Застосування операційного числення

1) Розв’язання задачі Коші для лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами

Постановка задачі Коші така: знайти розв’язок лінійного диференціального рівняння –го порядку зі сталими коефіцієнтами:

,

який задовольняє початкові умови

Операційний метод розв’язування такої задачі полягає в тому, що шукану функцію і праву частину диференціального рівняння вважаємо оригіналами і переходимо від рівняння, що зв’язує оригінали до рівняння, що зв’язує зображення. Тут – задана функція-оригінал, та  – задані числа. Застосуємо теорему диференціювання оригіналу і врахуємо властивість лінійності до обох частин заданого рівняння, поклавши ,. Отримаємо лінійне алгебраїчне рівняння, яке розв’язуємо відносно . Для знайденого зображення знаходимо оригінал . Це і є шуканий розв’язок .

2) Розв’язання задачі Коші для систем лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами

Розв’язання задачі Коші для системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами виконується за тією ж схемою, що і для лінійного диференціального рівняння. Застосування перетворень Лапласа до рівнянь системи, зводить її до системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно зображень шуканих розв’язків. За знайденим зображенням знаходимо оригінали, які є розв’язками системи.

Основні оригінали і їх зображення.

№	Оригінал	Зображення	№	Оригінал	Зображення
1.	1		12
2.			13
3.			14
4.			15
5.			16
6.			17
7.			18
8.			19
9.			20
10			21
11			22
23

3.2Аудиторні завдання

1. Визначити, які з функцій є функціями-оригіналами: а); б); в).

Відповідь: а) так, б) ні, в) так.

2. Користуючись означенням, знайти зображення за Лапласом наведених функцій: а) ; б) ; в) .

Відповідь: а); б);в).

3. Знайти зображення за Лапласом наведених функцій, користуючись таблицею оригіналів та зображень

а) ; б) ; в) .

Відповідь: а) ; б) ;

в) .

4. Знайти зображення наведених функцій, користуючись теоремами про зображення та оригінали:

а); б); в); г); д).

Відповідь:.

5. Знайти зображення за Лапласом кусково-неперервної функції, заданої графічно:

Відповідь: .

6. Знайти оригінали за заданими зображеннями:

;;.

Відповідь: а);б);

в).

7. Користуючись методом операційного числення, знайти розв'язок диференціального рівняння, який задовольняє вказаним початковим умовам:

а) ;

б) .

Відповідь: а);б).

8. Користуючись методом операційного числення, знайти розв'язок систем диференціальних рівнянь (вважається, що ):

а) б)

Відповідь: а)

б)