Степеневі ряди.

Функціональним рядом називається ряд вигляду

, (1.6)

де члени ряду – функції визначені на деякій множинідійсної вісі. Цей ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. Якщо ряд (1.6) є збіжним в точці, то ця точка є точкою збіжності функціонального ряду (1.6). Множина точок з області, в якій ряд (1.6) збігається, називається областю збіжності ряду (1.6).

Степеневим рядом називається функціональний ряд вигляду

, (1.7)

де - дійсні числа (коефіцієнти ряду). Областю збіжності степеневого ряду (1.7) завжди є інтервал довжиною з центром в початку координат. В кожній внутрішній точці цього інтервалу ряд (1.7) збігається абсолютно, а в точках, що лежать за ним, ряд розбігається. На кінцях інтервалу ряд (1.7) може бути як збіжним, так і розбіжним.

Число називається радіусом збіжності степеневого ряду. Радіус збіжності степеневого ряду можна знайти за формулами

або (1.8)

при умові, що границі існують.

Питання про збіжність чи розбіжність даного ряду на кінцях інтервалу збіжності (тобто при та при ) для кожного конкретного ряду розглядається окремо.

Степеневим рядом називається також функціональний ряд вигляду

(1.9)

При одержимо ряд (1.7), який є частинним випадком ряду (1.9). Інтервалом збіжності ряду (1.9) є інтервал (з центром в точці . Радіус збіжності R ряду (1.9) знаходять за тими ж формулами (1.8), що і для ряду (1.7).

Степеневий ряд можна почленно диференціювати або інтегрувати всередині його інтервалу збіжності

Розкладання функцій в ряд Тейлора

Якщо функція визначена в деякому околі точки і всамій точці має похідні всіх порядків, то вона може бути представлена формулою Тейлора:

,

де – залишковий член формули Тейлора, де. Ряд називають рядом Тейлора.

Для того щоб ряд Тейлора збігався до функції в інтервалі ( необхідно і достатньо, щоб в цьому інтервалі функція мала похідні всіх порядків і залишковий член формули Тейлора при для всіх з цього інтервалу:

.

Якщо , то ряд Тейлора називають рядом Маклорена і тоді

.

Справедливі такі розклади елементарних функцій в ряд Маклорена:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Степеневі ряди застосовують для наближеного обчислення визначених інтегралів і наближеного інтегрування диференціальних рівнянь.

Ряди Фурє

1. Розклад в ряд Фурє 2 - періодичної функції.

Рядом Фурє функції , яка є періодичною з періодом 2, називається тригонометричний ряд

,

деназиваються коефіцієнтами Фурє і визначаються за формулами:

2. Ряди Фурє для парних і непарних 2 - періодичних функцій

Якщо функція парна, тобто , то ряд Фурє має вигляд:

,

а його коефіцієнти:

Для непарної функції , що задовольняє умові, ряд Фурє має вигляд:

,

а його коефіцієнти:

3. Розклад в ряд Фурє 2l - періодичних функцій.

Нехай функція визначена на відрізку , має період 2l ( - довільне додатне число ) і на цьому відрізку є кусково-монотонною. Рядом Фурдля цієї функції називається тригонометричний ряд

,

коефіцієнти якого визначаються за формулами:

,.

Якщо функція парна то ряд Фурє для неї має вигляд:

,

а його коефіцієнти:

.

Якщо функція непарна,то ряд Фурє для неї має вигляд:

,

а його коефіцієнти:

, ,.

4. Розклад в ряд функцій, заданих на інтервалі .

Іноді маємо справу з функціями, заданими тільки на інтервалі . В цьому випадку можна продовжити по деякому закону функцію на інтервал, а потім продовжити її на всю числову пряму періодично з періодом 2l. Продовжити функцію з інтервалу на інтервалможна довільним способом. Найчастіше функцію продовжують парним чи непарним способом. Якщо функцію продовжують парним способом, то ряд Фурє містить тільки косинуси і вільний член. Якщо продовжити непарним способом, то ряд Фурє містить тільки синуси. Одержані ряди представляють на інтервалі задану функцію.