Elektrodinamika

Електромагнетизм

h = u||T = uT cosα = 2π mu cosα . qB

Напрямок, в якому закручується спіраль, залежить від знака заряду частинки.

ПУЛЮЙ ІВАН

(1845-1918)

Вперше довів, що дія магнітного поля на катодні промені є тої самої природи, що й його дія на електричні струми, які проходять у твердих провідниках, тому описуються тими самими законами. Це стало можливим завдяки тому, що йому вдалося встановити напрямок руху частинок у трубках і знак їх електричного заряду. За Пулюєм, відхилення катодних променів магнітом – це результат дії магнітного поля на елементарні струми, тобто на окремі рухомі заряджені частинки. Фактично це ідея „ сили Лоренца”, сформульована тільки якісно.

§71. Ефект Холла

В1879 р. Е. Холл здійснив наступний експеримент. Він пропускав електричний струм

Ιчерез золоту пластинку у вигляді паралелепіпеда і вимірював різницю потенціалів Dϕ між точками C і D на верхній і нижній гранях (рис. 175).

Ці точки лежать у одному і тому поперечному перерізі пластинки. Тому виявилось, що Dϕ=0. Коли пластинку зі струмом Холл помістив в однорідне магнітне поле, лінії магнітної індукції якого перпендикулярні до бічних граней пластинки, то було встановлено, що різниця потенціалів

Наступні дослідження показали, що ефект Холла спостерігається в усіх провідниках і напівпровідниках. Зміна напрямку струму або напрямку магнітного поля на протилежний

j . На електрони діє сила Лоренца, яка напрямлена вниз і дорівнює: Fл = Beu . Тому на нижній границі пластинки збиратиметься нескомпенсований негативний заряд і вона заряджатиметься негативно, а на верхній границі пластинки виникатиме нестача негативних зарядів і вона заряджатиметься позитивно. Внаслідок цього між краями пластинки виникає додаткове поперечне електричне поле, напрямлене зверху вниз. Розглянемо момент динамічної рівноваги, коли сили Fл і FX , з якими діють на електрони магнітне поле та

117

Електромагнетизм

за знаком RX можна судити про те, який з них переважає.

3) оцінити величину < λ > середньої довжини вільного пробігу електронів:

(1943-1997)

Автор піонерських праць з теорії квантового ефекту Холла.

§72. Контур зі струмом в магнітному колі

Розглянемо поведінку в магнітному полі замкнених провідників зі струмом. Помістимо в однорідне магнітне поле електромагніту провідник, який зігнутий у вигляді прямокутної рамки А, що підвішена на пружній нитці С (рис. 176).

дорівнюють

119

спостерігача перпендикулярно до площини рисунка.

R

Вектор обертального моменту M , який діє на рамку зі струмом у магнітному полі,

одного.

Розглянемо вплив неоднорідного магнітного поля на поведінку плоского контуру зі

120

Електромагнетизм

струмом (рис. 179). Припустимо, що і магнітна індукція поля змінюється в напрямку осі ОХ, тобто Bx = B(x) і в цьому напрямку існує градієнт індукції

дві складові: dFS – в площині контуру та dFn - паралельну до нормалі площини контуру, знаходимо, що:

в неоднорідному магнітному полі, крім сил, що деформують контур, виникають сили,

які переміщують його в область поля з більшою магнітною індукцією:

R

Для однорідного поля і плоскої поверхні, розміщеної перпендикулярно до вектора B , = B = const і ФB = BS .

R

Розрахуємо потік вектора B через переріз соленоїда. Всередині соленоїда індукція однорідного поля у вакуумі дорівнює

B = μ0 NI . l

Магнітний потік через один виток соленоїда площею S:

121

Електромагнетизм

Ф1 = BS .

Повний магнітний потік через соленоїд, який називається потокозчепленням ψ , дорівнює:

Розглянемо магнітне поле нескінченно довгого прямолінійного провідника зі струмом І. За замкнену поверхню S візьмемо поверхню прямого колового циліндра, вісь якого збігається з віссю провідника.

Лінії індукції магнітного поля прямолінійного струму є концентричними колами, центри яких лежать на осі провідника, а площини перпендикулярні до нього. Тому лінії індукції не перетинають ні бічної поверхні циліндра, ні його основ. Отже, в будь-якій точці

§74. Робота при переміщенні провідника і контуру зі струмом у магнітному полі

На провідник зі струмом у магнітному полі діє сила Ампера. Якщо провідник не закріплено, то під впливом сили Ампера він переміщуватиметься у магнітному полі.

dx

R

B n

R

α dF

I

Рис. 181

Обчислимо роботу dA, виконану силою Ампера при переміщенні елемента dl провідника зі струмом І у магнітному полі (рис. 181).

R

Елемент провідника переміщується в напрямку сили dF , яка діє на нього на відстані dx. Робота dА дорівнює

dA = dFdx .

За законом Ампера

dF = IBdl sinα .

Тоді

122

Електромагнетизм

dA = IB sinαdldx .

Сила dF і переміщення dx напрямлені перпендикулярно до елемента провідника dl . Добуток dl dx = dS – площа поверхні, яка описана елементом провідника dl при його переміщенні на dx.

З рис. 181 видно, що B sinα = Bn – проекція вектора B на напрямок нормалі n до площини dS.

Добуток BndS = dФB – магнітний потік крізь поверхню dS. Тоді

dA = IBndS = IdФB .

Вважаючи силу струму сталою і, інтегруючи цей вираз, отримаємо

A = IФB .

Робота, яку виконує сила Ампера при переміщенні в магнітному полі провідника,

струм в якому постійний, дорівнює добутку сили струму на величину магнітного потоку крізь поверхню, яку описує провідник під час свого руху.

Знайдемо вираз для роботи, яку виконують сили Ампера при переміщенні в магнітному полі замкненого контуру, по якому проходить постійний струм І.

Нехай внаслідок нескінченно малого переміщення контур С зайняв положення C′

(рис. 182).

Контур С уявно розіб’ємо на два провідники LNK i KML, які з’єднані своїми кінцями. Повна робота dA, виконана силами Ампера при переміщенні контуру, дорівнює алгебраїчній

провідників LNK i KML мають різні знаки. Щоб отримати абсолютні значення роботи dA1 i dA2 , треба продиференціювати вираз A = IФB . Тому

dA = dA1 + dA2 = −IdФВ1 + IdФB2 =

123

Електромагнетизм

= I (dФB2 - dФB1 ),

де dФВ1 – магнітний потік крізь поверхню LNK K ′N′L′ ; dФB2 – крізь поверхню LMK K ′M ′L′ ; dФB2 − dФВ1 = dФB – зміна магнітного потоку, що пронизує поверхню, обмежену контуром,

при переміщенні контуру з положення C в положення C′ . Остаточний вираз для елементарної роботи dA буде

A = IdФB .

Інтегруючи цей вираз, знайдемо роботу А, яку виконує сила Ампера при будь-якому переміщенні контуру в магнітному полі

A = I ФB .

Робота, яку виконує сила Ампера при переміщенні в магнітному полі замкненого

контура, по якому проходить постійний струм, дорівнює добутку сили струму на зміну магнітного потоку крізь поверхню, обмежену контуром.

Розглянемо кілька прикладів.

1. Замкнений жорсткий (S = const) провідник поступально переміщується в магнітному

полі так, що його площина залишається перпендикулярно до вектора B . При цьому робота

А, яка виконана при переміщені провідника з деякого початкового в кінцеве положення, дорівнює

A = I (ФB2 − ФB1 ).

Оскільки вектор B перпендикулярний до площини замкненого провідника, то

ФB2 = B2 S , ФB1 = B1S ,

де S – площа поверхні, яка охоплена провідником. Тоді

A = IS (B2 − B1 ) = pm (B2 − B1 ) ,

де pm – магнітний момент струму Якщо поле однорідне, тобто

B2 = B1 , то A = 0 .

2. Виймання замкненого провідника з струмом з магнітного поля. Якщо через контур, що охоплений замкненим струмом І, проходив магнітний потік ФB1 , то при вийманні провідника зміна магнітного потоку дорівнюватиме

ФB = ФB2 − ФB1 = −ФB1 .

Тоді

A = −IФB1 = − pm B .

3. Повертання замкненого провідника зі струмом в однорідному магнітному полі.

Розглянемо провідник у вигляді кільця площею S . Припустимо, що спочатку площина контуру провідника перпендикулярна до вектора магнітної індукції і через контур проходить максимальний магнітний потік ФB . Якщо повернути провідник навколо діаметра кільця на

кут 90° , то площина контуру розміститься паралельно вектору B і жодна з них не

124