Фізика / Практичн_ заняття 2 семестр / Методичн_ рекомендац_ї (МБ __ курс)
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Emin = |
h2 |
|
|
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8mel 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
кг м |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
(Дж с) |
|
|
с |
|
с |
|
кг м |
|
|
|
-20 |
|
||||
[Emin ]= |
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
= Дж; Emin = 6,02 10 |
Дж = 0,38 еВ. |
||||||
кг м2 |
|
|
кг м2 |
|
с2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Відповідь: w = 0,4; Emin = 6,02 10-20 Дж = 0,38 еВ.
Приклад №5
Частинка у безкінечно глибокій одномірній потенційній ямі завширшки l знаходиться у збудженому стані (n = 2). Визначити, в яких точках інтервалу 0 ≤ x ≤ l густина ймовірності знаходження частинки максимальна і мінімальна.
n = 2
0 ≤ x ≤ l
xmin – ? xmax – ?
Запишемо хвильову функцію для стану з n = 2 |
|
|||
ψ(x)= |
2 |
|
2πx |
(1) |
l |
sin |
|
||
|
|
l |
|
|
Густина ймовірності – це квадрат модулю хвильової функції, отже маємо
|
ψ (x) |
|
2 |
= |
2 |
sin |
2 |
|
2πx |
(2) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
l |
|
l |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Далі задача математично зводиться до відшукання точок мінімумів та максимумів функції
(2) на інтервалі 0 ≤ x ≤ l . Застосуємо алгоритм дослідження функції на екстремум. Згідно з ним спочатку треба взяти першу похідну від досліджуваної функції (2) по параметру х:
|
d |
|
ψ(x) |
|
2 |
= |
8π |
|
2πx |
2πx |
= |
4π |
4πx |
(3) |
|||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
cos |
|
|
|
sin |
|
|
||||
|
|
|
dx |
l 2 |
|
|
l 2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
l |
l |
|
|
l |
|
|
||||||||
При отриманні кінцевого виразу |
формули |
(3) |
використано |
відоме |
співвідношення |
||||||||||||||
sin 2α = 2sinα cosα . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Далі треба прирівняти вираз (3) до нуля і розв’язати отримане рівняння відносно х. Таким чином, ми отримаємо точки екстремумів.
4π |
|
4πx |
|
|
|
|
4πx |
|
|
|
|
|
4πx |
|
|
|
|
|||||||
|
sin |
|
|
|
= 0 sin |
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
= 0; π; 2π; 3π;K |
|
|||||||||
l 2 |
l |
|
l |
|
|
l |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
= 0; x |
2 |
= |
l |
|
; x |
3 |
= |
l |
; x |
4 |
= |
3l |
; x |
5 |
= l |
(4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для того, щоб з’ясувати, яка з наведених екстремальних точок (4) відповідає мінімуму, а яка
– максимуму, необхідно взяти другу похідну від функції (2) і потім в отриманий вираз послідовно підставляти значення екстремумів (4) і дивитися, якого знаку при цьому буде набувати вираз. Якщо знак “–”, то екстремальна точка відповідає максимуму, якщо знак “+”, то мінімуму.
|
|
|
|
|
|
d 2 |
|
ψ (x) |
|
2 |
= |
16π 2 |
|
4πx |
(5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
l 3 |
|
l |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Знак виразу (5) повністю визначається функцією |
|
|
4πx |
|
||||||||||||||||
cos |
|
|
. Підстановка до неї точок (4) дає |
|||||||||||||||||
|
l |
|||||||||||||||||||
наступні результати: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
при x1 |
= 0 cos 0 =1 > 0 – мінімум; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
при x2 |
= |
|
l |
cosπ = −1 < 0 – максимум; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
при x3 |
= |
l |
|
cos 2π =1 > 0 – мінімум; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
61
при x4 |
= |
3l |
cos3π = −1 < 0 – максимум; |
|||||||
|
||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при x5 |
= l cos 4π =1 > 0 – мінімум. |
|||||||||
Відповідь: xmin = 0; |
l |
; l |
xmax = |
l |
; |
3l |
. |
|||
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
4 |
4 |
|
|||||
Приклад №6
Кінетична енергія електрона дорівнює 1,02 МеВ. Обчислити довжину хвилі де Бройля такого електрона.
W = 1,02 106 еВ = |
Спочатку з’ясуємо, з яким випадком – класичним або релятивістським |
||||||
16,2 10-14 Дж |
– маємо справу в задачі. Для цього розрахуємо енергію спокою |
||||||
me = 9,1 10-31 кг |
електрона Е0 і порівняємо її з кінетичною енергією електрона W. |
|
|||||
с = 3 108 м/с |
|
E0 |
= me c2 |
(1) |
|||
h= 6,63 10-34 Дж с |
Е0 = 8,2 10-14 Дж. |
|
|
||||
λ – ? |
|
|
Оскільки W > E0, то маємо релятивістський випадок, отже формула |
||||
для розрахунку довжини хвилі де Бройля має бути такою |
|
||||||
|
|
|
|
λ = |
hc |
hc |
|
|
|
|
|
W (W + 2mc2 ) = |
W (W + 2E0 ) |
(2) |
|
|
Дж с |
м |
|
|
|
|
|
[λ] |
с = м |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
Дж2 Відповідь: λ = 8,6 10-13 м.
Задачі для самостійного розв’язання
1.Визначити частоту обертання електрона на другій орбіті в атомі водню.
2.Визначити довжину хвилі електрона, який обертається на третій орбіті в атомі водню.
3.Визначити довжину хвилі, яка відповідає третій спектральній лінії у серії Бальмера.
4.Знайти найбільшу та найменшу довжини хвиль у першій інфрачервоній серії спектру водню (серії Пашена).
5.Обчислити енергію фотона, що випромінюється при переході електрону в атомі водню з третього енергетичного рівня на перший.
6.Визначити найменшу та найбільшу енергії фотона в ультрафіолетовій серії спектру водню (серії Лаймана).
7.Частинка знаходиться у потенційній ямі шириною 0,3 нм. Визначити імпульс частинки на основному енергетичному рівні.
8.Електрон у потенційній ямі знаходиться в основному стані. Визначити, в яких точках інтервалу ( 0 < x < l ) густина ймовірності приймає максимальні значення. Побудувати графік залежності |ψ(x)|2.
9.Електрон у потенційній ямі знаходиться в збудженому стані (n = 3). Визначити, в яких точках інтервалу ( 0 < x < l ) густина ймовірності приймає мінімальні значення. Побудувати графік залежності |ψ(x)|2.
10.Електрон у потенційній ямі знаходиться в основному стані. Визначити, в яких точках інтервалу ( 0 < x < l ) густина ймовірності приймає нульові значення. Побудувати графік залежності |ψ(x)|2.
11.Електрон знаходиться у потенційній ямі завширшки 0,5 нм. Знайти найменшу різницю енергетичних рівнів електрона. Відповідь дати в електрон-вольтах.
62
12.Атом водню у основному стані поглинає квант світла з довжиною хвилі 121,5 нм. Визначити радіус електронної орбіти збудженого атому водню.
13.Визначити довжину хвилі де Бройля, яка характеризує хвильові властивості електрона, якщо його швидкість 1 Мм/с. Зробити аналогічні розрахунки для протону.
14.Яку прискорюючи різницю потенціалів повинен пройти електрон, щоб довжина хвилі де Бройля була рівною 0,1 нм?
15.Визначити довжину хвилі де Бройля електрону, який знаходиться на другій орбіті в атомі водню.
16.Електрон рухається по колу радіусом 0,5 см у однорідному магнітному полі з індукцією 8 мТл. Визначити довжину хвилі де Бройля електрону.
17.Електрон знаходиться у потенційній ямі завширшки 0,1 нм. Знайти різницю енергетичних рівнів електрона для збуджених рівнів n = 2 і n = 4. Відповідь дати в
|
електрон-вольтах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
Електрон |
знаходиться у потенційній ямі шириною l. В |
яких точках |
в |
інтервалі |
||||
|
( 0 < x < l ) |
густина |
ймовірності |
знаходження |
електрона |
на |
першому |
та |
другому |
|
енергетичних рівнях однакова. Знайти густину ймовірності для цих точок. |
|
|
||||||
19. |
Електрон |
знаходиться у потенційній ямі шириною l. В |
яких точках |
в |
інтервалі |
||||
|
( 0 < x < l ) |
густина |
ймовірності |
знаходження |
електрона |
на |
другому |
та |
третьому |
енергетичних рівнях є однаковою?
20.Частинка у потенційній ямі знаходиться в основному стані. Яка ймовірність знаходження частинки у першій третині потенційної ями?
21.Обчислити відношення ймовірностей знаходження електрона на першому та другому енергетичних рівнях в інтервалі ¼, який є рівновіддалений від стінок одновимірної потенційної ями завширшки l.
22.У одновимірній потенційній ямі завширшки l знаходиться електрон. Обчислити ймовірність знаходження електрона на першому енергетичному рівні в інтервалі ¼, який є рівновіддалений від стінок ями.
23.Частинка знаходиться у потенційній ямі завширшки 0,1 нм. Визначити різницю імпульсів частинки на першому та третьому енергетичних рівнях.
24.Електрон в атомі водню може знаходитися на колових орбітах радіусами 0,5×10-8 і 2×10-10 м. Як відносяться кутові швидкості обертання електрону на цих орбітах?
25.Радіус орбіти електрона в атомі водню 2×10-10 м. Фотони якої довжини хвилі можуть спричинити іонізацію цього атому?
26.З якою частотою обертається електрон в атомі водню, якщо він знаходиться на коловій орбіті радіусом 5×10-11 м?
27.Знайти відношення довжин хвиль де Бройля для електрону та кульки масою 1 г, які мають однакові швидкості.
28.Частинка знаходиться у потенційній ямі завширшки 0,1 нм. Визначити відношення імпульсів частинки на першому та третьому енергетичних рівнях.
29.У одновимірній потенційній ямі завширшки l знаходиться електрон. Обчислити ймовірність знаходження електрона на третьому енергетичному рівні в інтервалі ¼, який є рівновіддалений від стінок ями.
30.Частинка у потенційній ямі знаходиться в збудженому стані (n = 3). Яка ймовірність знаходження частинки у першій чверті потенційної ями?
63
Тема 7. Елементи фізики ядра. Ядерні реакції. Радіоактивність
Ядерна фізика вивчає будову атомних ядер, ядерні перетворення і ядерні реакції. Переходячи до вивчення елементів фізики атомного ядра, необхідно добре уявляти собі склад атомного ядра та його характеристики: масу, лінійні розміри, момент імпульсу, магнітний момент ядра, дефект маси ядра, енергію та питому енергію зв’язку ядра. Взаємодію між нуклонами називають сильною, а сили, що їй відповідають, ядерними. Розглядаючи склад ядра і взаємодію нуклонів у ядрі, треба знати властивості ядерних сил: насиченість, короткодію, зарядову та спінову незалежність. Подібно до того, як гравітаційні сили обумовлені існуванням гравітаційного поля, а електричні сили обумовлені існуванням електромагнітного поля, ядерні сили обумовлені існуванням ядерного поля, джерелами якого є нуклони. Довершеної теорії ядерних сил та взаємодій в сучасній фізиці ще й досі немає.
Згідно сучасним уявленням усі елементарні частинки по відношенню до сильної взаємодії можна розділити на лептони (від грец. “лептос” – легкий, мілкий) і адрони (від грец. “хадрос” – масивний, сильний). Лептони, яких відомо шість (електрон, мюон, тау лептон і відповідні до них нейтрино), не беруть участі у сильних взаємодіях. Адрони, яких відомо декілька сотень (протон, нейтрон та ін.), навпаки, беруть участь у сильній взаємодії. На сьогодні вважається, що всі адрони мають складну внутрішню структуру – складаються з більш дрібних фундаментальних частинок – кварків, яких відомо шість типів. Сильна взаємодія здійснюється шляхом віртуального обміну між кварками специфічними квантами – глюонами (від англ. glue – клей).
Методичні рекомендації
При розв’язанні задач даної теми треба пам’ятати декілька важливих моментів.
1.У ядерній фізиці прийнято виражати маси в одиницях енергії (МеВ), помножуючи їх для цього на с2, а також у атомних одиницях маси (а.о.м). Звичайно маси елементарних частинок та різних ізотопів хімічних елементів наводяться у довідникових таблицях.
2.Під час ядерних реакцій обов’язково виконуються різні закони збереження: закон збереження електричного заряду, закон збереження числа нуклонів, закон збереження енергії, закон збереження імпульсу, закон збереження маси. Ці закони за необхідності треба використовувати при розв’язанні задач.
3.У процесі ядерних реакцій, як і хімічних, може виділятися і поглинатися енергія. Енергетичний вихід ядерних реакцій розраховується на підставі закону збереження енергії. Визначити, які реакції йдуть з виділенням енергії, а які з її поглинанням, можна також на основі графіка залежності питомої енергії зв’язку від масового числа (рис.7.1).
4.При застосування законів радіоактивного розпаду (7.10) та Бугера (7.15) слід чітко розуміти, що показник експоненти обов’язково повинен бути безрозмірний, а отже треба слідкувати за тим, щоб розмірності множників показника експоненти взаємно скорочувалися.
Фізична величина |
Позначення |
Одиниці вимірювання |
||||
Коефіцієнт взаємозв’язку маси і |
|
E |
|
|
МеВ/а.о.м. |
|
c2 = |
= 931,5 |
1 а.о.м. = 1,66057 10-27 кг |
||||
|
||||||
енергії |
|
m |
|
1 МеВ = 1,60219 10-13 Дж |
||
|
|
|
||||
Маса спокою електрона |
me = 9,1 10-31 |
кг |
||||
|
|
|
-4 |
а.о.м. |
||
|
me = 5,486 10 |
МеВ |
||||
|
me = 0,511 |
|
||||
Маса спокою протона |
mр = 1,6726 10-27 |
кг |
||||
mр = 1,00728 |
а.о.м. |
|||||
|
mр = 938,26 |
|
МеВ |
|||
Маса спокою нейтрона |
mn = 1,6749 10-27 |
кг |
||||
64
|
mn = 1,00866 |
а.о.м. |
|
mn = 939,55 |
МеВ |
Енергія зв’язку |
Езв |
МеВ |
Енергія ядерної реакції |
Q |
МеВ |
Ймовірність радіоактивного розпаду |
λ |
с-1 |
Період напіврозпаду |
Т1/2 |
с |
Коефіцієнт поглинання |
μ |
м-1 |
Стала Авогадро |
NA = 6,02 1023 |
моль-1 |
Основні закони та формули
1.Будова атомного ядра
Атомне ядро складається з нуклонів: протонів та нейтронів. Число нуклонів в ядрі дорівнює масовому числу А (заокругленій до цілого числа атомній масі елемента у а.о.м.).Число Z протонів в ядрі дорівнює порядковому номеру елемента у таблиці Менделєєва і являє собою заряд ядра, виражений у одиницях елементарного заряду. Отже, число нейтронів в ядрі дорівнює N = А – Z.
Будь-який елемент або елементарну частинку позначають |
символічно: ZA X . |
У цих |
позначеннях маємо: для протона 11 H або 11 p ; для нейтрона – |
01n ; для електрона – |
−10 e ; для |
позитрона – 10 e ; для α- частинки – 24 He або 24α .
Атоми одного й того ж елемента можуть мати різне число нейтронів в ядрі. Такі атоми мають назву ізотопи.
Маса стабільного ядра mЯ завжди є меншою, ніж сума мас протонів та нейтронів, що його утворюють:
(7.1)
Величину m , що виражає різницю між масою нуклонів, які утворюють ядро і масою ядра, називають дефектом маси:
m = (Zmp + (A − Z )mn )− mЯ |
(7.2) |
Оскільки при будь-якій зміні маси m відбувається відповідна зміна енергії |
E = mc2 , то |
при утворенні ядра виділяється певна кількість енергії. За законом збереження енергії така сама кількість енергії необхідна, щоб розділити ядро на складові частинки, тобто віддалити нуклони на таку відстань один від одного, коли відсутня взаємодія між ними – це так звана енергія зв’язку.
Eзв = ((Zmp + (A − Z )mn )− mЯ )c2 = (ZmH + (A − Z )mn − ma )c2 |
|
(7.3) |
|||
|
де mH |
– маса атому |
водню, |
ma |
– маса |
|
|||||
|
атома. |
|
|
|
|
|
На рис.7.1 зображено графік, який ілюструє |
||||
|
залежність питомої енергії зв’язку від |
||||
|
масового числа. Сильніше всього зв’язані |
||||
|
нуклони в ядрах з масовими числами |
||||
|
порядку 50-60 (тобто для елементів від Cr до |
||||
|
|||||
|
Zn). Енергія зв’язку для цих ядер досягає 8,7 |
||||
|
МеВ/нуклон. Із зростанням |
A |
питома |
||
|
енергія зв’язку поступово зменшується: для |
||||
|
самого |
важкого |
елементу, |
який |
|
|
зустрічається в природі – урану вона складає |
||||
|
7,5 МеВ/нуклон. Така залежність питомої |
||||
|
енергії |
зв’язку від масового числа |
робить |
||
Рис. 7.1. |
|||||
65
енергетично можливими два процеси: 1) ділення важких ядер на декілька більш легких ядер і 2) злиття (синтез) легких ядер в одне ядро. Обидва процеси повинні супроводжуватися виділенням великої кількості енергії.
2.Радіоактивність
Радіоактивна речовина є джерелом трьох видів випромінювання.
При α - розпаді заряд ядра зменшується на 2 одиниці, а маса – на 4 одиниці:
ZA X →ZA−−42Y +24He |
(7.4) |
Існують три різновиди β - розпаду. Перший вид розпаду (β- - розпад), при якому ядро, що перетворюється, випускає електрон і антинейтрино, відбувається за схемою:
A |
A |
0 ~ |
(7.5) |
Z |
X →Z +1Y +−1 e + v |
||
Другий вид розпаду (β+ - розпад), при якому ядро, що перетворюється, випускає позитрон і нейтрино, відбувається за схемою:
A X → |
AY + 0e + v |
(7.6) |
|
Z |
Z −1 |
+1 |
|
Третій вид β - розпаду (К-захват або е-захват) полягає у тому, що ядро поглинає один з К- електронів свого атому, в результаті чого один з протонів перетворюється у нейтрон, випускаючи при цьому нейтрино: p + e → n + v . Ядро, що виникає при цьому, може
опинитися у збудженому стані. Повертаючись потім у нижні енергетичні стани, воно випускає γ - фотони. Схема процесу виглядає наступним чином
A X + 0e→ |
AY + v |
(7.7) |
|
Z |
−1 |
Z −1 |
|
При γ - розпаді перетворення елементів не відбувається, але внутрішня енергія ядра зменшується:
ZA X →ZAX + hv |
(7.8) |
3.Закон радіоактивного розпаду
Закон радіоактивного розпаду полягає у тому, що відношення числа розпавшихся за одиницю часу атомів до загальної кількості атомів є величиною сталою, яка залежить тільки від сорту атомів. Ця величина зветься ймовірністю розпаду:
λ = − |
1 |
|
dN |
(7.9) |
N |
|
dt |
||
|
|
|
Інтегрування виразу (7.9) приводить до математичного виразу закону радіоактивного розпаду
N = N0 exp(− λt) |
(7.10) |
де N – кількість атомів, які не розпалися до моменту часу t , |
N0 – початкова кількість |
атомів. |
|
Таким чином, кількість радіоактивних атомів убуває з часом за експоненціальним законом. Кількість розпавшихся в момент часу t атомів визначається співвідношенням
N = N0 − N = N0 (1− exp(− λt)) |
(7.11) |
Час, за який розпадається половина вихідної кількості радіоактивних атомів, називається періодом напіврозпаду:
1 |
N |
0 |
= N |
0 |
exp(−λT |
) T |
= |
ln 2 |
= |
0,693 |
(7.12) |
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
1/ 2 |
1/ 2 |
|
λ |
|
λ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Середній час життя τ радіоактивного ядра – проміжок часу, за який число ядер, що не розпалися, зменшується у е = 2,718... разів:
τ = |
1 |
= |
T1/ 2 |
≈1,45T |
(7.13) |
|
|
||||
|
λ |
ln 2 |
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|||
66
4. Енергія ядерної реакції |
|
)− (m |
|
|
|
)) |
|
Q = c2 ((m + m |
2 |
3 |
+ m |
4 |
(7.14) |
||
1 |
|
|
|
|
|||
де m1 , m2 – маси спокою ядра-мішені і бомбардуючої частинки; m3 + m4 |
– сума мас спокою |
||||||
ядер продуктів реакції.
Якщо m1 + m2 > m3 + m4 – екзотермічна реакція, енергія виділяється. Якщо m1 + m2 < m3 + m4 – ендотермічна реакція, енергія поглинається.
5.Закон Бугера
Ослаблення вузького пучка моноенергетичних γ- випромінювань при проходження через поглинаючу речовину відбувається за законом
I = I0 exp(− μx) |
(7.15) |
де I0 – інтенсивність γ- випромінювань (або густина потоку частинок), що падають на
поверхню речовини; I – інтенсивність γ- випромінювань (або густина потоку частинок), що пройшли шар речовини завтовшки х.
Приклад № 1 |
|
|
|
Приклади розв’язування задач |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
(α, p) кінетична енергія α- частинки 7,7 МеВ. Під яким кутом ϕ до напряму |
||||||||||||||||||||||||||||||
В реакції 147 N |
||||||||||||||||||||||||||||||
руху α- частинки вилітає протон, якщо відомо, що його кінетична енергія 8,5 МеВ? |
||||||||||||||||||||||||||||||
W1 = 7,7 МеВ |
|
|
Запишемо рівняння реакції |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
W2 = 8,5 МеВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
147 N +24α→178 O+11p |
|
|
|
|||||||||
mα |
= 4,0026 а.о.м. |
|
Отже, при бомбардуванні азоту α- частинками вилітають протон і |
|||||||||||||||||||||||||||
mр |
= 1,00783 а.о.м. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
ізотоп кисню з масою mО = 16,99913 а.о.м. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
mN |
= 14,00307 а.о.м. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Вважатимемо ядро мішені (ядро азоту) нерухомим. Позначимо W1, |
|||||||||||||||||||||||||||||
ϕ — ? |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
W2 і W3 кінетичні енергії відповідно α- частинки, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
протона і ядра віддачі (ядра кисню). Тоді графічно |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
схему реакції можна зобразити у вигляді (рис.7.2). |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для даної ситуації закон збереження енергії має вид: |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W1 + Q =W2 +W3 |
|
(1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон збереження імпульсу у векторній формі має вид: |
|||||||||||||||||||
|
|
Рис. 7.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 = p2 + p3 |
|
(2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
проекції |
|
на напрям |
руху α- |
r |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
частинки закон збереження імпульсу (2) набуває форми (рис.7.3): |
|
p2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
= p2 |
+ p2 |
− 2 p p |
2 |
cosϕ |
|
(3) |
|
|
|||||||||||||
Оскільки |
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ϕ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pr1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
= (mυ) |
2 |
= |
|
mυ2 |
|
2m = 2mW |
|
(4) |
pr |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
||||||||||||||
то рівняння (3) можна переписати у вигляді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.3. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2mOW3 = 2mαW1 + 2mpW2 |
− 2 |
2mαW1 2mpW2 |
cosϕ |
|
|
|||||||||||||||||||||
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
W = |
mα |
W + |
mp |
W |
2 |
− |
2 |
mα mpW1W2 |
cosϕ |
|
(5) |
||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
mO |
1 |
mO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mO |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Виключаючи з (1) і (5) енергію W3, отримаємо формулу, яка пов’язує кінетичну енергію α- частинок з кінетичною енергією протонів:
67
m |
O |
− m |
|
mp + mO 2 mα mpW1W2 |
|
|
||||
|
α |
|
|
|
− |
|
cosϕ |
(6) |
||
W1 |
mO |
|
+ Q =W2 |
mO |
|
mO |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Енергія ядерної реакції визначається наступним чином |
|
|
)) |
|
||||
Q = c2 ((m |
+ m |
N |
)− (m |
p |
+ m |
O |
(7) |
|
α |
|
|
|
|
|
|||
Підстановка числових даних у (7) дає результат -1,2 МеВ. Розв’язуючи (7) відносно cosϕ , отримаємо
cosϕ = |
mp + mO |
|
W |
2 |
− |
m |
O |
− m |
|
W |
|
|
|
2 |
|
|
|
α |
|
1 |
W |
|
|||||
|
m m W |
|
|
|
2 |
m m |
p |
2 |
|||||
|
|
α |
|
p 1 |
|
|
|
|
α |
|
|
||
Підстановка числових даних у (8) дає остаточну відповідь.
Відповідь: cosϕ = 0,849; ϕ = 32o .
− |
mO Q |
(8) |
2 m m W W |
||
|
α p 1 |
2 |
Приклад № 2
Визначити, скільки ядер у 1 г радіоактивного стронцію 3890 Sr розпадеться протягом одного року.
3890 Sr |
Для визначення числа атомів, які містяться у 1 г |
3890 Sr , використаємо |
||
m = 10-3 кг |
співвідношення |
|
||
Т1/2 = 27 років |
N0 = |
m |
N A |
(1) |
t = 1 рік |
|
|||
|
M |
|
||
N – ? |
де М – молярна маса ізотопу. Між молярною масою ізотопу та його |
|||
відносною атомною масою існує співвідношення: М = А 10-3 кг/моль. Для будь-якого ізотопу відносна атомна маса є близькою до його масового числа А, тобто для даного випадку маємо
M = 90 10−3 кг/моль. |
|
Використовуючи закон радіоактивного розпаду |
|
N = N0 exp(− λt) |
(2) |
визначимо кількість ядер 3890 Sr , які розпалися протягом 1 року |
|
N = N0 − N = N0 (1− exp(− λt)) |
(3) |
Враховуючи, що стала радіоактивного розпаду пов’язана з періодом напіврозпаду співвідношенням λ = ln 2 / T1/ 2 , отримаємо
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
− |
|
|
t |
|
|
|
(4) |
||
|
|
|
|
|
|||||||||
N = N0 1 −exp |
T1/ 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Підставляємо рівняння (1) у рівняння (4), отримаємо кінцеву формулу |
|
||||||||||||
|
mN |
A |
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N = M |
|
|
− T |
|
t |
(5) |
|||||||
|
|
1 −exp |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
||
При цьому у обов’язково слідкуємо за тим, щоб розмірності періоду напіврозпаду Т1/2 і часу t були однаковими задля того, аби показник експоненти був безрозмірний.
[ N ]= |
кг моль−1 |
= [ ] |
|
кг |
|||
|
|
моль Відповідь: N = 6,4 1021.
Приклад № 3
Скільки α і β частинок вилітає при перетворенні ядра урану 23392 U у ядро вісмуту 20983 Bi ?
68
Запишемо рівняння ядерного перетворення
23392 U →20983 Bi +x24He +y−10e |
|
|
Згідно закону збереження маси можемо записати |
|
|
233 = 209 + 4x x = |
233 − 209 |
= 6 |
|
||
4 |
|
|
Згідно закону збереження кількості нуклонів маємо |
|
|
92 = 83 + 6 2 − y y = 83 +12 −92 = 3
Отже, кількість α- частинок дорівнює 6, а кількість β- частинок дорівнює 3. Тепер можемо записати рівняння реакції в остаточному вигляді
23392 U →20983 Bi +624He +3−10 e
Приклад № 4
На поверхню води падає вузький монохроматичний пучок γ- променів з довжиною хвилі 0,775 пм. На якій глибині інтенсивність γ- променів зменшиться у 100 разів?
λ = 7,75 10-13 м |
|
Ослаблення інтенсивності γ- |
променів |
|
||||||
k = 100 |
|
визначається з формули |
|
|
||||||
|
|
I = I0 exp(− μx) |
(1) |
|
||||||
х – ? |
|
|
||||||||
|
|
|||||||||
звідки |
|
k = |
I0 |
= exp(− μx) |
(2) |
|
||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
I |
|
|
|||||
Розв’язуючи рівняння (2) відносно х, знаходимо |
|
|
||||||||
|
|
ln k = μx x = |
ln k |
|
(3) |
|
||||
|
μ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для визначення μ обчислимо енергію γ- квантів |
|
|
||||||||
|
|
ε = hv = |
hc |
(4) |
Рис. 7.3. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
λ |
|
|
||||||
Підстановка числових даних у формулу (4) дає такий результат:
ε = 2,56 10-13 Дж = 1,6 МеВ.
За графіком залежності лінійного коефіцієнту ослаблення γ- променів від їхньої енергії (рис.7.3) знаходимо μ = 0,06 см-1. Підставляючи це значення у формулу (3), знаходимо остаточну відповідь.
Відповідь: х = 76,75 см.
Приклад № 5
Обчислити у мегаелектрон-вольтах енергію ядерної реакції 2759Co+01n→2760Co + hv . Виділяється чи поглинається енергія при цьому?
m(2759Co)= 58,95182 а.о.м. |
Енергія ядерної реакції обчислюється за формулою: |
|
||||
60 |
|
Q = c2 ((m + m )− (m + m )) |
(1) |
|||
m(27 Co)= 59,95250 а.о.м. |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
||||
1 |
а.о.м. |
де m1 , m2 – маси спокою ядра-мішені і бомбардуючої частинки; |
||||
m(0 n)=1,00867 |
m3 , m4 – маси спокою ядер продуктів реакції. |
|
||||
Q – ? |
|
|
||||
|
Оскільки число електронів до й після реакції зберігається, то |
|||||
|
|
|||||
замість значень мас ядер можна використати значення мас нейтральних атомів, які наведено у скороченій умові. Тоді формулу (1) перепишемо у вигляді:
Q = c2 ((m(2759Co)+ m(01n))− m(2760Co)) |
(2) |
69
[Q]= аМеВ.о.м. а.о.м. = МеВ
Виділяється чи поглинається енергія при ядерній реакції можна визначити за знаком енергії Q – якщо Q < 0, то енергія поглинається, якщо Q > 0, то енергія виділяється.
Підстановка числових даних дозволяє зробити відповідь Відповідь: Q = 7,66 МеВ, енергія виділяється.
Приклад № 6
При зіткненні з нерухомим ядром мішені α- частинка розсіюється на кут 30°, а ядро віддачі вилітає під таким самим кутом. Знайти масу ядра мішені (рис.7.4).
mα = 4,0026 а.о.м |
|
Запишемо закон збереження імпульсу |
|
|
||
|
|
|
||||
ϕ = 30° |
|
|
m υr |
= m υr' + Mυr(1) |
|
|
|
|
α α |
α α |
|
|
|
|
|
У проекціях на координатні осі маємо |
|
|
||
М – ? |
|
|
|
|||
|
|
OX : |
mαυα = mαυα' cosϕ + Mυ cosϕ (2) |
|
||
|
|
OY : |
0 = mαυα' sinϕ − Mυsinϕ |
(3) |
|
|
З рівняння (3) слідує |
mαυα' = Mυ |
|
|
|
Рис. 7.4. |
|||||||
|
|
|
|
|
(4) |
|||||||
Тому рівняння (2) можна переписати у вигляді |
|
|
|
|
|
|||||||
|
mαυα |
= 2Mυ cosϕ |
(5) |
|||||||||
Запишемо закон збереження енергії |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mαυα2 |
|
mαυα'2 |
|
Mυ2 |
|
||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
(6) |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Помножимо рівняння (6) на 2mα . В результаті отримаємо |
|
|||||||||||
mα2υα2 |
= mα2υα'2 + mα Mυ2 |
(7) |
||||||||||
З урахуванням (5) маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4M 2υ2 cos2 ϕ = M 2υ2 |
+ mα Mυ2 |
4M cos2 ϕ = M + mα |
(8) |
|||||||||
З останнього рівняння (8) для маси ядра мішені можемо записати |
|
|||||||||||
|
M = |
|
|
mα |
|
|
|
|
(9) |
|||
|
4cos2 ϕ −1 |
|
||||||||||
При ϕ = 30° рівняння (9) можна спростити до вигляду |
|
|||||||||||
|
|
|
M = |
mα |
|
|
|
|
(10) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
Відповідь: М = 2,0013 а.о.м.
Задачі для самостійного розв’язання
1.Протон з енергією Е0 = 0,1 МеВ розсіюється на ядрі гелію 24 He під кутом θ = 90°.
Визначити енергії протона та альфа-частинки після розсіяння. Маса альфа-частинки mα = 4,00260361 а.о.м., маса протону mp = 1,00782522 а.о.м. (1 а.о.м. = 1,66057 10-27 кг).
2.Альфа-радіоактивний ізотоп плутонію 23994 Pu розпадається за схемою 23994 Pu→23592 U * +24He ,
причому позначений зірочкою уран-235, у свою чергу, випромінює γ-квант з енергією Еγ = 0,09 МеВ за схемою 23592 U * →23592 U + hv . Знайти швидкість α-частинок (24 He), які
вилітають при розпаді ядер плутонію. Маса альфа-частинки mα = 4,00260361 а.о.м.,
плутонію mPu = 239,051223 а.о.м, урану mU = 235,043941 а.о.м.
3.Яка кількість урану 23592 U витрачається за добу на АЕС потужністю 5000 кВт? ККД узяти рівним 17%. Вважати, що при кожному акті розпаду виділяється енергія 200 МеВ.
70