• Ступені свободи частинки. Головні постулати мкт. Поняття ідеального газу

Кількістю ступенів свободи системи частинок називають кількість незалежних координат, які потрібно вказати для повного опису конфігурації системи. Якщо система складається з частинок, і кожна частинка є незалежною від інших, то така система потребує для свого опису координат:. Зокрема, кількість степенів свободи для найпростішої системи, що складається з однієї окремої частинки . Проте, часто в системах спостерігаються різного типу зв’язки поміж координатами частинок: припустимо, що наша частинка змушена рухатися по деякій площині, і тому на три її координати накладена умова (зв’язок) наступного вигляду:

(2.1.5)

Отже, не всі три координати частинки є незалежними: якщо ми вільно обрали дві з них (припустимо ), то третя координата автоматично знаходиться з (2.1.5) як , тобто третя координата є залежною від перших двох. Отже, кількість ступенів свободи в системах, де існують зв’язки поміж координатами частинок є меншою:

(2.1.6)

де - кількість зв’язків поміж координатами частинок системи.

Розглянемо з цієї точки зору молекули з різною кількістю атомів (табл.2.1.1)

	Граф молекули
1		0	3
2		1	5
3,		3	6

Примітка: для чотирьохатомних молекул маємо , отже, , як і для трьохатомних. Звідси заключаємо, що для .

Молекулярно-кінетична теорія (МКТ) є спрощеним варіантом статистичної фізики у застосуванні до газів та парів. Головні постулати МКТ нічим не відрізняються від головних ідей статистичної фізики. Якщо застосувати їх до газів, то можна сформулювати наступні положення:

• всі гази складаються з мікрочастинок (атомів, іонів, молекул, тощо), які перебувають в хаотичному, безупинному русі;

• поміж частинками можливі зіткнення (колізії), під час яких частинки змінюють напрям руху, у той час як від зіткнення до зіткнення частинки рухаються прямолінійно.

Всі гази та пари є чимось подібними один до одного, зокрема можна вказати на такі спільні риси газів при звичайних, не екстремальних, зовнішніх умовах (помірному тискові та температурі):

• Власні розміри мікрочастинок набагато менші середньої відстані поміж частинками

• Частинки відносно слабо взаємодіють на відстані, причому чим більша середня відстань поміж частинками тим взаємодія слабкіша

• При зіткненні поміж собою, або зі стінками ємності, в якій вони знаходяться, частинки суттєво змінюють напрям руху (напрям своїх векторів імпульсів), однак вони практично не змінюють модулів своїх векторів імпульсів – тобто їх зіткнення майже пружні.

Така спільність загальних властивостей всіх газів дозволяє ввести у розгляд модель так званого ідеального газу, в якому наведені вище риси поведінки реальних газів доведені до абсолюту. Отже, ідеальний газ це газ матеріальних точок, які не взаємодіють поміж собою на відстані, а при зіткненнях ведуть себе як пружні кулі.

• ОСНОВНЕ РІВНЯННЯ МОЛЕКУЛЯРНО-КІНЕТИЧНОЇ ТЕОРІЇ ТА РІВНЯННЯ МЕНДЕЛЄЄВА-КЛАПЕЙРОНА

Припустимо, що в кубічній ємності, зображеній на Мал.2.1.1, знаходяться молекул ідеального газу. Розглянемо зіткнення молекули із стінкою, що перпендикулярна осі . Молекула при такому зіткненні передає стінці певний імпульс. Якщо зіткнення, як ми припустили, є пружнім, то:

(2.1.7)

Час перегону молекули від стінки до стінки і назад дорівнює , де - ребро куба (відстань поміж стінками). Отже сила, з якою молекула діє на стінку дорівнює:

(2.1.8)

В напрямі осі рухається третина всіх молекул, тобто повна сила повинна бути в разів більша, а замість величини для конкретної молекули, ми повинні взяти середню величину для всіх цих молекул:

(2.1.9)

Тиск отримаємо, якщо силу поділимо на площу стінки, тобто на :

(2.1.10)

де через позначено концентрацію молекул (кількість молекул на одиницю об’єму). Останню формулу неважко переписати у вигляді:

(2.1.11)

де через позначено середню кінетичну енергію газу (оскільки потенційна енергія взаємодії молекул в ідеальному газі дорівнює нулю, то це також і середня повна енергія молекули). Рівняння (2.1.11) є однією з форм головного рівняння МКТ для газів.

Дійсно - густина енергії (кількість енергії на одиницю об’єму). Отже:

(2.1.12)

Тиск в ідеальному газі, як видно з (2.1.12), прямо пропорційний густині енергії, яка в свою чергу прямо пропорційна добутку концентрації на середню кінетичну енергію однієї молекули.

Введемо нову величину, абсолютну температуру , через співвідношення:

(2.1.13)

де Дж/К – стала Больцмана. З (2.1.13) видно, що температура є мірою середньої кінетичної енергії: якщо зростає інтенсивність руху молекул, то зростає середня кінетична енергія молекули, разом з нею зростає і температура. Вірно й навпаки: зростання температури означає також обов’язкове збільшення середньої кінетичної енергії молекул.

Для вимірювання температури користуються різними фізичними ефектами: найчастіше ефектом теплового розширенням речовин із підвищенням температури (термометри). Існують різні шкали температур (Кельвіна, Цельсія, Фаренгейта, Реомюра, тощо). В Європі, зокрема, поширеною є шкала Цельсія, яка відрізняється від абсолютної температури за шкалою Кельвіна лише початком відліку: нулю за Цельсієм відповідає абсолютна температура: .

Зв’язок поміж тиском та температурою в ідеальному газі:

(2.1.14)

Отже тиск в ідеальному газі зростає з температурою, він також зростає при збільшенні концентрації молекул.

Рівняння (2.1.15) неважко привести к вигляду, відомому як рівняння Мендєлєєва-Клапейрона. Дійсно, виходячи з того, що , можна отримати

(2.1.15)

помноживши та поділивши праву частину на число Авогадро і приймаючи до уваги що , де - так звана універсальна газова стала, маємо, що:

(2.1.16)

Останнє рівняння відомо в МКТ як рівняння стану ідеального газу, або рівняння Мендєлєєва-Клапейрона. Воно пов’язує три параметра ідеального газу (), з яких незалежними є лише будь-яка пара параметрів, а третій параметр визначається з рівняння (2.1.17). Під треба розуміти відповідно масу газу та масу одного кіломоля газу: , -маса окремої молекули. Отже під кіломолем треба розуміти одиницю кількості молекул, яка дорівнює числу Авогадро .