4.4 Ортогональне доповнення підпростору евклідового простору. Ізоморфізм евклідових просторів

Нехай – який-небудь підпростір евклідового простору. Множинавсіх векторівпростору, ортогональних кожному векторупідпростору, називається ортогональним доповненням підпросторувідносно простору. Покажемо, що множинає підпростором простору. Для цього потрібно переконається, що сума двох будь-яких векторів множининалежить цій множині і що добуток будь-якого вектору множинина довільне дійсне число також належить множині. Нехайі– два довільні вектори множини, а– який-небудь вектор підпростору. Очевидно,іза властивыстю векторів множини. Так як, то. Для довільного числамаємо. Отже і вектор. Таким чином, множинає підпростором евклідового простору.

З'ясуємо, чи існують взагалі спільні вектори підпросторів та. Нехайі, тоді, тобто. Отже, підпросториіне мають спільних векторів, окрім векторапростору. Звідси витікає, що сума цих підпросторів є прямою.

Евклідові простори іназиваються ізоморфними, якщо між векторами цих просторів можна встановити таку взаємно-однозначну відповідність, що,, де– образи векторівіпростору.

Теорема. Всі евклідові простори однієї розмірності ізоморфні.

4.5 Комплексний евклідовий (унітарний) простір

Лінійний простір над полем комплексних чисел називається комплексним евклідовим простором або унітарним, якщо в ньому визначена операція скалярного добутку двох будь-яких векторів, тобто вказано правило, за яким кожній парі векторів іпростору ставиться у відповідність комплексне число, при цьому виконуються наступні умови (аксіоми скалярного добутку)

1. ,;

2. ;

3. ;

4. .

Тут – довільне комплексне число,– число, спряжене числу.

Комплексний евклідовий простір можна зробити нормованим, якщо кожному вектору поставити у відповідність дійсне число. Перевірка аксіом норми здійснюється так само, як і в дійсному евклідовому просторі. Вона основана на використанні нерівності Коші – Буняковського для унітарного простору.

В унітарному просторі поняття кута між двома векторами не використовується, але два вектори ітакі, що, називаються ортогональними.

В комплексному евклідовому просторі існують ортонормовані базиси. Процес ортогоналізації довільного базису унітарного простору співпадає з процесом ортогоналізації базису дійсного евклідового простору.

Нехай – ортонормований базис комплексного евклідового простору, аі– два довільно взятих вектори цього простору. Тоді на основі аксіом і властивостей скалярного добутку

де – числа, спряжені комплексним числам. Таким чином, тобто скалярний добуток двох векторів унітарного простору, в якому вибраний ортонормований базис, дорівнює сумі добутків координат першого вектору на відповідні спряжені значення координат іншого вектору.

Приклади розв’язування задач

1. Застосовуючи процес ортогоналізації, побудуйте ортогональний базис підпростору, натягнутого на дану систему векторів: ,,.

Розв’язання:

Складемо матрицю з координат векторів та зведемо її до ступінчатого виду методом елементарних перетворень рядків:

.

, – кількість векторів, 3=вектори лінійно незалежні.

Нехай , тоді.

,

,

,

,

,

.

Перевіримо ортогональність знайдених векторів:

;

;

.

Нормуємо вектори: ;;. Тоді покладемо:

;

;

;

–

– шуканий ортонормований базис.

2. Знайдіть ортогональну проекцію і ортогональну складовувекторана лінійний простір, де.

Розв’язання:

Перевіримо задані вектори на лінійну залежність. Для цього знайдемо ранг матриці, складеної з координат векторів:

.

Так як ранг матриці дорівнює 2, то .

Будемо шукати ортогональну проекцію вектора нау вигляді:. Так як– ортогональна складова, то=+=. Оскільки, то:

,

.

Розв’яжемо систему рівнянь за правилом Крамера:

, ,.

, .

Тоді ,,.

3. Знайдіть базис ортогонального доповнення підпростору, натягнутого на вектори,,.

Розв’язання:

Складемо матрицю з векторів для перевірки їх лінійної незалежності:

.

Так як , то векторилінійно залежні, незалежними будуть вектори.

Нехай належить ортогональному доповненнюпідпростору. Тоді він ортогональний до векторів, тобтоі. За цих умов складемо та розв’яжемо систему рівнянь:

Складаємо таблицю для визначення ФСР:

–1	–2	2	0
–2	–1	0	1

Звідси і, тобто.

4. Доведіть, що скалярний добуток може бути заданий формулою .

Розв’язання:

Для доведення необхідно перевірити аксіоми скалярного добутку. Значення скалярного добутку є дійсним числом. Тоді

1. ;.

2. .

3.

.

4.

Так як всі аксіоми виконуються, то визначає скалярний добуток.

5. Нехай дано два вектори . Знайдіть довжини векторівта, якщо:

1. ; 2..

Розв’язання:

1. Скалярний добуток . Довжина вектора визначається за формулою. Тоді,. Знайдемо:.

2. ,

, ;

, .

Обчислимо .

6. Знайдіть норму вектора .

Розв’язання:

Для того, щоб нормувати вектор, потрібно знайти його довжину , а потім використати формулу . Отже,,.