Фізика / Практичн_ заняття 2 семестр / Методичн_ рекомендац_ї (МБ __ курс)

x

0

arcsin

x0 = Asin(ωt0 ) t0 =

A

(4)

ω

t0 = 9.27 10−3 с. Підставляємо цей результат у рівняння (3) і отримаємо відповідь на четверте

питання задачі: υ = 3 м/с.

Максимальну силу можна обчислити за другим законом Ньютона:

Fmax = mamax

(5)

Отже, необхідно знайти максимальне прискорення точки, яке згідно рівнянню (2.5)

a =

d 2 x

=

dυ

= −Aω2 cos(ωt +ϕ0 )= −amax cos(ωt +ϕ0 )

dt 2

dt

дорівнює

amax = Aω2

(6)

Підставляємо рівняння (6) у рівняння (5):

= mAω2

F

(7)

max

Fmax =100 Н.

Відповідь: А = 0,05 м, ω = 100 рад/с, υmax = 5 м/с, υ = 3 м/с, W = 2,5 Дж, Fmax =100 Н.

Приклад № 2

які описуються рівняннями x1 = A1 cos(ωt +ϕ1 ) і

Додаються два коливання одного напрямку,

x2 = A2 cos(ωt +ϕ2 ), де А1 = 1 см, А2 = 2 см, ϕ1 =

π/6, ϕ2

= π/2,

ω = π рад/с. Визначити

амплітуду і початкову фазу результуючого коливання. Написати рівняння результуючого

коливання.

y

x1

= A1 cos(ωt +ϕ1 )

A

Для визначення амплітуди і

x2

= A2

cos(ωt +ϕ2 )

A2

α

початкової

фази

резуль-

А1 = 1 см

туючого

коливання

побу-

дуємо у загальному вигляді

А2 = 2 см

векторну діаграму амплітуд

ϕ1 = π/6

(рис.2.2).

ϕ2 = π/2

ϕ1

β

ϕ

Прості

геометричні

мірку-

ω = π рад/с

A1

вання дозволяють записати

А – ?

0 ϕ2

наступне

співвідношення

ϕ – ?

B2

B1

B

x

для початкової фази рез-

х(t) – ?

Рис. 2.2.

AB

ультуючого коливання:

tgϕ =

(1)

OB

A B

= A sinϕ

AB = A1 sinϕ1

+ A2 sinϕ2

(2)

1 1

1

1

A2 B2

− A2 sinϕ2

OB

= A cosϕ

OB = A1 cosϕ1

+ A2 cosϕ2

(3)

1

1

1

OB2

= A2 cosϕ2

tgϕ =

A1 sinϕ1

+ A2

sinϕ2

(4)

A cosϕ

1

+ A cosϕ

2

1

2

ϕ = 70,9° = 0,39π.

OAA1 можемо

Результуючу амплітуду знайдемо за допомогою теореми косинусів. Для

записати:

A2 = A2

+ A2

− 2A A cos β

(5)

1

2

1

2

вигляді:

+ 2A A cos(ϕ

)

A2 = A2

+ A2

2

−ϕ

1

(6)

1

2

1

2

А = 2,65 см.

Тепер можемо записати рівняння результуючого коливання:

x(t)= Acos(ωt +ϕ)= 2.65cos(πt + 0.39π ) (см)

(7)

Відповідь: ϕ = 70,9° = 0,39π, А = 2,65 см, x(t)= 2.65cos(πt + 0.39π ) (см).

Приклад № 3

k1 і

k2

Дві пружини з коефіцієнтами жорсткості

з’єднано в одному випадку послідовно

k1

Визначимо жорсткість пружини в обох випадках.

k2

Послідовне з’єднання (рис.2.3. а)

Під дією сили F кожна із пружин розтягнеться на

T1

−?

довжину

T2

F

F

x =

; x

2

=

(1)

1

k1

k2

Для системи пружин маємо

F

F = kпосл x = kпосл (x1 + x2 )= k

F

+

(2)

k1

k2

Рис. 2.3.

T1

= 2π

m

= 2π

(k1 + k2 )m

(4)

kпосл

k1k2

Паралельне з’єднання (рис.2.3. б)

Сила F , що діє на систему пружин може бути розкладена на дві складові, одна з яких F1

прикладена до пружини 1, інша

F2 –

до пружини 2. Обидві пружини розтягнуться на

однакову довжину x .

Для системи пружин

F1

= k1 x; F2 = k2 x

(5)

F = F1 + F2 = kпар x = k1 x + k2 x

(6)

Звідки маємо

kпар = k1 + k2

(7)

Період коливань вантажу масою m

T

= 2π

m = 2π

m

(8)

2

kпар

k1 + k2

В результаті знаходимо:

(k1 + k2 )m(k1 + k2 )

T1

=

= k1 + k2 k1k2

(9)

k1k2 m

T2

k1k2

θ = 0,003

За означенням (2.20) логарифмічний декремент затухання

пов’язаний з

A

=

1

періодом наступним чином

θ = δT

A0

2

Виразимо період коливань через декремент затухання

N – ?

T =

θ

(1)

δ

З іншого боку, період коливань пов’язаний з кількістю коливань N:

T =

t

(2)

де t – час коливань.

N

Об’єднуючи рівняння (1) і (2), маємо

t

= θ

N =

tδ

(3)

N

θ

δ

Під час затухаючих коливань амплітуда зменшується з часом за законом

A = A0 exp(−δt)

(4)

де А0 – початкова амплітуда коливань.

Виразимо з рівняння (4) коефіцієнт затухання δ:

A

ln

0

A

δ =

(5)

t

Підставляємо рівняння (5) у рівняння (3), отримуємо кінцевий результат:

A

ln

0

A

N =

(6)

θ

Uef =120 В

Графік залежності

напруги

змінного

u = 84 В

струму від часу являє собою синусоїду

(рис.2.4). Період

змінного

струму

v = 50 Гц

дорівнює

t – ?

T =

1

(1)

v

Рис. 2.4.

де t2

і t1

t = t2 −t1

(2)

можна знайти з рівняння змінного струму

sin(ωt)=U

2π

u =U

m

m

sin

t

(3)

T

Використаємо зв’язок максимальної напруги з ефективною:

Uef

= U m

U m

=

2Uef

(4)

2

Підставляємо значення U m у формулу (3):

u = 2U

2π

2π

=

u

(5)

ef

sin

t sin

t

2Uef

T

T

2π

1

Підставивши числові данні у рівняння (5),

знайдемо sin

t

=

, звідки в межах одного

T

2

півперіоду маємо

T

2π

t

=

π ; t

=

=

1

T

1

6

1

12

12v

2π

t2

=

5π

;

t2

=

5T

=

5

T

6

12

12v

Отже, шукане значення

t =

T

=

1

=

1

с.

3

3v

150

Відповідь:

t = 0,67 с.

коливань можна розрахувати наступним чином

2πN

t = NT =

(4)

ω

Порівнюючи заданий в умові закон зміни напруги з гармонічним законом, знаходимо:

U m = 50 В, ω = 500 рад/с.

Оскільки на активному опорі сила струму і напруга співпадають за фазою,

то ϕR = 0 і

cosϕR =1. Отже, друге рівняння (1) з урахуванням (3) можемо переписати у вигляді

Q

R

=

1

I

mR

U

mR

t

(5)

2

Внаслідок послідовного з’єднання

амплітуда

струму

на

всіх елементах є

однаковою

ImR = ImC = ImL = Im і за законом Ома (2.26) дорівнює:

Im =

U m

=

U m

(6)

2

Z

2

1

R

+ ωL

−

ωC

Враховуючи, що напруга на опорі U mR = ImR R = Im R ,

рівняння (5) остаточно запишемо у

вигляді:

1 U

2

R

U

2

R

QR =

t =

1

2πN

m

m

(7)

2 Z 2

2

2

1

2

ω

R

+

ωL

−

ωC

Підстановка числових даних дає результат QR

= 24,8 Дж.

cosϕ =

R

(8)

Тому маємо

Z

1 U

1 U 2

R

U 2

R

Q =

m

U

R

t =

t =

1

2πN

m

m

(9)

m Z

1 2

2

Z

2 Z 2

2

R

2

ωL

ω

+

−

ωC

[Q]= [QR ]=

В2 Ом с

=

В2 с

=

м4 кг2 с4 А2

=

м2 кг

= Дж

Ом2

Ом

с6 А2 м2 кг

с2

х1 = 0,5 м

З рівняння біжучої хвилі (2.30) за різницею фаз Δϕ і відстані х від

х2 = 1,77 м

джерела коливань можна визначити довжину хвилі λ. Маємо

Δϕ = 3π/4

x

t

x

v = 100 с-1

s(x,t)= Asin(ωt − kx)= Asin ω t −

= Asin 2π

−

(1)

υ

А1 = А2 = А = 0,01 м

T

λ

2π

λ – ?

де s – зміщення точки, t –

= 2πv = 200π

час

коливань,

ω = T

–

υ – ?

s1(t) – ?

кругова частота

t

x

s2(t) – ?

−

У рівнянні (1)

вираз

2π

є фазою коливань. Запишемо фази

для кожної точки:

T

λ

t

x

t

x

2

ϕ1 = 2π

−

1

;

ϕ

2 =

2π

−

(2)

λ

λ

T

T

Тоді різниця фаз дорівнює