2. Елементи теорії функції комплексної змінної

2.1 Довідковий матеріал.

Комплексними числами називаються числа виду , де і – дійсні числа, – уявна одиниця, . Числа та називаються, відповідно, дійсною та уявною частинами комплексного числа і позначаються: . - алгебраїчна форма комплексного числа. Комплексне число називаєтьсяспряженим до комплексного числа .

Для комплексних чисел тавводиться поняття рівності іарифметичні операції за наступними правилами:

а) , якщоі;

б)

в)

г).

Для комплексних чисел не існують поняття “більше”, “менше”.

Кожному числу ставлять у відповідність точку на декартовій площині або її радіус-вектор . В полярній системі координат з початком в точці та полярною віссю вздовж комплексному числу ставлять у відповідність точку . Число називають модулем комплексного числа і позначають , а - аргументом комплексного числа і позначають

Модуль комплексного числа однозначно визначається формулою

.

Аргумент , як кут повороту, визначається з точністю до сталого доданку вигляду 2k , k 0,1,2,...Єдине значення , що задовольняє умову , називається головним значенням аргументу і позначається arg z. Отже,

Головне значення аргументу визначається за формулою:

Комплексне число може бути записано у наступних формах:

1)- тригонометрична форма;

2)- показникова форма; де - формула Ейлера.

Комплексне число підносять до натурального степеня за формулою Муавра: або,

.

Корінь п-го степеня (п – ціле) з комплексного числа має різних значень, які отримують за формулою:

де .

Лінії та множини точок на комплексній площині. Інколи рівняння визначає лінію на комплексній площині, а нерівність або визначає частину комплексної площини, точки якої задовольняють цій нерівності. Враховуючи, що , та підставляючи їх у рівняння , отримаємо рівняння шуканої лінії через і , а підставляючи в нерівність або - область, яка складається з множин точок .

Непорожня множина комплексної площини називається областю, якщо виконуються такі умови: а) вона відкрита, тобто разом з кожною своєю точкою містить деякий окіл цієї точки; б) вона зв’язна, тобто будь-які дві її точки можна сполучити деякою ламаною , всі точки якої належать цій множині .

Точка називається межовою точкою області , якщо в кожному її околі містяться точки, що належать і що не належать цій області. Множина всіх межових точок області називається межею цієї області. Множина точок, що складається з області D та її межі, називається замкненою областю. Якщо межу o6лacті утворює одна лінія, що не має самоперетину, то область називається однозв'язною.

Однозв’язна область – це область, в якій довільну замкнену криву, що їй належить, можна неперервною деформацією стягнути в точку,

залишаючись в цій області . Однозв’язна область не містить «дірок», а багато зв’язна область – це область з «дірками».

Функції комплексної змінної. Якщо кожному комплексному числу , що належить області , за певним правилом поставлено у відповідність одне або кілька комплексних чисел області , то кажуть, що на множині визначена функція

де . Точку або точки області , що відповідають заданій точці з області , називають образом точки , а функцію відображенням.

До основних елементарних функцій комплексної змінної належать:

а) лінійна функція , де , – комплексні числа

б) степенева функція 

в) показникова функція ,

.

Функція є періодичною з чисто уявним періодом 2i:

.

г) логарифмічна функція визначається як функція обернена до показникової. Ця функція є багатозначною.

Головним значенням називається значення, яке отримане прик=0 і позначається

.

д) загальна степенева функція

де – будь-яке комплексне число.

Ця функція багатозначна. Головне її значення:

е) загальна показникова функція: - будь-яке комплексне число. Головне значення цієї багатозначної функції

.

є) тригонометричні функції

.

Модулі функцій і можуть бути більше одиниці. Для тригонометричних функцій комплексного аргументу справедливі всі тригонометричні формули для дійсного аргументу.

ж) гіперболічні функції

 .

Справедливі наступні співвідношення між тригонометричними та гіперболічними функціями:

з) обернені тригонометричні функції

; ;

; .

Всі ці функції багатозначні.

Диференціювання функцій комплексної змінної. Аналітичні функції. Нехай функція визначена в деякій області комплексної змінної і точки та належить області . Функція називається диференційованою в точці , якщо існує скінчена границя . Ця границя називається похідною функціїв точці і позначається або.

Якщо , то в кожній точці диференційованості функціївиконуються співвідношення

які називаються умовами Коші - Рімана.

Зворотне твердження теж вірно.

Функція називаєтьсяаналітичною в даній точці z  D, якщо вона диференційована як в самій точці , так і в деякому її околі.

Функція називається аналітичною в області , якщо вона диференційована в кожній точці цієї області.

Для того, щоб функція була аналітичною в області , необхідно і достатньо існування в цій області неперервних частинних похідних функцій , що задовольняють умовам Коші - Рімана.

Для будь-якої аналітичної функції маємо

Як і в дійсному аналізі, диференційована в деякій точці функція комплексної змінної є неперервною в цій точці. З означення похідної і властивостей границь випливає, що правила диференціювання і таблиця похідних функцій комплексної змінної не відрізняються від аналогічних співвідношень для функцій дійсної змінної.

Якщо функція аналітична в деякій області , то дійсна і уявна частини цієї функції в області є розв’язком рівняння Лапласа:

та

Розв’язки рівняння Лапласа називаються гармонічними функціями. Дві гармонічні функції та, що задовольняють умовам Коші - Рімана, називаються спряженими.

Інтегрування функції комплексної змінної. Теорема та формула Коші. Нехай неперервна функція задана в області , а – гладка або кусково-гладка лінія, що належить області D. Тоді

(2.1)

Тому для інтеграла від комплексної функції справедливі відповідні властивості криволінійних інтегралів. Зокрема, при зміні напряму обходу кривої цей інтеграл тільки змінює знак:

Якщо функція аналітична воднозв'язній області , що містить точки і , то має місце формула Ньютона – Лейбниця:

, (2.2)

де - первісна функція для:.

При інтегруванні аналітичної функції справедлива таблиця основних інтегралів та методи інтегрування, як для функції дійсного аргументу.

Теорема Коші. Якщо функція аналітична воднозв’язній області , а – будь-яка або кусково-гладка замкнена лінія, що належить області , то

(2.3)

Теорема Коші поширюється на багато зв’язну область. Іншими словами, для складеного контуру справедливо: інтеграл функції

по зовнішньому контуру дорівнює сумі інтегралів по всіх внутрішніх контурах при умові, що обіг усіх контурів здійснюється проти годинникової стрілки.

Якщо функція аналітична в області , обмеженої кусково-гладким замкненим контуром , і на самому контурі, то має місце інтегральна формула Коші

, (2.4)

де при обігу контуру область залишається зліва.

Якщо функція аналітична в області і на її межі , то для будь-якого натурального має місце формула

, (2.5)

де .

Розвинення функцій комплексної змінної в степеневий ряд.

Степеневий ряд має областю збіжності круг з центром у початку координат. Радіус збіжності цього ряду визначається однією з формул

або ,

якщо існують відповідні границі.

Функція f(z), що аналітична в крузі може бути єдиним чином розвинена в степеневий ряд Тейлора: де коєфіцієнтиобчислюються за формулами :

–коло, що належить околу точки , в якому функція аналітична.

Мають місце формули розвинення в ряд Тейлора деяких функцій:

;

;

;

;

;

.

Якщо функція однозначна і аналітична в кільці( не виключаючи випадків, коли), то вона може бути єдиним чином розвинена в ряд Лорана в цьому кільці, а саме

де коефіцієнти знаходяться за формулами

де – довільний замкнений контур в середині круга аналітичності, що містить точку

Ряд називається правильною частиною ряду Лорана, а ряд– головною частиною ряду Лорана.

Класифікація нулів та ізольованих особливих точок функції комплексної змінної. Нехай функція аналітична в точці. Точка називається нулем функції порядку , якщо .

Точка називається ізольованою особливою точкою функції , якщо дана функція аналітична в деякому околі цієї точки, за винятком самої точки. Ізольовані особливі точки бувають: усувними, полюсами і істотно особливими. Класифікація ізольованих особливих точок здійснюється за характером розвинення функції в ряд Лорана.

Точка називається усувною ізольованою особливою точкою, якщо у розвиненні функції в ряд Лорана в околі цієї точки відсутня головна частина абоде .

Точка називається полюсом, якщо у розвиненні функції в ряд Лорана в околі цієї точки головна частина має скінчену кількість членів або. Порядок полюса відповідає кількості членів головної частини ряду Лорана.

Точка називається істотно особливою, якщо у розвиненні функції в ряд Лорана в околі цієї точки головна частина має нескінчену кількість членів абоне існує.

Лишки та їх застосування. Нехай – ізольована особлива точка функції , а – довільний контур, що охоплює цю єдину особливу точку і повністю лежить в області аналітичності даної функції (всередині контуру, окрім точки , і на самому контурі функція аналітична). Лишком функції в ізольованій особливій точці називається комплексне число

,

де обхід контуру здійснюється проти годинникової стрілки. Інтегруючи почленно ряд Лорана, можна одержати:

а) – у скінченній точці . Тобто лишок функції в скінченній ізольованій особливій точці дорівнює коефіцієнту при мінус першій степені в розвиненні даної функції в ряд Лорана в околі цієї точки.

б) – у нескінченно віддаленій точці , оскільки додатному обходу для цієї точки відповідає рух за годинниковою стрілкою.

Мають місце формули для обчислення лишків:

а) – полюс першого порядку функції :

;

б) – полюс m-го порядку функції :

;

в) – усувна особлива точка:

;

г) – істотно особлива точка:

.

Лишки застосовуються для обчислення контурних інтегралів.

Якщо функція аналітична в області та її межі, за винятком скінченої кількості ізольованих особливих точок , які належать цій області, то

.

Якщо функція аналітична в комплексній площині за винятком скінченного числа ізольованих особливих точок (), то сума всіх лишків, включаючи лишок у нескінченно віддаленій точці, дорівнює нулю

Звідси де- особливі точки функції.

Застосування лишків до обчислення визначених інтегралів. Якщо раціональна функція, тобто, де та - многочлени відповідних степенів, причому , а неперервна на всій дійсній вісі (), то

,

де сума лишків функції у всіх полюсах , розташованих у верхній півплощині.