Решение 2.23

Значение y₁определим по формуле (94) и данным таблицы предыдущего примера

Уточнения значения у производить не будем, а прием его за достоверное. Дальгейшие вычисления сведены в табл.27

y+ai	151,1	149,09	152,3	153,76	150,24	по формуле (88)
	48,7	137,0	35,4	26,7	67
	3,88	4,92	3,56	3,48	4,2
mi	1,79	5,37	2,56	5,0	18,9
mi*	2	5	3	5	19

Пример 2.24. Имеется нерезервированная система, состоящая из пяти блоков. Вероятности отказа блоков будут: q₁=0,2; q₂=0,3; q₃= 0,4; q₄ =0,5; q₅=0,56, а их веса: G₁=5 кг, G₂=3 кг; G₃=2 кг; G₄=4 кг; G5=1 кг.

Требуется резервировать систему так, чтобы вес ее не превышал 60 кг, а вероятность безотказной работы была бы максимальной. Для нерезервированной системы получается следующее:

G₀ =15 кг. Р= 0,067.

1. Определим: a₁=3.11; а₂=2,49; а=2,20; a₄=5,78; a₅= 1,97.

2. Из уравнения 3,11ln(y₀+3,ll)+2,49 ln (y₀+2,49)+2,2 ln (у₀+2,2) + 5,78 ln (y₀ + 5,78) + 1.97ln (y₀+ 1,97) =60+3,11 ln 3,11 +2,49 In 2,49 + 2,2 In+2,2+5,78ln 5,78+1,97 ln1,97 найдем y₀. Это трудоемкая задача. Поэ­тому можно использовать следующий прием:

где

Вычисление дает значение B=79,27. Поэтому у₀⁽¹⁾=ехр[79.27/19,55] = 164,02. Данное приближение можно уточнить, используя, например, метод Ньютона:

Следовательно, y₀² == 156,2. Линейная интерполяция значений у₀⁽¹⁾ и у₀⁽²⁾ дает корень у₀⁽³⁾ = 159,9.

3. Определим s_j⁰: s₁⁰=2,46, s₂⁰=3,46, s₃⁰=4,7, s₄⁰=4,87, s₅⁰=8,6. Принимаем целочисленные значения:

a) s₁=2, s₂=3, s₃=5, s₄ =5, s₅= 9;

б) s₁=3, s₂==3, s₃=4, s₄=5, s₅=9;

в) s₁=3, s₂=3, s₃=4, s₄=4, s₅ ==8.

4. Находим

Наилучшее приближение получаем в варианте «а». Принимаем s₁*=2, s₂*=3, s₃*=5, s₄*=5, s₅*== 9.

5. По (4.42) определяем вероятность безотказной работы резервируемой сис­темы Р= 0,891.

При дробных s_j⁰ максимальная вероятность Р_mах= 0,902. При вычислении s_j⁰ много работы приходится затрачивать на вычисление у_0.

Однако формула

дает хорошие результаты для a_j << y₀⁽¹⁾. Дальнейших уточнений делать нет необ­ходимости. Так, в рассматриваемом примере уточнения были излишними, ибо первое приближение у₀⁽¹⁾=164,02 дает почти такие же результаты:s₁⁰=2,47;s₂⁰=3,5;s₃⁰=4,71;s₄⁰=4,9;s₅⁰=8,65. Округление позволяет выбрать те же значенияs₁*.

Пример 2.25. Решить задачу для систем примера 2.23

Решение 2.25

Зададимся требуемой вероятностью безотказной работы Р_зад=0,9 при минимальном весе резервируемой системы. Найдем у₀:

Зная у₀⁽²⁾ и a_j, находим s_j:

s₁⁰=2,5; s₂⁰=3,4; s₃⁰=4,6; s₄⁰=4,72; s₅⁰=8,5. Выбираем следующие целочисленные значения:

s₁*=3; s₂*=3; s₃* =5; s₄*=5; s₅*=9.

При выбранных значениях sj* вероятность безотказной работы Р=0,92 и G=63 кг.

Пример 2.26 Процесс построения доминирующей последовательности продемонстрировать на примере системы, состоящей всего из двух подсистем с характеристиками p₁=0,7, G₁=l. p₂=0.5, G₂=3. Методом простого перебора вычислим значения надежности и веса системы для различных векторов x(x₁,x₂) (i=1,2,3,4,5), которые внесем в табл. 4.2.

Решение 2.26

В таблице для каждого вектора указана надежность системы и ее вес, стрел­ками показан порядок обхода векторов доминирующей последовательности. Пе­речеркнуты те векторы, которые доминируются какими-либо другими векторами.

Пример 2.27 Время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром =2.510^-51/час.

Требуется вычислить количественные характеристики надежности элемента p(t),q(t),f(t),m_tдля t=1000час.

Решение 2.27

Используем формулы

(2.10)

1. Вычислим вероятность безотказной работы:

Используя данные таблицы П.7.14 [ 1 ] получим

2. Вычислим вероятность отказа q(1000). Имеем

q(1000)=1-p(1000)=0.0247 .

3. Вычислим частоту отказов

;

1/час.

4. Вычислим среднее время безотказной работы

час.

Пример 2.28 Время работы элемента до отказа подчинено нормальному закону с параметрами m_t=8000 час,_t =2000 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности p(t),f(t),(t),m_t для t=10000 час.

Решение 2.28

Воспользуемся формулами

1. Вычислим вероятность безотказной работы

p(t)=0.5Ф(U) ; U=(t-m_t)/_t ;

U=(10000-8000)/2000=1; Ф(1)=0.3413 ;

p(10000)=0.5-0.3413=0.1587.

2. Определим частоту отказа f(t)

EMBED Equation.3 .

Введем обозначение

.

Тогда

f(t)=(U)/_t ; U=(t-m_t)/_t;

f(1000)=(1)/2000=0.242/2000=12.110^-5 1/час.

3. Рассчитаем интенсивность отказов (t)

(t)=f(t)/p(t);

(10000)=f(10000)/p(10000)=12.110^-5 /0.1587=76.410^-5 1/час.

4. Среднее время безотказной работы элемента

m_t = 8000 час.

Пример 2.29 Время работы изделия до отказа подчиняется закону распределения Релея. Требуется вычислить количественные характеристики надежности изделияp(t) ,f(t), (t), m_tдля t=1000час, если параметр распределения t=1000 час.

Решение 2.29

Воспользуемся формулами

1. Вычислим вероятность безотказной работы p(t)

2. Определим частоту отказа f(t)

f(t)=tp(t)/_t² ;

f(1000)=10000.606/1000²=0.60610^-31/час.

3. Рассчитаем интенсивность отказов

(t)= t/_t²;

(1000)=1000/1000²=10^-31/час.

4. Определим среднее время безотказной работы изделия

час.

Пример 2.30 Время безотказной работы изделия подчиняется закону Вейбулла с параметрами k=1.5; a=10^-4 1/час, а время работы изделия t=100 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности изделия p(t),f(t),(t),m_t.

Решение 2.30

Определим вероятность безотказной работы p(t) по формуле (2.18) . Имеем

p(t)=exp(-at^k ); p(100)=exp(-10^-4 100^1.5 ); x=100^1.5 ;

lg x=1,5lg 100=3; x=1000; p(100)=e^-0,1 =0,9048.

2. Определим частоту отказов f(t)

f(t)=akt^k-1 p(t);

f(100)=10^-4 1,5100^0,5 0,90481,3510^-3 1/час.

3. Определим интенсивность отказов (t)

(t)=f(t)/p(t) ;

(100)=f(100)/p(100)=1,3510^-3 /0.90481,510^-3 1/час.

4. Определим среднее время безотказной работы изделия m_t

.

Так как zГ(z)=Г(z+1), то

;

x=10^-2,666 ;lg x=-2,666lg10=-2,666=; x=0,00215.

Используя приложение П.7.18 [1], получим

m _t =0,90167/0,00215=426 час.

Пример 2.31 В результате анализа данных об отказах аппаратуры частота отказов получена в виде

EMBED Equation.3 .

Требуется определить количественные характеристики надежности: p(t), (t),m_t.

Решение 2.31

Определим вероятность безотказной работы. На основании формулы (2.1) имеем

Вычислим сумму С₁+ С₂Так как , то

.

Тогда

2. Найдем зависимость интенсивности отказов от времени по

формуле

.

3. Определим среднее время безотказной работы аппаратуры. На основании формулы (2.5) будем иметь

22