Херсонський національний технічний університет Кафедра загальної та прикладної фізики

СТАТИСТИЧНІ РОЗПОДІЛИ Лекція 2.2.

	2.2. СТАТИСТИЧНІ РОЗПОДІЛИ
	Розподіл молекул ідеального газу за швидкостями (розподіл Максвелла). Характерні швидкості молекул
	Розподіл Больцмана, барометрична формула
	Середня довжина вільного пробігу молекул. Ергодична гіпотеза
	Системи тотожних частинок з точки зору класичної та квантової механіки
Розподіли Бозе-Ейнштейна та Фермі-Дірака

• Розподіл молекул ідеального газу за швидкостями (розподіл Максвелла). Характерні швидкості молекул

Згідно до основних постулатів молекулярно-кінетичної теорії (МКТ) газів, молекули перебувають в безупинному, хаотичному русі. Природно виникає запитання про розподіл молекул за швидкостями. Із загальних міркувань зрозуміло, що швидкості молекул є різними, і до того ж вони часто і помітно змінюються в часі, зокрема, після зіткнень молекул поміж собою, або зі стінками тої ємності, в якій вони перебувають. Найбільша доля молекул мають швидкості навколо деякої середньої величини, тоді як молекул з дуже великими, або дуже малими (відносно середньої) швидкостями є порівняно небагато.

З огляду на величезну кількість молекул в газі неможливо прослідкувати за кожною з них. На практиці цікавляться питанням: яка доля молекул (відсоток молекул) має швидкості в тому чи іншому інтервалі швидкостей. Варто одразу визначитися, що ми цікавитимемося лише модулем швидкості молекул, тому що напрям вектора швидкості молекули є абсолютно випадковим, тобто в кожному можливому напрямі рухається однакова відносна кількість молекул.

Отже, модуль швидкості пересічної молекули лежить в межах від до : тобто . Насправді безкінечних швидкостей в природі не може бути, тому права межа у наведеній нерівності є лише певним наближенням. (Можливо, краще було б написати ).

Розділимо вказаний інтервал швидкостей на рівні проміжки шириною . Ліва межа такого проміжку шириною відповідає деякій швидкості , тоді як права межа – швидкості . Визначимо, яка частина молекул () газу має швидкості в інтервалі від до ?

Ця величина є різною для різних інтервалів показаних на мал.2.2.1, але вона повинна бути пропорційною ширині проміжку . Іншими словами, треба припускати, що існує пряма пропорційність поміж величинами та , причому коефіцієнт пропорційності залежить від швидкості :

(2.2.1)

Коефіцієнт пропорційності, позначений в (2.2.1) як , має назву функції розподілу Максвела, бо першим вигляд цієї функціїї знайшов англійський фізик Джеймс Клерк Максвел.

Функція Максвела (або розподіл Максвела) має наступний вигляд:

(2.2.2)

де - маса молекули, - абсолютна температура газу, а - стала Больцмана. Функція (2.2.2) має типовий дзвіноподібний вигляд з одним максимумом, як це показано на рис.2.(по осі ординат відкладена функція Максвела, по горизонтальній осі відношення швидкості молекули до найбільш ймовірної швидкості молекули - ).

На Мал.2.2.2 показані функції Максвела для трьох різних температур газу. Зі збільшенням температури криві стають нижчими у максимумі, ширшими, а положення максимуму функції зміщується у бік більших швидкостей. Положення цього максимуму неважко знайти, якщо диференціювати функцію (2.2.2) по швидкості і похідну прирівняти нулю:

(2.2.3)

Рішенням рівняння (2.2.3) є швидкість:

(2.2.4)

Швидкість (2.2.4) визначає найбільш ймовірну швидкість молекул газу, або таку швидкість, на яку припадає максимум функції Максвела . Напевно, що кінетична енергія, яка відповідає швидкості (2.2.4) , задовольняє умові:

(2.2.5)

Отже, температура характеризує кінетичну енергію молекул, проте коефіцієнт зв’язку поміж найбільш ймовірною кінетичною енергією молекули та величиною , який дорівнює у формулі (2.2.5) відрізняється від коефіцієнта , введеного нами раніше (лекція 2.1) під час визначення температури як міри середньої кінетичної енергії молекули.

Отже, найбільш ймовірна кінетична енергія молекули, яка фігурує в лівій частині (2.2.5) є трохи меншою від середньої кінетичної енергії молекул:

(2.2.6)

Окрім того, крива розподілу Максвела не є симетричною, тому частина молекул , яка задовольняє умові є меншою від 50%. Середня, або її ще називають середньоквадратичною, швидкість , яка поділяє молекули точно навпіл ( 50% молекул мають швидкості менші від , а решта 50%, навпаки, швидкості більші від ) відповідає умові, яка є наслідком рівняння (2.2.6):

(2.2.7)

Е кспериментальне визначення швидкостей молекул можливе на устаткуванні, схема якого показана на рис.3. „Молекулярна гармата” (джерело молекул) та система діафрагм формує вузький пучок (промінь) молекул, які проходять крізь зміщені прорізи у двох дисках, котрі обертаються з однаковою частотою . Молекула, яка пройшла крізь проріз у першому дискові потрапить на детектор лише при виконанні умови, що за час її прольоту поміж дисками кут повороту другого диску складе фіксовану величину . Отже швидкість молекули , відстань поміж дисками , частота обертання, та кут зміщення прорізів , повинні задовольняти рівнянню:

(2.2.7)

звідки швидкість молекули, яка потрапила у детектор дорівнює:

(2.2.8)

Змінюючи частоту обертання дисків , можна пропускати на детектор молекули різної швидкості, як це видно з (2.2.8) і таким шляхом експериментально перевірити розподіл Максвела.