Elektrodinamika

Електромагнетизм

сталу ε0 .

Це твердження називається теоремою Остроградського-Ґаусса.

Наприклад, для системи зарядів, які наведені на рис. 109, потік напруженості

Рис. 110

Якщо замкнена поверхня S не охоплює заряд q (рис. 110), то дотична до поверхні S конічна поверхня з вершиною у точці О поділяє поверхню S на дві частини: S1 і S2 . Потік напруженості через поверхню S дорівнює алгебраїчній сумі потоків:

ФE = ФE1 + ФE2 .

Нехай заряд q знаходиться всередині замкненої поверхні S і лінії напруженості перетинають цю поверхню кілька разів (рис. 111). Елементарний потік напруженості через

Електромагнетизм

Отже, непарне число перетинів при обчисленні потоку напруженості зводиться до одного перетину.

§51. Застосування теореми Остроградського-Ґаусса до розрахунку електричних полів

За допомогою теореми Остроградського-Ґаусса в окремих випадках набагато

R

простіше, ніж за формулами для напруженості E точкового заряду та принципу суперпозиції, знаходити напруженість електричних полів.

Розглянемо декілька прикладів.

І. Електростатичне поле у вакуумі нескінченної зарядженої площини.

Нехай площина P заряджена рівномірно з поверхневою густиною заряду+ σ (рис. 112). Для визначення напруженості поля у будь-якій точці А проведемо через цю точку і симетричну їй точку В дві площини, які паралельні до площини P. Побудуємо нескінченно вузький циліндр, основи якого dS проходять через точки А і В, а його твірна паралельна до ліній напруженості поля.

Рис. 112

З рис. 112 видно, що потік вектора напруженості через замкнену поверхню циліндра дорівнює сумі потоків через основи циліндра, тому що потік через бічну поверхню дорівнює

Отже, потік вектора напруженості через замкнену поверхню циліндра дорівнює:

dФE = E1dS + E2dS = 2EdS .

Згідно з теоремою Остроградського-Гаусса

dФE = q = σ dS . ε0 ε0

Порівнюючи ці два вирази, отримуємо

E = σ . 2ε0

Оскільки напруженість поля Е не залежить від довжини циліндра, то електричне поле

168

Електромагнетизм

рівномірно зарядженої площини однорідне.

Знайдемо різницю потенціалів між двома точками Q i N цього поля, що лежать на відстанях x2 та x1 від площини P. Оскільки,

II. Електростатичне поле між двома паралельними нескінченними площинами, зарядженими різнойменно.

Нехай маємо дві нескінченні, різнойменно заряджені площини, але з однаковими поверхневими густинами зарядів + σ та − σ (рис. 113).

Рис. 113

Між площинами напруженості полів мають однакові напрямки і тому тут результуюча

Електричне поле двох різнойменно заряджених площин локалізоване в об’ємі між цими площинами і є однорідним.

Знайдемо різницю потенціалів між площинами: dϕ = −Edx . Проінтегрувавши це рівняння по х від х=0 до х=d (де d-віддаль між площинами), отримаємо:

ІІІ. Електростатичне поле зарядженої сфери

Якщо на поверхні сфери радіуса R рівномірно розподілено заряд q (рис. 114),

169

Електромагнетизм

центра. З центра О проведемо допоміжну поверхню теж у вигляді сфери радіуса r. За

Er <R = 0 .

Всередині зарядженої сфери електричного поля немає.

Для точок, які лежать зовні біля самої поверхні сфери, можна вважати, що r = R . Тоді допоміжна поверхня – сфера радіуса r охоплює заряджену сферу. Заряд q міститься всередині допоміжної поверхні і створює повний потік вектора напруженості:

Графік залежності E = f (r ) напруженості електричного поля E зарядженої сфери від відстані r між її центром і точкою, в якій визначають напруженість, подано на рис. 115.

Різниця потенціалів між двома точками, що лежать на відстані r1 і r2 від центра сфери (r1 > R, r2 > R), дорівнює

170

Електромагнетизм

Якщо прийняти r1 = r і r2 = ∞ , то потенціал поля поза сферичною поверхнею

ϕ = 1 q . 4πε0 r

У випадку r1 = R , а r2 = ∞, поверхня зарядженої сфери отримає потенціал

Електромагнетизм

розміщений в центрі кулі.

На рис. 117 наведено графік залежності E від r для рівномірно зарядженої кулі. Різниця потенціалів між двома точками поля всередині кулі дорівнює

V.Електростатичне поле нескінченно довгого рівномірно зарядженого циліндра.

Розглянемо циліндр радіуса R і довжиною L, на якому знаходиться заряд q, який

рівномірно розподілений на його поверхні вздовж всієї довжини L (рис. 118). Лінійна

густина заряду τ = q . Якщо відстань r від осі циліндра до точки M значно менша за довжину

L

L зарядженого циліндра (r << L), то циліндр з достатньою точністю можна вважати нескінченно довгим.

R

E

r M

2R

Рис. 118

Виділимо довільну ділянку циліндра довжиною l і охопимо її допоміжною поверхнею у вигляді циліндра радіуса r. Ця поверхня охоплює заряд q′ , який дорівнює:

q′ = τ l .

R

Оскільки лінії вектора напруженості E нормальні до поверхні зарядженого тіла в кожній його точці, то потік ФE пронизує лише бічну поверхню допоміжного циліндра.

Отже,

2πε0 r

Поле циліндра є неоднорідним. Різниця потенціалів між двома точками поля, що лежать на відстані r1 і r2 від осі зарядженого провідника, дорівнює

172

Електромагнетизм

§52. Типи діелектриків. Електронна і орієнтаційна поляризація

Діелектриками (або ізоляторами) називаються речовини, нездатні проводити

електричний струм.

У природі ідеальних ізоляторів не існує, вони проводять струм в 1015 - 1020 разів гірше, ніж провідники.

Питомий опір діелектриків становить ρ » 1015 Ом× м . У діелектриках немає вільних електричних зарядів (електронів), як в металах або інших провідниках.

Кожна молекула (або атом) діелектрика має позитивно заряджені ядра і негативно заряджені електрони, які рухаються навколо ядер. Позитивні заряди всіх ядер дорівнюють абсолютній величині заряду всіх електронів, а тому молекула речовини загалом електрично нейтральна.

Вивчаючи електричні властивості діелектриків, молекули діелектриків можна зобразити як систему, що складається з двох точкових зарядів.

Замінимо всі позитивні заряди ядер молекули одним сумарним зарядом +q, що перебуває в центрі мас позитивних зарядів, а всі негативні заряди – одним сумарним негативним зарядом -q, що перебуває в центрі маси негативних зарядів. Тоді молекулу діелектрика можна розглядати як диполь, який складається із зарядів +q i -q.

Діелектрики поділяються на три типи.

І. Неполярні діелектрики – це діелектрики, які складаються з молекул, центри мас позитивних і негативних зарядів яких збігаються за відсутності електричного поля

(рис. 119).

ІІІ. Іонні діелектрики – це речовини, молекули яких мають іонну будову.

Прикладом таких діелектриків є NaCl , KCl та інші.

173

Електромагнетизм

Іонні кристали є просторовими ґратками з правильним чергуванням іонів різних знаків (рис. 121). У цих кристалах не можна виділити окремі молекули. Іонні кристали необхідно розглядати як систему вміщених одна в одну іонних підґраток. У цих діелектриках

заряди молекул, напрямлені протилежно і тому розсувають їх. В електричному полі центри мас позитивних і негативних зарядів кожної молекули не збігаються, а зміщені на відстань l між ними (рис. 122). Чим більша напруженість поля E , тим на більшу відстань l розсуваються заряди протилежних знаків. Молекула з неполярної перетворюється в полярну

негативні заряди, а - позитивні. Внаслідок цього грані діелектрика набувають різноіменних зарядів – діелектрик поляризується. Такого роду поляризація діелектрика називається

електронною.

II. Полярні діелектрики. Дипольна, або орієнтаційна поляризація.

Якщо діелектрик з полярними молекулами не перебуває у зовнішньому електричному полі, то внаслідок хаотичного теплового руху молекул вектори їхніх дипольних моментів орієнтовані хаотично (рис. 124а). Тому векторна сума дипольних моментів всіх молекул, які перебувають у довільному об'ємі V діелектрика, дорівнює нулю.