Фізика / Лекции / Механика / 1-6 Центральносиметричн_ поля

Херсонський національний технічний університет Кафедра загальної та прикладної фізики

ЗАКОНИ ЗБЕРЕЖЕННЯ(продовження) Лекція 1.6.

	1.6. ЗАКОНИ ЗБЕРЕЖЕННЯ
	ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ЕНЕРГІЇ
РОБОТА СИЛ ПОЛЯ ТЯЖІННЯ. ПОТЕНЦІАЛ

• ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ЕНЕРГІЇ

Роботу , яку ми дістали під час минулої лекції внаслідок зменшення потенціальної енергії системи, можна виразити через приріст кінетичної енергії. Дістанемо:

-=-

(1.6.1)

звідки отримаємо такий вираз:

+=+

(1.6.2)

Суму кінетичної і потенціальної енергії системи називають її повною механічною енергією .

З формули (1.6.2) маємо, що =, або:

=+=

(1.6.3)

З формули (1.6.3) випливає, що

в системі, у якій діють тільки консервативні сили, повна енергія залишається незмінною. Можуть відбуватися тільки перетворення потенціальної енергії в кінетичну і навпаки.

Фактично цим самим і сформульовано закон збереження енергії для замкнутих систем, в яких діють тільки консервативні сили.

Розглянемо загальний випадок коли система складається з тіл, між якими діють консервативні і неконсервативні сили. Вважатимемо, що кожне тіло системи – матеріальна точка масою (). Для кожного тіла системи рівняння другого закону динаміки виглядатиме наступним чином:

=++

(1.6.4)

де = - сума консервативних сил, що діють на -те тіло системи; - сила, що дії на -те тіло з боку -го тіла; - сума неконсервативних сил, що діють на -те тіло; - сума зовнішніх сил, що діють на -те тіло. Під дією цих сил протягом часу кожне із тіл системи зазнає переміщення відповідно , , ..., . Помножимо скалярно рівняння (1.6.4) на відповідне переміщення :

=(,)+(,)+(,).

(1.6.5)

Ліву частину рівняння (1.6.5) перепишемо так:

====.

(1.6.6)

Отже, ліва частина рівняння (1.6.5) являє собою зміну кінетичної енергії -го тіла. Тоді (1.6.5) перепишемо у наступному вигляді:

=(,)+(,)+(,).

(1.6.7)

Якщо ж ми таких рівнянь запишемо , тобто для кожного тіла системи, і почленно додамо їх всі, то дістанемо:

=++.

(1.6.8)

Отже, = - є зміною кінетичної енергії системи в цілому;

= - робота всіх консервативних сил, яка дорівнює зменшенню потенціальної енергії системи;

і - робота всіх неконсервативних та зовнішніх сил.

Перепишемо рівняння (1.6.8):

+=+, або	(1.6.9)
=+,	(1.6.9а)

де - повна механічна енергія системи (1.6.3). з рівності (1.6.9а) випливає, що зміна механічної енергії системи дорівнює роботі, виконаній внутрішніми неконсервативними силами і зовнішніми силами. Якщо система замкнута, то =0:

=,

(1.6.10)

тобто зміна механічної енергії замкнутої системи тіл дорівнює роботі неконсервативних сил, що діють у системі. Оскільки робота цих сил завжди додатна, то механічна енергія такої системи зменшується. Такий процес називають дисипацією енергії (з латини dissipatio - розсіяння). Дисипація енергії зумовлена тим, що робота внутрішніх неконсервативних сил пов’язана з перетворенням механічного руху в інші форми руху матерії, наприклад у внутрішню енергію тіл, або, як ще кажуть, в тепло. Сили, що приводять до дисипації енергії мають назву дисипативних сил. В загальному випадку дисипативним є сили, які завжди напрямлені проти швидкості частинок, і, відповідно, такі, що викликають їх гальмування. Але, неконсервативні сили не обов’язково є дисипативними. Якщо в замкнутій системі тіл дія внутрішніх неконсервативних сил відсутня, то з виразу (1.6.10) приходимо до закону збереження механічної енергії у вигляді формули (1.6.3). Закон збереження енергії є одним з головних законів природи.

Ми вже встановили, що кінетична енергія в різних системах відліку має різне значення. Тому повна енергія системи тіл, яка дорівнює сумі потенціальної і кінетичної енергії, також має різне значення в різних інерціальних системах відліку. Якщо ж в одній із систем відліку повна енергія замкнутої системи тіл стала, то вона буде сталою і в іншій інерціальній системі відліку, тобто закон збереження механічної енергії справджується у будь-якій інерціальній системі відліку. Робота, яка виконується зовнішньою, силою і дорівнює зміні кінетичної енергії також буде неоднаковою в різних системах відліку.

Доведено, що закон збереження енергії справджується в усіх явищах природи. Встановленням цього закону було завершено вчення про зв’язок і взаємне перетворення різних форм руху матерії, на цій основі саме і сформувалося поняття про енергію.

На основі закону збереження енергії можна встановити загальні умови рівноваги тіл або системи тіл. Оскільки повна механічна енергія дорівнює сумі кінетичної та потенціальної енергії, а кінетична енергія за своїм змістом не може бути від’ємною, то з (1.6.3) випливає, що (знак рівності буде при ). Цим співвідношенням і визначається область зміни всіх координат системи, в якій вона може перебувати при заданому значенні її повної енергії .

• РОБОТА СИЛ ПОЛЯ ТЯЖІННЯ. ПОТЕНЦІАЛ

Якщо тіло переміщується під дією сили тяжіння, то при цьому виконується робота. Давайте знайдемо роботу сил тяжіння при русі матеріальної точки масою у полі тяжіння, створеного точковою масою . При елементарному переміщенні на величину (Мал. 1.6.1) робота складатиме:

==-

(1.6.11)

де =, знак „-” вказує на те, що напрям сили тяжіння протилежний напряму радіуса-вектора рухомої точки . Роботу сил тяжіння при переміщенні тіла з точки 1 в точку 2, радіуси яких і :

==-

(1.6.12)

Отже, з (1.6.12) видно, що робота сил тяжіння не залежить від форми шляху. Сили тяжіння – консервативні, або потенціальні. Якщо , то тіло віддаляється від тіла як джерела поля тяжіння і робота . Отже, робота виконується проти сил тяжіння. Якщо ж , то тіло наближається до джерела і , тобто сили поля тяжіння виконують додатну роботу.

Оскільки сили тяжіння консервативні, то виконана цими силами робота переміщення тіла в полі тяжіння дорівнює зміні потенціальної енергії тіла:

=-=-.

(1.6.13)

При переміщенні матеріальної точки з нескінченості на відстань від тіла масою , потенціальна енергія точки буде:

=-.

(1.6.14)

При такому вигляді формули (1.6.14) потенціальна енергія двох матеріальних точок, що взаємодіють, завжди від’ємна і зростає при збільшенні відстані між ними. Якщо ж ми поділимо ліву і праву частину (1.6.14) на масу тіла , то отримаємо величину:

=-=,

(1.6.15)

яка не залежить від маси , а залежить тільки від маси і відстані від цього тіла до точки поля – потенціал поля тяжіння – скалярна величина. Потенціал є енергетичною характеристикою поля тяжіння. Формулу (1.6.14) перепишемо, враховуючи поняття потенціалу:

=,

(1.6.16)

де і - потенціали точок 1 і 2. Потенціал точки поля тяжіння, створеного системою матеріальних точок, визначається алгебраїчним сумуванням.

Оскільки потенціал величина скалярна, завжди існують поверхні, точки яких мають однакові потенціали – це еквіпотенціальні поверхні.

У зв’язку з тим, що напруженість і потенціал являють собою характеристики одного і того самого поля, то між ними повинен існувати зв’язок. Продиференцюємо вираз (1.6.16) по :

=.

(1.6.17)

Вираз для напруженості гравітаційного поля з урахуванням (1.6.17) перепишемо так:

=-=-..

(1.6.18)

Величина = - це одиничний вектор, який незалежно від вибору нульового потенціалу завжди напрямлений у бік зростання потенціалу. У векторному аналізі величину називають градієнтом потенціалу:

=-.

(1.6.19)

– зв’язок напруженості і потенціалу гравітаційного поля.

Про рішення задачі двох тіл, на прикладі пружного та не пружного співударів ви дізнаєтеся самостійно з підручників [4,6,7-9], та під час виконання лабораторного практикуму з фізики.

Прикладом центрального поля тяжіння є поле, що створюється нерухомою матеріальною точкою.

Давайте розглянемо рух тіл у центральному поля тяжіння. До таких рухів належать рухи планет Сонячної системи. При цьому Сонце і планети вважають матеріальними точками. Спростимо ще задачу. Розглянемо рух тіл у центральному полі тяжіння, застосувавши закон збереження енергії. Якщо тіло масою рухається у центральному полі, створеному джерелом поля масою , то його повна енергія визначатиметься так:

=-=.

(1.6.20)

Момент імпульсу тіла масою буде:

==

(1.6.21)

З означення центрального поля випливає, що сила, яка діє на рухому в ньому матеріальну точку, завжди проходить через центр поля. при цьому плече сили відносно центра поля дорівнюватиме нулю. Отже, момент імпульсу тіла масою є величина стала:

=

(1.6.22)

д е = - кутова швидкість. Повну швидкість руху тіла можна розкласти на радіальну та азимутальну = складові (Мал.1.6.2). Тоді кінетичну енергію тіла перепишемо у наступному вигляді:

=+=+

(1.6.23)

З урахуванням рівняння (1.6.23) вираз для повної енергії (1.6.20) набуває вигляду:

-+==

(1.6.24)

Оскільки в цьому рівнянні тільки перший доданок залежить від швидкості, то роль потенціальної енергії відіграє функція:

=-+.

(1.6.25)

Давайте тепер знайдемо умови, при яких траєкторія руху тіла стане еліптичною, тобто коли рух тіла буде обмежений у деякій області простору. Такий рух ще називають фінітним. Для розв’язання цієї задачі застосуємо графічний метод. На малюнку 1.6.3 штрихованою лінією наведемо графіки функцій:

=-; = ()

(1.6.26)

Суцільною лінією наведемо графік функції , як результат додавання ординат функцій і . З Мал. 1.6.3 видно, що для функція додатна і при асимптотично наближається до . Для значень функція від’ємна і при вона асимптотично наближається до нуля.