Elektrodinamika

Електромагнетизм

§83. Енергія магнітного поля

Провідник, по якому протікає електричний струм, завжди оточений магнітним полем, причому магнітне поле появляється і зникає разом з появою і зникненням струму. Отже, частина енергії струму йде на створення магнітного поля.

Енергія магнітного поля дорівнює роботі, яка затрачається струмом на створення цього поля.

Обчислимо енергію магнітного поля струму у випадку ізотропного середовища, в якому зв’язок індукції з напруженістю поля в ньому лінійний. Для цього розглянемо соленоїд з N витків, який має індуктивність L. Якщо за час dt струм у соленоїді зростає на величину dІ, то при цьому змінюється і його власний магнітний потік відповідно на величину dФB . Якщо в момент часу t сила струму в соленоїді була І, то при зміні магнітного потоку на величину dФB , джерелом струму виконується додаткова робота dA:

dA = IdФB .

Оскільки соленоїд залишається нерухомим, то ця елементарна робота dA пов’язана із зміною енергії соленоїда, яка зумовлена наявністю в ньому магнітного поля, на величину dWм :

dWм = dA і dWм = IdФB .

Оскільки dФB = LdI , то dWм = LIdI . Інтегруючи цей вираз, знаходимо

Це та енергія, яку було затрачено джерелом струму на утворення в соленоїді магнітного поля. За законом збереження енергії ця енергія дорівнює енергії магнітного поля

Електромагнетизм

трьома величинами: відносною діелектричною проникністю ε , відносною магнітною

властивостей середовища, фізичний зміст тих явищ, які відбуваються у ньому при поляризації і намагнічуванні.

Теорія Максвелла є макроскопічною теорією електромагнітного поля. У ній розглядаються електричні і магнітні поля, які утворюються в об’ємах набагато більших, ніж об’єми окремих атомів і молекул. Крім того, припускається, що відстані від джерел полів до розглядуваних точок у багато разів більші від розмірів молекул.

У теорії Максвелла розглядаються усереднені електричні і магнітні поля, причому усереднення відповідних мікрополів виконується для інтервалів часу, значно більших від періодів обертання або коливання електричних зарядів і для ділянок поля, об’єми яких у багато разів більші від об’ємів атомів і молекул.

Теорія Максвелла є теорією близькодії, згідно з якою електричні і магнітні взаємодії здійснюються за допомогою електричних і магнітних полів і у яких вони поширюються із скінченною швидкістю.

Максвелл узагальнив закон електромагнітної індукції для замкненого нерухомого провідного контуру, що знаходиться у змінному магнітному полі.

Із закону Фарадея εi = − dФB можна зробити висновок, що будь-яка зміна магнітного dt

потоку через поверхню, обмежену контуром, приводить до виникнення ЕРС індукції і внаслідок цього виникає індукційний електричний струм.

Виникнення ЕРС індукції можливо і в нерухомому контурі, що знаходиться в змінному магнітному полі.

Однак ЕРС в контурі виникає лише тоді, коли в ньому на носії струму діють сторонні сили – сили неелектростатичного походження. Тому виникає питання про природу сторонніх сил в даному випадку.

Досліди показують, що ці сторонні сили не зв’язані ні з тепловими, ні з хімічними процесами в контурі. Їх не можна пояснити силами Лоренца, оскільки вони не діють на нерухомі заряди.

Тому для пояснення явища електромагнітної індукції в нерухомих провідниках

навколишньому просторі вихрове неповенціальне (тобто неелектростатичне) електричне поле, яке і є причиною виникнення індукційного струму в контурі.

R

Якщо EB - напруженість цього індукованого електричного поля, то відповідно до означення електрорушійної сили

ε = ∫ (R )

i EB dl .

L

Магнітний потік ФB через поверхню, що обмежена контуром, може змінюватись

149

Електромагнетизм

завдяки зміні форми контуру та його розміщення у магнітному полі, а також внаслідок

S , яка натягнута на замкнений контур L .

Отже, змінне магнітне поле створює в провідному замкненому контурі вихрове електричне поле, оскільки

∫ (V )¹

EB dl 0 .

L

Циркуляція ж вектора електростатичного поля по довільному замкненому контурі дорівнює нулеві:

довільному нерухомому замкненому контурі, подумки проведеному в змінному електричному

¶B

полі, дорівнює взятому з протилежним знаком потоку вектора ¶t через поверхню S , яка

натягнута на цей контур.

Якщо в контурі L, за яким обчислюється циркуляція вектора напруженості електричного поля, крім ЕРС електромагнітної індукції, ще є й інші ЕРС - ε1 , ε2 , ...,εn , то

150

Електромагнетизм

загальна ЕРС дорівнює їх алгебраїчній сумі

n

ε = εi + ∑εк .

к=1

Тому в загальному випадку

Явище виникнення у просторі вихрового електричного поля під впливом змінного магнітного поля було використано для створення індукційного прискорювача електронів –

бетатрона.

Максвелл узагальнив закон повного струму

похідну можна замінити частинною похідною по часу і диференціювання внести під знак інтеграла

бачимо, що ∂Dn має розмірність густини струму. ∂ t

Максвелл запропонував назвати вираз ∂Dn густиною струму зміщення: ∂ t

151

Електромагнетизм

Густина струму зміщення в даній точці дорівнює швидкості зміни вектора електричного зміщення в цій точці.

Струмом зміщення через довільну поверхню S називають фізичну величину, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщення крізь цю поверхню

Ввівши уявлення про струм зміщення, Максвелл зробив висновок про те, що кола будь-яких непостійних струмів замкнені так само, як і кола постійного струму. Замкненість таких кіл забезпечується струмами зміщення, які „ проходять” у тих ділянках, де немає провідників, наприклад, між обкладинками конденсатора під час його заряджання або розряджання.

На рис. 200 зображені вектори густини струмів зміщення і вигляд ліній індукцій їхніх магнітних полів: а – при заряджанні конденсатора (посилення електричного поля); б - при розряджанні конденсатора (ослаблення електричного поля).

R

jзм

аб

Рис. 200

За Максвеллом струм зміщення, як і звичайні струми провідності, є джерелом

R

виникнення вихрового магнітного поля, циркуляція напруженості H якого по замкненому контуру не дорівнює нулю.

R R R R R

В діелектрику вектор зміщення D складається з двох доданків: D = ε0 E + P , де E -

R

напруженість електростатичного поля, P - вектор поляризації, який характеризує дійсне зміщення електричних зарядів у неполярних молекулах і поворот полярних молекул, що містяться в одиниці об’єму діелектрика.

Густина струму зміщення в діелектрику

обумовлений зміщенням або поворотом зарядів в діелектрику.

Струм зміщення у вакуумі не виділяє тепла. Густина цього струму тим більша, чим більша швидкість зміни напруженості електричного поля

В загальному випадку струми провідності і зміщення в просторі не розділені, вони знаходяться в одному і тому самому об’ємі. Максвелл ввів поняття повного струму, що

152

Електромагнетизм

дорівнює сумі струмів провідності і конвекційних, а також струму зміщення. Густина

Повний струм в колах змінного струму завжди замкнений.

Максвелл узагальнив закон повного струму, ввівши в його праву частину повний

R

Циркуляція вектора напруженості H магнітного поля вздовж замкненого контура L

дорівнює повному струму, що пронизує поверхню, обмежену цим контуром.

Якщо струмів провідності, конвекційних струмів і всіх ЕРС, крім ЕРС електромагнітної індукції, немає то отримуємо такі рівняння

Порівнюючи ці рівняння, можна зробити такі висновки:

а) між електричним і магнітним полями існує взаємний зв’язок: зміна в часі магнітного поля веде до появи електричного поля, а змінне електричне поле є джерелом вихрового магнітного поля;

б) знаки при швидкостях зміни потоків магнітної індукції і електричного зміщення

аб

Рис. 201

Різниця в знаках правих частин цих рівнянь відповідає вимогам закону збереження енергії і закону Ленца. Ця різниця в знаках є необхідною умовою існування стійкого електромагнітного поля.

§85. Рівняння Максвелла для електромагнітного поля

Відкриття струму зміщення дозволило Максвеллу створити єдину теорію електричних і магнітних явищ. Ця теорія пояснила всі відомі того часу експериментальні факти і

153