Тема 1. Формулы колосова-мусхелишвили.

§ 1. Основные уравнения плоской теории упругости.

Рассмотрим упругое тело, которое является или прямой призмой или прямым цилиндром с произвольной направляющей. Основания призмы или цилиндра параллельны друг другу и перпендикулярны боковой поверхности. Отнесем упругое тело к ПДСК. Плоскость параллельна основаниям тела, а осьперпендикулярна основаниям. Деформация рассматриваемого тела называетсяплоской, если для всех точек тела перемещение , а перемещенияиявляются функциями лишь переменныхи. Это означает, что при плоской деформации тела под действием приложенных к нему нагрузок точки тела перемещаются параллельно плоскостипри этом точки, расположенные на прямой, параллельной оси, имеют одинаковые перемещения.

Зная перемещения ,,точек тела, можно по формулам Коши вычислить деформации:

, ,,,

, . (1.1)

По известным деформациям можно определить напряжения в упругом теле при помощи закона Гука:

, ,

, ,,.

Здесь – модуль Юнга,– коэффициент Пуассона,– модуль сдвига материала тела, которое считается однородным и изотропным. Принимаем во внимание, что при плоской деформации тела,,, приходим к выводу, что , ,. Воспользуемся установленными фактами относительно деформаций и напряжений, чтобы записать соотношения закона Гука для случая плоской деформации упругого тела:

, ,

, . (1.2)

Из этих формул следует, что не равные тождественно нулю напряжения ,, ,в упругом теле не зависят от переменной.

Полная система уравнений плоской теории упругости, кроме соотношений Коши (1.1) и закона Гука (1.2), включает в себя дифференциальные уравнения равновесия упругого тела и условия совместности деформаций. В общем случае уравнения равновесия тела при отсутствии объемных сил имеют вид

, ,

, ,

, .

При плоской деформации тела напряжения ,, а остальные напряжения являются функциями переменных и. Поэтому уравнения равновесия тела при плоской деформации имеют более простой вид

, ,. (1.3)

Из шести условий совместности деформаций [] при плоской деформации тела пять тождественно удовлетворяются, а оставшееся условие принимает вид:

. (1.4)

Уравнения (1.1)–(1.4) образуют полную систему уравнений плоской теории упругости для плоской деформации тела. Искомыми величинами являются напряжения ,,,, деформации,,и перемещения,.

Для однозначного определения искомых величин в упругом теле из полной системы дифференциальных уравнений плоской теории упругости ее нужно дополнить граничными условиями для точек поверхности тела. Если на боковой поверхности тела заданы нормальные и касательные напряжения, то задача об определении искомых величин называется первой граничной задачей плоской теории упругости. Если на боковой поверхности тела заданы перемещения и, то имеемвторую граничную задачу. Если же на части боковой поверхности заданы перемещения, а на оставшейся – напряжения, то граничную задачу плоской теории упругости называют смешанной.

Искомые величины в любой граничной задаче плоской теории упругости не зависят от переменной . Поэтому задаваемые на боковой поверхности тела напряжения или перемещения также не зависят от переменной. Следовательно, чтобы указать способ нагружения тела достаточно это сделать для одного поперечного сечения.