3. Елементи операційного числення

3.1 Довідковий матеріал.

Оригіналом називається комплексна функція дійсної змінної , що задовольняє умовам:

1) – однозначна, кусково-неперервна функція разом зі своїми похідними -го порядку в інтервалі ;

2) при ;

3) існують такі числа і , що для всіх справедливо: .

Число , для якого умова 3) виконана при будь-якому і не виконується при ( – точна нижня межа чисел ) називається показником зростання функції . Функції, які при є обмеженими, або задовольняють умові 3) називаються функціями експоненціального типу.

Зображенням функції-оригіналу називається функція комплексної змінної , яка визначається інтегралом (перетворення Лапласа) Лапласа

Цей інтеграл залежить від параметра . Операцію переходу від оригінала до зображення називають перетворенням Лапласа. Якщо функція – оригінал із показником зростання , то її зображення визначено у комплексній півплощині . Співвідношення між оригіналом і зображенням символічно записують: , і т.п. Оригінал зображується малою літерою, а зображення – відповідною великою.

Найпростішою функцією-оригіналом є одинична функція Хевісайда:

.

Зауважимо, якщо для функції , що задовольняє умовам 1) і 3), не виконується умова 2), то для функції

умова 2) виконується і ця функція є оригіналом. Надалі запис слід розуміти як .

Властивості перетворення Лапласа.

Припускаємо, що функції , є оригіналами.

1. Лінійність. Якщо , то для будь-яких комплексних чисел функція також є оригіналом і справедлива рівність:

2. Теорема подібності. Якщо , , , то

і .

3. Теорема зсуву. Якщо і – будь-яке комплексне число, то

,

тобто множенню оригіналу на відповідає зсув зображення на .

4. Теорема запізнювання. Якщо , , , то

,

тобто запізнюванню оригіналу на відповідає множення зображення на .

5. Диференціювання оригінала. Якщо функції є функції-оригінали і, то

,

,

…………………………………..

Зокрема, якщо , то

.

6. Диференціювання зображення. Якщо , то

Останню формулу представимо у вигляді:

7. Інтегрування оригінала. Якщо

.

8. Інтегрування зображення. Якщо і інтеграл збіжний, то

.

9. Теорема множення (теорема про згортку). Якщо і , то. Вираз

називається згорткою функцій і .

Якщо функція в околі точки може бути представлена рядом Лорана , то функція є оригіналом, що має зображенням функцію .

Якщо – правильний раціональний дріб, знаменник якого має лише прості корні ( нулі ) , то функція є оригіналом, що має зображенням .

Знаходження зображення за заданим оригіналом

Цей процес виконується з використанням властивостей перетворення Лапласа та таблиці основних зображень.

Знаходження оригіналу за заданим зображенням

Для знаходження оригінала по відомому зображенню найчастіше застосовують наступні способи:

1) якщо є правильний раціональний дріб, то його розкладають на суму простих дробів і знаходять оригінали для кожного простого дробу, використовуючи властивості перетворення Лапласа, наведені вище;

2) використовують формулу розкладання, згідно якої при деяких

достатньо загальних умовах оригіналом для служить функція , де сума лишків береться по усім особливим точкам функції .