84

МінІстерство освіти і науки УкраЇни

Запорізький національний технічний університет

Індивідуальні завдання до розрахунково-графічної роботи

з вищої математики

для студентів технічних спеціальностей

денної форми навчання

(3-й семестр)

2014

Індивідуальні завдання до розрахунково-графічної роботи з вищої математики для студентів технічних спеціальностей денної форми навчання (3-й семестр) / Укл.: Засовенко А.В., Слюсарова Т.І., Шаніна З.М., Штефан Т.О. - Запоріжжя: ЗНТУ, 2014. - с.82

Укладачі: А.В. Засовенко, к.т.н., доцент;

Т.І. Слюсарова, асистент;

З.М. Шаніна, к.т.н., доцент;

Т.О. Штефан, ст. викладач.

Рецензенти: І.М. Килимник, к.т.н., доцент;

Т.Г. Полякова, асистент.

Відповідальний

за випуск: Т.О. Штефан, ст. викладач.

Комп’ютерна верстка Т.О. Штефан, ст. викладач.

Затверджено

на засіданні кафедри

вищої математики

Протокол №2

від 03.09.2014 р.

ЗМІСТ

Правила виконання та оформлення розрахунково-графічної роботи. 4

1. Числові та функціональні ряди 5

   1. Довідковий матеріал 5

   2. Аудиторні завдання 13

   3. Індивідуальні завдання 15

2. Елементи функції комплексної змінної 26

   1. Довідковий матеріал 26

   2. Аудиторні завдання 37

   3. Індивідуальні завдання 40

3. Елементи операційного числення 59

   1. Довідковий матеріал 59

   2. Аудиторні завдання 65

   3. Індивідуальні завдання 67

Література 81

Правила виконання та оформлення розрахунково-графічної роботи.

Розрахунково-графічна робота (РГР) виконується студентом самостійно згідно номеру індивідуального варіанту, який визначається викладачем. Роботи виконані не за своїм варіантом, не зараховуються.

РГР подається викладачеві на перевірку і захищається студентом на консультаціях у терміни, визначені учбовим планом.

На титульній сторінці треба записати назву РГР, дисципліну, з якої виконується РГР, номер академічної групи, прізвище, ім’я та по батькові студента повністю, рік виконання роботи. Також необхідно зазначити посаду, науковий ступінь, прізвище, ім’я та по батькові викладача.

В роботі повинні бути розв’язані всі завдання вказані викладачем. Розв’язання задач необхідно подавати в порядку номерів завдань, зберігаючи їх послідовність. Умова задачі наводиться повністю.

1. Числові та функціональні ряди

1.1 Довідковий матеріал Числові ряди

Вираз виду , (1.1)

де , називаєтьсячисловим рядом. Числа називаються членами ряду,-n-й член ряду (1.1).

Суми називаютьсячастинними сумами, а -n-ою частинною сумою ряду (1.1). Якщо послідовність частинних сум збіжна і, то ряд (1.1) називається збіжним,а числоS називається сумою ряду. Якщо не існує (або нескінчена), то ряд (1.1) називаєтьсярозбіжним.

Необхідна умова збіжності ряду. Якщо ряд (1.1) збіжний, то

.

Достатні ознаки збіжності знакододатних рядів

-Ознака Д’Аламбера. Якщо для ряду існує (скінчена або нескінчена) границя

,

то при ряд збігається, а при розбігається. Припитання про збіжність ряду потребує додаткових досліджень.

-Ознака Коші (радикальна). Якщо для ряду існує (скінчена або нескінчена) границя

,

то при К1 ряд збігається, а при К1 розбігається. При К=1 питання про збіжність ряду залишається відкритим і потрібні додаткові дослідження.

-Інтегральна ознака Коші. Якщо функція неперервна і монотонно спадна на проміжку, то інтегралі рядодночасно збігаються або розбігаються (тут всі члени ряду. Твердження справедливе, якщо всі умови виконані на проміжку

-Ознаки порівняння рядів. Нехай маємо два ряди з невідємними членами: 1) та2) .

1. Якщо для будь-якого , то із збіжності ряду 2) випливає збіжність ряду 1), а із розбіжності ряду 1) випливає розбіжність ряду 2).

2. Якщо існує , то ряди 1) і 2) одночасно збігаються, або розбігаються.

На практиці найчастіше досліджувані ряди порівнюють з

а) узагальненим гармонічним рядом

,

що збігається при 1 і розбігається при 1;

б) рядом, що представляє собою геометричну прогресію

де ,

який збігається при його сумаі розбігається при.

Знакозмінні ряди

Ряд називається знакозмінним, якщо серед його членів є як від’ємні, так і додатні.

Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо ряд, складений з модулів його членів, є збіжним.

(1.2)

Частинним випадком знакозмінного ряду є знакопочережний ряд, знаки членів якого строго чергуються:

(1.3)

де

Цей ряд досліджують на збіжність за ознакою Лейбніца.

Теорема 1 (ознака Лейбніца). Якщо в знакопочережному ряді (1.3) члени такі, що

, де , але не обов’язково (1.4)

, (1.5)

то ряд (1.3) збігається.

Ряди вигляду (1.3), що задовольняють умовам (1.4) і (1.5), називаються рядами Лейбніца.

Теорема 2. Якщо збігається ряд (1.2), то збігається і знакозмінний ряд.

Враховуючи ці дві теореми, можна запропонувати наступну схему дослідження на збіжність знакопочережного ряду (1.3): потрібно скласти ряд (1.2) з модулів членів даного ряду і дослідити знакододатний ряд (1.2) на збіжність по одній з достатніх ознак для знакододатних рядів викладених вище.

При цьому може виникнути одна із наступних ситуацій:

1. Якщо ряд (1.2) збігається, то по теоремі 1 ряд (1.3) збігається абсолютно.

2. Якщо ряд (1.2) розбігається і ознака Лейбниця не виконується, то ряд (1.3) розбіжний.

3. Якщо ряд (1.2) розбігається і ознака Лейбниця виконується, то ряд (1.3) збігається умовно.

Зауваження. Зверніть увагу на те, що з розбіжності ряду (1.2) не випливає розбіжність ряду (1.3) ряд (1.3) при цьому може бути або збіжним умовно (див. п. 3 схеми дослідження), або розбіжним (див. п 2 тієї ж схеми).