Для нашего случая

.

Рис. 2.1 Зависимость вероятности исправной работы от числа эле­ментов при различных видах ре­зервирования

Подставив эти данные в выражения (2.3) и (2.4), получим

Вероятность исправной работы системы без резервных элементов на ос­новании формулы (2.1):

.

Из приведенного расчета видно, что наиболее выгодно поэлементное резервирование.

Выигрыш в надежности при поэлементном (раздельном) резервиро­вании по сравнению с нерезервируемой системой

а выигрыш в надежности при поэле­ментном резервировании по сравнению с общим резервированием

Пример 2.5Система состоит из 10 равнонадежных элементов; веро­ятность исправной работы каждого элемента 0,9.

Сколько необходимо резервных элементов при обоих способах резервирования для того, чтобы вероятность исправной работы системы была 0,95.

Решение 2.5

В нашем случае

Определим, сколько необходимо резервных цепей при общем резерви­ровании, для чего преобразуем формулу (2.3) к удобному виду

Прологарифмируем полученное выражение:

Отсюда

и окончательно

Подставив в последнее выражение исходные данные, получим

Таким образом, для обеспечения надежности, равной 0,95, необходимо 6 резервных цепей по 10 элементов в каждой, т. е. всего 60 элементов.

Определим необходимое число резервных элементов при раздельном резервировании, для чего определим значение mиз выражения (2.4)

откуда

.

Прологарифмируем полученное выражение:

и окончательно

Подставив в полученное выражение исходные данные, найдем

а всего резервных элементов будет 10.

Пример 2.6.Система состоит из трех блоков. Первый блок включает в себя 15 каскадов, второй – 5, третий – 20. Каждый каскад может быть принят за некоторый, условный элемент. Общее требование на вероятность безотказной ра­боты системы Р=0,96. Необходимо определить требования по надежности к каж­дому из блоков.

Решение 2.6

Найдем показатель ненадежности системы:

Затем вычислим показатель ненадежности для каждого из блоков:

Следовательно, вероятность безотказной работы блоков:

Пример 2.7. АСУ испытывалась в течение 140 ч. За это время произошло 10 отказов. Необходимо по результатам испытаний оценить среднее время на­работки на отказ с доверительной вероятностью 0,96=1—.

Решеник 2.7

По величинам =0,04 и n==10 определяем x²_/2(2/n) и x²_1-/2(2n). По таб­лице x²_0,02=35; x²_0,98=9,2. Затем вычисляем: T_min=2*140/35=8; T_max=2*140/9,2=31.

Следовательно, с доверительной вероятностью 0,96 можно считать, что истин­ная величина среднего времени наработки на отказ заключена в пределах 8<Т<31.

Пример 2.8. Узел аппаратуры состоит из двух параллельно включенных блоков, имеющих одинаковую интенсивность отказов: ₁=₂=0,4*10^-5. При отказе одного из блоков узел еще продолжает функционировать, но коэффициент электрической нагрузки второго элемента увеличивается, вследствие чего интен­сивность отказов возрастает до величины

₁⁽²⁾=₁⁽¹⁾=10^-5. Требуется рассчитать вероятность безотказной работы звена на этих условиях за время 50000 ч.

Решение 2.8

Из общего числа состояний узла выбираем следующие три благоприятные гипотезы: оба элемента исправны (H_о), отказал 1-й элемент (H₁), отказал 2-й элемент (H₂). Остальные состояния, когда отказали оба элемента в различной временной последовательности, соответствуют неблагоприятным гипотезам (отказ узла).

Вероятность первого состояния

P(H₀)=e^{-(1+2)t}=e^-0,4=0,67

Вероятность второго состояния

Вероятность третьего состояния

Вероятность безотказной работы узла

Если рассчитать надежность узла по формуле для резервного соединения (без учета последствия отказа), то вероятность безотказной работы

т. е. получаем завышенный результат.

Матричный метод расчета надежности не накладывает никаких ограничений на структуру и способы соединения. В этом его достоинство.

Пример 2.9. Радиопередатчик характеризуется интенсивностью отказов . Его дублирует такой же передатчик, находящийся до отказа основного в недогруженном режиме, в котором интенсивность отказов. Найдите следующие характеристики всей системы:

а) вероятность безотказной работы в течение t = 100 час;

б) среднюю наработку до первого отказа и интенсивность отказа.

Пример 2.10. Некоторый узел АСУ имеет следующие параметры: интенсивность отказа элементов i=10^-6ч^-1, рабочий интервал t_зад=1000 ч; число элементов в узле n_i= 1200. Необходимо, чтобы узел АСУ не отказал в течение указанного времени из-за отсутствия запасных элементов с вероятностью =0,90. 3

Решение 2.10

Для ре­шения поставленной задачи воспользуемся таблицей интегрального закона рас­пределения Пуассона со средним m_i, подсчитываемым по формуле mi=_in_it_зад=10^-610001200=1,2. Ниже приведен фрагмент таблицы закона Пуассона для среднего значения 1,2:

k	0	1	2	3	4
Pk	0,0	0,4	0,12	0,03	0,01

С учетом того, что 1-=0,1 и 0,12 > 0,03, выбираем k=m₃=3

Пример 2.11. Спроектированное цифровое устройство АСУ в своем составе содержит 51 триггер, 187 вентилей и 170 усилителей. Известны интенсивности отказов: _т-триггеров 0,001 ч^-1; _в - вентиля 0,0005 ч-¹; _y-усилителя 0,0008ч^-1

Сколько надо иметь запасных триггеров, вентилей и усилителей для обеспе­чения доверительной вероятности на уровне 99,7, чтобы в течение двух лет не было недостатка в элементах? Каков должен быть текущий запас для обеспечения месячной работы цифрового устройства?

Решение 2.11

Общее число часов работы t_зад =236523= 16 790 ч.. С учетом того, что час в сутки отводится на профилактику устройства, вычисляют величины: _Tt_зад= =0,00116790=16,79; _Bt_зад= 0,0005 16 790=8,395; _Yt_зад=0,000816 790=13,43.

Находим значение z=3 при =99,7. Определяем потребное количество запасных элементов по (2.5): триггеров m_T=1480, вентилей m_B=3180, усилите­лей m_Y=4060. Аналогично рассчитывают месячный запас элементов: m_T=161, m_B=392, m_у=473.-

С помощью (2.5) возможен быстрый расчет запасного оборудования для большинства практически интересных случаев.

Пример 2.12Требуется определить вероятность и среднее время исправ­ной работы системы, состоящей из 10 основных и 10 резервных элементов. Надежность всех элементов одинакова и вероятность их исправной работы в течение 20 часов равна 0,9.

Решение 2.12

Для данного примера

Определим вероятность исправной работы этой системы при обоих спо­собах резервирования.

Подставив исходные данные в уравнения (2.3) и (2.4), получим

Вычислим среднее время исправной работы. На основании выражения (1.9) имеем

Подставляя в эти выражения исходные данные и учитывая, что , получим

После интегрирования будем иметь

Среднее время исправной работы нерезервированной системы

Среднее время исправной работы нерезервированной системы на осно­вании (2.2а) будет

тогда

Пример 2.13Требуется определить вероятность исправной работы си­стемы, элементы расчета которой соединены по схеме, изображенной на рис. 2.2 Вероятности исправной работы элементов равны:

P₁=0,9; P₂=0,95; P₃=0,8; P₄=P₅=0,97.3

а)

б)

Рис 2.2Схема расчкта надежности системы

Решение 2.13

Рассчитаем вероятность исправной работы соединения (рис. 2.2а). Как видно из схемы, в этом случае применено общее резервирование. Согласно формуле (2.2б) вероятность исправной работы соединения P_I:

P₁=1-(1-P₁P₂)^m+1 =1-(1-0,9•0,95)² =0,98.

Рассчитаем вероятность исправной работы соединения P_I. В этом случае применено раздельное резервирование. Так как все элементы равнонадежны, то для вычисления вероятности исправной работы следует пользоваться формулой (2.4).

Подставив в формулу (2.4) исходные данные, получим

P₁₁=[1-(1-0,8)²]²=0,92.

После вычисления вероятностей P₁ иP₁₁схему расчета можно пред­ставить в виде рис. 2.2,б.Из этого рисунка видно, что элементы расчета Р_I P_II, P₄иP₅подчиняются закону основного соединения. Поэтому вероят­ность исправной работы системы можно вычислить как произведение веро­ятностей расчетных элементов, т. е.

P_c=PIP_IIP₄P₅ =0,98•0,92•0,97=0,85

Пример 2.14 Требуется определить: среднее время исправной работы системы, если ее вероятность исправной работы в течение 10 часов равнаp_c (10) = 90%, а также требуется вычислить вероятность исправной работы этой системы в течение одного часа.

Пример 2.15Требуется построить графикР = f (t)в функции от ра­бочего времениt,если среднее время исправной работы Т_ср= 100 час. Для построения графика необходимо составить вспомогательную табл. 20, на­пример для времен t = 1, 2 4, 6, 8 и 10.

Таблица 2.2

t		P(t), %
1	0,01	99
2	0,02	98
4	0,04	96
6	0,06	94
8	0,08	92
10	0,10	90

Пример 2.16 При обсуждении проекта ТТЗ на новую систему необ­ходимо выяснить насколько реально выполнимы предъявленные требования без использования специальных способов повышения надежности.

Допустим, что требуется определить, может ли быть спроектирована си­стема, к которой предъявлено требование

T_cр = 120 час.

По аналогии с ранее разработанными системами, предположено, что сложность системы, подлежащей разработке, не превысит N_c =2500 эле­ментов.

Пример 2.17. Требуется установить среднее время исправной работы системы Т_сри величину опасности отказа элементов,если в системеN_c= 2500 элементов и вероятность исправной работы системы в течение одного часа будет равна Р_с(1)⁼98% .

Пример 2.18В проектируемой системе могут быть использованы лишь элементы, опасность отказа которых равна

Требуется определить среднее время исправной работы Г_cри вероят­ность исправной работы в конце первого часаP_с(1) Для систем, сложность которых равнаэлементам.

Пример 2.19 Требуется построить графикР(t)для условий предыду­щего примера.

Из экспоненциального закона надежности видно, что увели­чение времени работы системыtравноценно уменьшению в равное число раз среднего времени исправной работы.

Пусть t= 2час., аT_cр= 200 час., тогда

Пример 2.20. Система состоит из пяти блоков, вероятности исправной работы которых соответственно равны:

P₁ = 99,96%; Р₂ = 99,98% ; Р₃ = 99,96% Р₄= 99,9%; Р₅ = 99,8% .

Требуется определить вероятность исправной работы системы, если от­казы блоков являются событиями независимыми.

Пример 2.21Пусть некоторая система состоит из 20 электровакуумных приборов, опасность отказов которых составляет 0,09•10^-5, 100 сопротивле­ний и 60 конденсаторов. Пусть вероятность исправной работы остальных элементов настолько велика, а общее их число настолько мало, что они пра­ктически не влияют на надежность системы.

Требуется определить, в каком режиме должны работать в системе конденсаторы и сопротивления, чтобы вероятность исправной работы системы в течение 10 час. была не менее 0,99.

Решение 2.21

Вероятность исправной ра­боты системы, согласно фор­муле (62), будет:

где –опасность отказов и число электровакуумных приборов в системе;

Рис. 55. Зависимость

– опасности отка­зов и число со­противлений и конденсаторов в системе.

Преобразуем приведенное выше выражение к удобному для нас виду

Прологарифмируем полученное выражение:

Подставив в последнее выражение исходные значения, получим

Зависимость (рис. 55) позволяет определить, в каком режиме должны работать сопротивления и конденсаторы, чтобы система имела вероятность исправной работы не ниже 0,9. Для этого необходимо знать, как зависит опасность отказов элементов от режимов их работы. Такие зависи­мости для сопротивлений и конденсаторов приведены в главе V.

Выберем режим работы сопротивлений, при некотором среднем значе­нии опасности их отказов, например, 0,5·10^-5. Тогда по кривым (рис. 28) найдем, что этой опасности отказов будет соответствовать коэффициент на­грузки объемных сопротивлений, равный 1,0 приТ= 90° С.

Можно взять коэффициент нагрузки, сообразуясь с реальными услови­ями. Для выбора режимов работы конденсаторов определим по кривой рис. 55 значение опасности их отказов по выбранной опасности отказов сопротивле­ний. В нашем случае .

Режим работы керамических конденсаторов по известной опасности от­казов определим, по кривой рис. 34. В нашем случае это может быть режим работы, при котором температура конденсаторов равна 85° С, а коэф­фициент нагрузки К_нменьше или равен 0,8.

Пример 2.22. Пусть имеется нерезервированная система, состоящая из пяти элементов, вероятности отказов которых равны:

qi== 0,2;q-t= 0,4;qa =0,25; ^4 = 0,5;qs --=0,8, а их веса будутGi= 5кг;

Gt== 1кг; Gs =6 кг;G^ =4 кг иGs= 0,5 кг.

Вес нерезервированной системы составляет 16,5 кг,а вероятность ее исправной работы

Р_С= (1-0,2).(1-0,4).(1-0,25).(1-0,5).(1-0,8)= 0,036.

Практически такая система по причине низкой надежности непригодна для эксплуатации.

Предположим, что разрешается увеличить вес системы, например до 70 кг,распределив его по элементам таким образом, чтобы получить макси­мальную вероятность исправной работы.

Решение 2.22

Решение этой задачи в соответствии с вышеприведенным порядком све­дено в табл. 2.3.

Таблица 2.3

qi	0,2	0,4	0,25	0.5	0,8
Gi	5	1	6	4	0,5	По формуле(89)
	5	2,5	4	2	1,25
	1,61	0,916	1,39	0,693	0,223
ai	3,1	1,09	4,3	5,76	2,24
ln ai	1,13	0,086	1,458	1,75	0,8	По формуле(91)
аi In ai	3,5	0,094	6,3	10,0	1,79
A=91,68			y1=255
y1+a1	258,1	256,1	259,3	260,76	257,24	По формуле (92)
ln (y1+a1)	5,55	5.544	5,556	5,563	5,548
ai ln(y1+a1)	7,2	6,1	24,4	32,0	12,4
	0,012	0,0043	0,0143	0,022	0,009
y2=248
y2+ai	251,1	249,09	252,3	253,76	250,24
	81,0	228,0	58,5	44,0	112,0
	2,51	5,48	4,062	3,78	4,72
mi	1,56	6,1	2,92	5,5	21
mi*	2	6	3	6	21

При выбранных значениях m_iвес резервированной системы на основа­нии (87) будет равен

G_p= 68,5кг.

При данном весе вероятность исправной работы системы

P_c=(1-0,2²)(1-0,4⁶)(1-0,25³)(1-0,5⁶)(1-0,8²¹)=0,918

Пример 2.23.Расмотреную систему в задаче 3.17, получить от нее вероятности исправной работыР_тр=0,9