![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Міністерство освіти та науки України
- •1 Хвилі в напрямних системах
- •1.1 Класифікація напрямлених хвиль
- •1.2 Поперечне хвильове число
- •1.3 Зв'язок між Es, Hs тa Ez, Hz
- •1.4. Загальні властивості напрямлених хвиль
- •2.1 Хвилі типу е в прямокутному хвилеводі
- •2.2 Круглий хвилевід
- •3 Коаксіальна лінія
- •Перелік посилань
1.2 Поперечне хвильове число
Для будь якого типу хвиль при відсутності сторонніх джерел поля (або
струму,
напруги, зарядів), вектори
та
задовольняють
векторним рівнянням Гельмгольца:
,
(4)
де
- квадрат хвильового числа.
Рівняння (4) справедливо для будь якої хвилі.
Будемо
шукати такі вирішення системи (4), які
властиві біжучій хвилі, тобто у вигляді
(2). Підставимо (2) в (4), та будемо вважати
середовище без втрат, тобто
,
,
а оператор Лапласа візьмемо у вигляді
,
де
.
Тоді отримаємо
а) (5)
б)
Раніше
в (4) множник
був названий хвильовим числом. Але (4)
- це рівняння відносно всіх трьох
координат, а в (5) входять тільки дві
поперечні координати ЛП, тому було б
природнім назвати аналогічний множник
в (5)
(4)
квадратом
поперечнього хвильового числа ()
для
відповідної ЛП. Тоді до
множника
більше
підійде назва: повздовжнє хвильове
число вільного простору Кв.
Таким чином далі будемо вважати
,
,
,
(7)
де Кх - вільний простір;
-
напрямна система.
З урахуванням співвідношення (1) кожне рівняння в (5а) та (5б) еквівалентне трьом скалярним рівнянням відносно Ех(х,у), Ez(x,y) та Нх(х,у), Ну(х,у) та Hz(x,y). Але розв'язувати шість рівнянь нема потреби, бо з рівнянь Максвелла можливо отримати вирази, які дають зв'язок між Es, Hs та Ez, Hz.
1.3 Зв'язок між Es, Hs тa Ez, Hz
Запишемо рівняння Максвелла в комплексній формі.
(8)
де
.
Запишемо
рівняння (8) відносно проекцій векторів
,
,
,
на вісі х та у
;
;
;
.
Далі
врахуємо, що
і тоді
а)
(9)
б)
в)
г)
З
виразу (9в) знайдемо
(якщо
,
то і А = В).
-
підставимо в (9а)
-
знесемо
вліво
-
розділимо обидві частини на j
та
помножимо на
і
отримаємо вираз (10а).
Виконуючи
аналогічні дії для ,
,
неважко отримати (10б),
(10в)
та (10г)
а)
б)
в) (10)
г)
Складемо (10а) та (10б) і отримаємо
.
Розглянемо
вираз в останніх дужках з врахуванням
векторних співвідношень ;
і отримаємо
,
або з врахуванням попереднього співвідношення
.
(11)
Якщо скласти (10в) та (10г), неважко отримати
.
(12)
Особливо відмітимо, що співвідношення (11) та (12) отримані з самих загальних співвідношень - рівнянь Максвелла, тому вони теж мають загальний характер, справедливі для будь-яких типів напрямлених хвиль - Е, Н, ТЕМ, гібридні та не залежать від типу ЛП.
Висновок:
маючи співвідношення (11) та (12), для
знаходження
та
достатньо
вирішити (розв'язати) хвильові скалярні
рівняння для
та
(а
не вектори типу (4))
(13)
з граничними умовами, відповідними розглядуваному типу хвилі в конкретній ЛП, а потім поперечні складові знаходяться потім по (11) та (12).