встановлюється виразами (11) та (12).

Будемо розглядати окремо хвилі типу Е та Н, а хвилі типу ТЕМ в таких системах поширюватися не можуть (бо нема умов для протікання сталого струму).