Фізика / Практичн_ заняття 2 семестр / Методичн_ рекомендац_ї (МБ __ курс)
.pdf
енергією електрона до взаємодії з фотоном ми нехтуємо, то енергія системи (фотон + електрон) до взаємодії складається тільки з початкової енергії фотона ε ; енергія системи після взаємодії є сумою кінетичної енергії W електрона віддачі і енергії розсіяного фотона ε' . Отже, закон збереження енергії запишеться у вигляді:
|
|
|
|
|
ε = ε'+W |
|
|
|
|
|
(6) |
||
Звідки елементарно визначаємо кінетичну енергію електрона віддачі: |
|
|
|||||||||||
[W ]= Дж; W =0,26 10-14 Дж = 16 кеВ. |
|
W = ε −ε' |
|
|
|
|
|
(7) |
|||||
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
||||
в) Для знаходження напряму руху (кута розсіювання ϕ) |
|
|
|
|
|||||||||
p' |
|
|
|
|
|||||||||
електрона віддачі, застосуємо закон збереження імпульсу: |
|
|
|
|
|||||||||
імпульс системи до взаємодії дорівнює імпульсу системи |
|
|
θ |
|
|
||||||||
після взаємодії. До взаємодії імпульс мав тільки фотон |
|
|
|
D |
|||||||||
(оскільки електрон вважаємо нерухомим), після взаємодії |
O |
|
ϕ |
|
|||||||||
|
p |
|
|||||||||||
цей імпульс розподілився між електроном і розсіяним |
|
|
|
|
|||||||||
фотоном. Отже, закон збереження імпульсу можемо |
|
|
|
|
|
||||||||
записати таким чином: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pre |
|
p = pe + p' |
|
|
|
|
|
(8) |
|
|
Рис. 5.1. |
C |
|||
Побудуємо цей закон у вигляді векторної діаграми |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
імпульсів (рис.5.1). З неї слідує наступне співвідношення: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
CD |
|
p' |
|
ε' / c |
|
ε' |
|
|
ε' |
|
|
|
tgϕ = |
|
= |
|
= |
|
= |
|
ϕ = arctg |
|
|
|
(9) |
|
OD |
p |
ε / c |
ε |
ε |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ϕ = 40°.
Відповідь: ε’ = 1,34 10-14 Дж = 84 кеВ; W = 0,26 10-14 Дж = 16 кеВ; ϕ = 40°.
Приклад №4
На чорну поверхню нормально падає монохроматичне світло з довжиною хвилі 0,65 мкм. При цьому створюється світловий тиск 5 мкПа. Визначити концентрацію фотонів поблизу поверхні і число фотонів, що падають на площу 1 м2 за 1 с.
λ = 6,5 10-7 м |
|
|
Тиск світла при нормальному падінні на поверхню обчислюється за |
|||||||||||||||||||||||
Р = 5 10-6 Па |
|
|
формулою: |
|
|
|
|
Ee |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ρ = 0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = |
|
(1 + ρ)= w(1 + ρ) |
(1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|||||||||||||||||
S = 1 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
t = 1c |
|
|
|
|
|
де w = Ee / c – об’ємна густина енергії, вона дорівнює добутку концентрації |
||||||||||||||||||||
n0 – ? |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
фотонів n0 |
(числа фотонів в одиниці об’єму) |
на енергію одного фотона, |
|||||||||||||||||||
n – ? |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
тобто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w = n |
ε = n |
|
|
|
hc |
|
(2) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|||||||||||
звідки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wλ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n0 |
= |
|
|
|
|
(3) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hc |
|
|
|
|
|
|
Визначивши об’ємну густину енергії з (1) і підставляючи у (3), маємо |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n0 |
= |
Pλ |
|
|
|
(4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
hc |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Па м |
|
|
= |
|
|
м |
|
= |
1 |
; n0 =1,6 1013 м−3 |
|
||||||||||||
[n0 ]= |
|
|
|
|
м2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Дж с |
|
|
|
Н м с |
м |
|
|
м3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
с |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
51
Число фотонів, що падають на 1 м2 за 1 с, чисельно дорівнює відношенню енергетичної освітленості до енергії одного фотона:
|
|
|
|
n = |
|
|
Ee |
= |
Ee λ |
|
|
(5) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ε |
hc |
|
||||||
Енергетичну освітленість визначаємо з (1) і підставляємо у (5): |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
n = |
|
Pcλ |
= |
|
Pλ |
|
(6) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
h |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
hc |
|
|
||||||
З урахуванням виразу (4) рівняння (6) остаточно набуває вигляду |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
n = n0 c |
|
|
|
|
(7) |
|||||
[n]= |
м |
= |
1 |
; n = 4,8 1021 м−2 с−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м3 с |
м2 с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Відповідь: n0 = 1,6 1013 м-3; n = 4,8 1021 м-2 с-1.
Приклад №5
Чутливість сітківки ока до жовтого світла (λ = 0,6 мкм) становить 3,3 10-18 Вт. Скільки фотонів має щосекунди поглинатися сітківкою, щоб створювалося відчуття світла?
λ = 6 10-7 м |
|
Очевидно, що шукана кількість фотонів повинна відповідати тій |
||||||||
N = 3,3 10-18 Вт |
|
мінімальній потужності N, про яку йдеться в умові задачі. Пов’язані ці |
||||||||
t = 1 c |
|
два параметри між собою через енергію: повна енергія n фотонів |
||||||||
n – ? |
|
дорівнює добутку енергії одного фотона на їх кількість |
|
|||||||
|
|
|
|
|
E = nε = |
nhc |
|
(1) |
||
|
|
|
|
λ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
З іншого боку, повна енергія n фотонів – це добуток повної потужності на час: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
E = Nt |
(2) |
||||
Підставляємо (2) в (1) і розв’язуємо отримане рівняння відносно n: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
n = |
Ntλ |
|
(3) |
||
|
Вт с м |
hc |
||||||||
|
|
|
|
|||||||
[n]= |
= [ ] |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Дж с |
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Відповідь: n = 9,95 ≈ 10.
Задачі для самостійного розв’язання
1.Визначити роботу виходу А електронів з натрію, якщо червона межа фотоефекта 500 нм.
2.Чи буде спостерігатися фотоефект, якщо на поверхню срібла (А = 4,7 еВ) направити
|
ультрафіолетове випромінювання з довжиною хвилі λ = 300 нм? |
3. |
Яка частка енергії фотона витрачена на роботу виривання фотоелектрона, якщо червона |
|
межа фотоефекта λmax = 307 нм і максимальна кінетична енергія Wmax фотоелектрона |
4. |
дорівнює 1 еВ? |
На поверхню літію падає монохроматичне світло (λ = 310 нм). Щоб припинити |
|
|
емісію електронів, потрібно подати затримуючу напругу 1,7 В. Знайти роботу виходу А. |
5.Світловий тиск на дзеркальну поверхню площею 1 см2 дорівнює 1 мкПа. Знайти довжину хвилі монохроматичного світла, якщо щосекунди падає 5 1012 фотонів.
6.На цинкову пластинку (А = 4 еВ) падає монохроматичне світло з довжиною хвилі λ = 220 нм. Визначити максимальну швидкість фотоелектронів.
7.Кут розсіяння фотону дорівнює 90°. Кут віддачі електрона дорівнює 30°. Визначити енергію падаючого фотона.
8.Визначити роботу виходу електронів з поверхні цинку, якщо довжина хвилі, що відповідає червоній границі, складає для нього 300 нм.
52
9.Скільки фотонів потрапляє за 1 с в око людини, якщо око сприймає світло з довжиною хвилі 0,5 мкм при потужності світлового потоку 2 10-17 Вт?
10.Рентгенівське випромінювання довжиною хвилі λ = 55,8 пм розсіюється плиткою графіту (комптон-ефект). Визначити довжину хвилі λ' світла, розсіяного під кутом θ = 60° до напрямку падаючого пучка світла.
11.На чорну поверхню нормально падає монохроматичне світло з довжиною хвилі 0,45 мкм. Знайти число фотонів, що падають на площу 1 м2 за 1 с, якщо світловий тиск при цьому дорівнює 10 мкПа.
12.Червона межа фотоефекта для калію відповідає довжині хвилі 0,577 мкм. При якій
різниці потенціалів між електродами припиниться емісія електронів з поверхні калію, якщо катод висвітлювати випромінюванням з довжиною хвилі 0,4 мкм?
13.Визначити червону межу фотоефекта для цезію, якщо при висвітленні його випромінюванням з довжиною хвилі 0,35 мкм затримуючий потенціал дорівнює 1,47 В.
14.Яка частина енергії фотона, що викликає фотоефект, витрачається на роботу виходу, якщо найбільша швидкість електронів, вирваних з поверхні цинку, складає 106 м/с? Червона межа фотоефекта для цинку відповідає довжині хвилі 290 нм.
15.На поверхню площею 100 см2 щохвилини падає 63 Дж світлової енергії. Знайти світловий тиск у випадках, коли поверхня повністю відбиває і повністю поглинає все випромінювання.
16.Визначити кут θ розсіювання фотона, що випробував зіткнення з вільним електроном, якщо зміна довжини хвилі λ при розсіюванні дорівнює 3,62 пм.
17.Фотон з енергією ε = 0,4 МеВ розсіявся під кутом θ = 90° на вільному електроні. Визначити енергію ε' розсіяного фотонаі кінетичну енергію W електрона віддачі.
18.Фотон (λ=1 пм) розсіюється на вільному електроні під кутом 90°. Яку частку своєї енергії фотон передає електрону?
19.Енергетична освітленість поверхні, яка опромінюється нормально спрямованими променями дорівнює 3 кВт/м2. Обчислити світловий тиск, якщо поверхня чорна.
20.На поверхню вольфраму з роботою виходу 4,5 еВ падають рентгенівські промені з довжиною хвилі 10 нм. Знайти червону межу фотоефекту.
21.На фотоелемент з літію падає світло з довжиною хвилі 200 нм. Знайти мінімальну затримуючу напругу, яку необхідно прикласти до фотоелементу, щоб фотострум дорівнював нулю.
22.На цинкову пластинку (А = 4 еВ) падає монохроматичне світло з частотою 1,4×1015 Гц. Визначити максимальну кінетичну енергію фотоелектронів.
23.Червона межа фотоефекту для цинку дорівнює 310 нм. Визначити максимальну кінетичну енергію електронів, якщо на поверхню падає світло з довжиною хвилі 200 нм.
24.Визначити імпульс електрона віддачі при ефекті Компотна, якщо фотон з енергією, яка
дорівнює енергії спокою електрону, був розсіяний на кут θ = 180°.
25.Фотон з енергією ε = 0,25 МеВ розсіюється на вільному електроні. Енергія ε’ розсіяного фотона дорівнює 0,2 МеВ. Визначити кут розсіяння θ.
26.Яка частка енергії фотону витрачається на роботу виходу, якщо найбільша швидкість електронів, що вибиваються з поверхні цинку, складає 106 м/с? Червона межа фотоефекту для цинку відповідає довжині хвилі 290 нм.
27.Визначити максимальну зміну довжини хвилі при комптонівському розсіюванні на вільних електронах.
28.Яка частка енергії фотону при ефекті Компотну припадає на електрон віддачі, якщо
фотон розсіюється на кут 180°? Енергія фотону до розсіювання дорівнює 0,255 МеВ.
29.В результаті ефекту Комптона електрон набуває енергії 0,5 МеВ. Визначити енергію падаючого фотона, якщо довжина хвилі розсіяного фотона дорівнює 0,025 нм.
30.Визначити довжину хвилі монохроматичного випромінювання при нормальному падінні
його на дзеркальну поверхню площею 1 м2, якщо щосекунди падає 5 1018 фотонів.
53
РОЗДІЛ 3. ЕЛЕМЕНТИ АТОМНОЇ ТА ЯДЕРНОЇ ФІЗИКИ [3,6,7,11,13-16]
Тема 6. Будова атому водню. Хвилі де Бройля. Прості задачі квантової механіки
Основи сучасного уявлення про побудову атому були закладені Ернестом Резерфордом. Він на підставі проведених експериментів запропонував планетарну модель атому. В цій моделі атомні електрони рухалися навколо ядра по еліптичним траєкторіям, причому в одному з фокусів такого еліпсу знаходиться порівняно невелике за розмірами, але масивне атомне ядро. Недоліком планетарної моделі Резерфорда було її протиріччя основному закону електродинаміки. Для подолання труднощів планетарної моделі Нільс Бор запропонував теорію атома водню, яка базувалася на двох постулатах (див. нижче). Теорія Бора у свій час стала тріумфом розвитку атомної фізики. Вперше, хоча і для найпростішої атомної системи, було розкрито закономірності спектрів. Недоліком теорії Бора була її непослідовність – вона не була ані класичною, ані квантовою, об’єднувала у собі положення принципово різних теорій: класичної і квантової фізики. Згідно сучасним уявленням постулати Бора є коректними за своїм змістом і можуть бути логічно доведені, виходячи з більш загальних принципів квантової механіки.
Квантовою механікою називають сучасну теорію, яка встановлює спосіб опису і закони руху мікрочастинок та їх систем. Незвичність квантово-механічних уявлень у порівнянні з класичною фізикою викликало потребу перебудови основних фізичних моделей. Головним чином це торкнулося поняття частинки і принципів її руху. Основним рівнянням квантової механіки є хвильове рівняння Шредингера, воно описує стани мікрочастинки за допомогою хвильової функції і має статистичний зміст. Мікрочастинкам властивий корпускулярнохвильовий дуалізм, згідно гіпотезі де Бройля рух будь-якої частинки завжди супроводжується хвильовим процесом. Більшість фізичних величин, що характеризують рух мікрочастинок, змінюються дискретно, тобто квантуються.
Методичні рекомендації
При розв’язанні задач на атом водню слід пам’ятати, що всі параметри такої системи (енергія, швидкість електрона, період обертання, довжина хвилі де Бройля, тощо) є квантованими, змінюються дискретно, тобто залежать від головного квантового числа n. Це у свою чергу може суттєво полегшити вирішення подібних задач, оскільки достатньо обчислити значення шуканого параметру для основного (n = 1) стану, всі інші стани пов’язані з основним простими залежностями (див. приклади №1, 2).
При розрахунках енергії переходів між стаціонарними станами атому водню, слід чітко розуміти, що згідно формули (6.1) енергія буде від’ємною, якщо електрон переходить з нижньої орбіти на верхню (атом поглинає енергію) і енергія буде додатною, якщо електрон переходить з вищої орбіти на нижчу (атом випромінює енергію), але частоти, які відповідають цим енергіям є завжди додатними. Тобто у формулі (6.3) параметр d це номер кінцевої (у випадку випромінювання) або початкової (у випадку поглинання) орбіти, отже, завжди n > d.
В задачах на хвилі де Бройля треба розрізняти релятивістський (6.5) і нерелятивістський (6.4) випадки і розуміти, що величина довжини хвилі суттєво залежить від маси об’єкту – вона є спостережуваною (такою, що можна зафіксувати вимірювальними приладами) тільки для мікрочастинок.
При розв’язанні задач на одновимірну квантову яму требу розуміти, що рівняння Шредингера при цьому має прості розв’язки у вигляді хвильової функції (6.7), що фізичний зміст має квадрат модулю цієї хвильової функції – це густина ймовірності знаходження мікрочастинки у даній точці простору. Всі задачі на квантові ями переважно зводяться до відшукання ймовірності знаходження частинки у певній області простору (див. приклад №4),
54
або до знаходження точок, де ймовірність має максимальне чи мінімальне значення (див. приклад №5). У першому випадку задача математично зводиться до інтегрування, при цьому слід пам’ятати, що ймовірність не може перевищувати одиниці; у другому випадку задача зводиться до диференціювання (математичний алгоритм відшукання екстремуму відомої функції).
Фізична величина |
Позначення |
Одиниці вимірювання |
Енергія кванта |
ε |
Дж |
Кінетична, потенційна, повна енергія |
W, U, Е |
Дж |
Маса електрона |
me = 9,1 10-31 |
кг |
Елементарний заряд |
е = 1,6 10-19 |
Кл |
Швидкість світла у вакуумі |
с = 3 108 |
м/с |
Електрична стала |
ε0 = 8,85 10-12 |
Ф/м |
Імпульс |
р |
кг м/с |
Момент імпульсу |
L |
кг м2/с |
Стала Планка |
h = 6,63 10-34 |
Дж с |
h = h /(2π )=1,05 10−34 |
||
Радіус орбіти |
r |
м |
Швидкість |
υ |
м/с |
Частота світла |
v, ω |
Гц = с-1 |
Довжина хвилі світла |
λ |
м |
Період обертання |
Т |
с |
Головне квантове число |
n = 1,2,3, ... |
— |
Хвильове число |
k |
м-1 |
Ймовірність |
w |
— |
Основні закони та формули
1. Постулати Бора
Постулат стаціонарних станів Атомна система може перебувати тільки в особливих стаціонарних станах, кожному з яких
відповідає певна енергія En . У стаціонарному стані атом не випромінює.
Правило частот |
|
Під час переходів атома з одного стаціонарного стану з енергією En1 |
в інший з енергією En2 |
випромінюється (поглинається) квант енергії |
|
ε = hv = 2πhω = En1 − En2 |
(6.1) |
Квантованість орбіт Електрони в атомах рухаються лише по таких орбітах, на яких їх момент кількості руху квантований
L = m υr = nh = n |
h |
(6.2) |
e |
2π |
|
2.Частота випромінювання (поглинання) світла атомом
|
e4 m |
e |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
v = |
|
|
|
− |
|
|
= R |
|
− |
|
|
(6.3) |
|
8ε02 h3 |
|
n2 |
|
n2 |
|||||||||
|
d 2 |
|
|
d 2 |
|
|
|
||||||
де R = 3,3 1015 Гц – стала Ридберга.
Усі частоти випромінювання атому водню складають ряд серій, кожній відповідає певне значення числа d і різні значення числа n (d = 1 – серія Лаймана (ультрафіолетова область спектру), d = 2 – серія Бальмера (видима, близька ультрафіолетова області), d = 3 – серія Пашена (інфрачервона область), d = 4 – серія Брекета, d = 5 – серія Фунта).
55
3.Формула де Бройля
у класичному (нерелятивістському) наближенні (υ << c, W << mc2 , p = mυ ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
λ = |
h |
= h |
= |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.4) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
p |
mυ |
|
|
|
|
2Wm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
у релятивістському випадку (υ ~ c, W ~ mc2 , p = mυ / |
1 −υ2 / c2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
λ = |
h |
1− |
υ2 |
= |
|
|
h |
|
|
|
|
= |
hc |
|
|
|
|
|
|
|
(6.5) |
||||
mυ |
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2Wm + |
W |
2 |
|
W (W + 2mc |
2 |
) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. Вільна частинка в одномірній потенційній ямі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Залежність потенційної енергії від координати, |
як U |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
показано на рис.6.1, називається безкінечно глибокою |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
одномірною потенційною ямою: частинка |
в |
|
області |
|
U=∞ |
|
U=0 |
|
|
U=∞ |
|||||||||||||||
завширшки l поміж х1 і х2 є вільною, але за межі цієї |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
області вона вийти не може, оскільки не може подолати |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
безкінечно високі потенційні бар’єри. Отже, поза межами |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
||||||||||||||||
інтервалу (х1;х2) частинка перебувати не може – для неї це |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||
|
|
|
x1 |
x2 |
|||||||||||||||||||||
заборонені зони. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.1. |
|
|
|
|
Рівняння Шредингера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
2ψ |
|
2mE |
|
|
|
|
|
∂2ψ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂x2 |
+ |
|
|
|
|
ψ = 0 |
|
|
∂x2 |
+ k ψ = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
(6.6) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Це рівняння гармонічних коливань, його розв’язки можна записати у вигляді
|
|
ψn (x)= |
2 sin(kx) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
де k = 2mE |
= πn |
– хвильове число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ймовірність знаходження частинки в інтервалі (х1;х2) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
w = ∫ |
|
ψn (x) |
|
2 dx |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Повна енергія частинки |
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
E = |
|
h2 |
|
|
|
n2 = |
π 2 h2 |
n2 |
|||
Імпульс частинки |
|
8ml 2 |
|
2ml 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
h |
|
πh n |
|
||||||
|
|
|
p = |
|
n = |
|
|||||||
|
|
|
|
2l |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|||
Приклади розв’язування задач
Приклад № 1
(6.7)
(6.8)
(6.9)
(6.10)
Знайти радіуси перших трьох орбіт в атомі водню, швидкості та періоди обертання електрона на них.
ε0 = 8,85 10-12 Ф/м h = 6,63 10-34 Дж с me = 9,1 10-31 кг
r1, r2, r3 – ?
υ1, υ2, υ3 – ? T1, T2, T3 – ?
Згідно теорії Бора, електрон в атомі водню обертається по круговій орбіті навколо ядра. При цьому на електрон діє кулонівська сила тяжіння з боку позитивно зарядженого ядра, яка за другим законом Ньютона, дорівнює добутку маси електрона на доцентрове прискорення:
F |
= m |
a |
e2 |
|
|
m υ2 |
|
|
|
|
= |
e n |
(1) |
||||
4πε |
r 2 |
r |
||||||
k |
e |
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
n |
|
n |
|
56
Орбіта електрона в атомі водню є квантованою: |
|
|
|
||
m υ r = n |
h |
υ |
n |
= |
nh |
|
|
||||
e n n |
2π |
|
|
2πme rn |
|
|
|
|
|
||
Підставляємо рівняння (2) у рівняння (1) і розв’язуємо його відносно rn :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
= |
|
h2ε |
0 |
n2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
e2πme |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кг |
м |
2 |
2 |
|
с |
4 |
А |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Дж |
с |
Ф/ м |
|
|
с |
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
[r |
]= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
кг |
= м |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(А с)2 кг |
|
|
|
|
|||||||||||||||
n |
|
Кл2 |
кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Для першої орбіти (n = 1) маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
= |
|
ε0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2πme |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
З урахуванням формули (4) вираз (3) можна спростити:
rn = r1n2 r1 = 5,31 10-11 м, r2 = 2,12 10-10 м, r3 = 4,77 10-10 м.
Для знаходження швидкості підставимо рівняння (3) у (2):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ |
n |
= |
|
e2 |
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2hε0 |
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(А с)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
[υn ]= |
Кл2 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
м |
|
|
|
|
|
|
||||
Дж с |
Ф |
|
|
кг м |
2 |
|
с |
4 |
А |
2 |
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
м |
|
|
|
с |
|
с |
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для першої орбіти (n = 1) маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ |
1 |
= |
|
e2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2hε0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
З урахуванням формули (7) вираз (6) можна спростити:
υ
υn = n1
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
υ1 = 2,18 106 м/с, υ2 = 1,09 106 м/с, υ3 = 0,72 106 м/с.
Період обертання – це час, за який електрон робить один повний оберт по орбіті, для його знаходження необхідно довжину певної орбіти ln розділити на швидкість υn електрона на
цій орбіті. Згідно з теорією Бора орбіти в атомі водню є круговими, отже, для періоду обертання можемо записати:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T = |
|
ln |
|
= |
2πrn |
|
(9) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
υ |
n |
|
υ |
n |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Підставляємо у (9) формули (3) і (6), в результаті маємо |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4h |
3ε 2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T = |
|
|
|
|
|
|
0 |
n3 |
(10) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
e4 me |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3 Ф 2 |
|
|
кг м2 3 |
|
с4 А2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
(Дж с) |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
м |
кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
[T |
]= |
|
|
м |
= |
|
|
|
|
|
|
|
= с |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(А с)4 кг |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n |
|
Кл4 |
кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Для першої орбіти (n = 1) маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4h3ε02 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
= |
|
|
|
(11) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e4 me |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
57
З урахуванням формули (11) вираз (10) можна спростити: |
|
|
T |
= T n3 |
(12) |
n |
1 |
|
T1 = 1,52 10-16 с, T2 = 12,16 10-16 с, T3 = 41,04 10-16 с. Відповідь: r1 = 5,31 10-11 м, r2 = 2,12 10-10 м, r3 = 4,77 10-10 м,
υ1 = 2,18 106 м/с, υ2 = 1,09 106 м/с, υ3 = 0,72 106 м/с, T1 = 1,52 10-16 с, T2 = 12,16 10-16 с, T3 = 41,04 10-16 с.
Приклад № 2
Вивести формули для розрахунку кінетичної, потенційної та повної енергії електрона на певній орбіті в атомі водню. Обчислити кінетичну, потенційну та повну енергію електрона на першій орбіті в атомі водню.
ε0 = 8,85 10-12 Ф/м |
|
Як відомо, кінетичну енергію електрона можна розрахувати за |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
h = 6,63 10-34 Дж с |
|
формулою: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
me = 9,1 10-31 кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wn = |
|
|
meυn2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||||||||||||||
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Wn – ? |
|
|
|
|
На електрон в атомі водню діє кулонівська сила тяжіння з боку |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Un – ? |
|
|
|
|
позитивно зарядженого ядра, яка за другим законом Ньютона, дорівнює |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
En – ? |
|
|
|
|
добутку маси електрона на доцентрове прискорення: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
= m |
a |
|
|
|
|
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
m υ2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
e |
|
n |
|
(2) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4πε |
|
r 2 |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||
З урахуванням (2) формулу (1) перепишемо у вигляді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wn |
|
|
m υ |
2 |
|
|
|
|
|
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
e |
|
n |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
8πε0 rn |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Підставляємо у (3) |
вираз |
|
для радіусу |
|
орбіти |
|
r |
= |
|
|
h |
2ε |
0 |
|
n2 , отриманий у |
попередньому |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
e2πme |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
прикладі. Остаточно для кінетичної енергії електрона в атомі водню отримаємо |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wn |
= |
|
|
e4 me |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8ε02 h2 |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
[W |
n |
] |
= |
|
|
Кл4 кг |
|
|
= |
|
|
|
|
|
А4 с4 кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
кг м2 |
|
= Дж |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Ф |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(Дж с) |
|
|
|
с |
|
|
А |
|
|
|
кг |
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
м |
кг |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
W1 = 2,18 10-18 Дж = 13,62 еВ.
Через кінетичну енергію основного стану (n = 1) можна виразити кінетичні енергії решти збуджених (n > 1) станів:
Wn = |
W1 |
(5) |
|
n2 |
|||
|
|
Потенційна енергія двох взаємодіючих точкових зарядів (негативно заряджений електрон і позитивно заряджене ядро) визначається наступним шляхом:
U n = − |
e2 |
|
= − |
e4 me |
1 |
= −2Wn |
(6) |
||
4πε |
0 |
r |
4πε 2 h2 |
|
n2 |
||||
|
|
n |
|
0 |
|
|
|
|
|
Знак “–” у формулі (6) присутній, оскільки взаємодіють частинки різного знаку.
[U n ]= [Wn ]= Дж
U1 = -4,36 10-18 Дж = -27,24 еВ.
Також можна записати спрощену формулу для розрахунку потенційної енергії
58
|
|
|
|
|
|
U n |
= |
U1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Повна енергія – це сума кінетичної і потенційної енергій: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
En =Wn +U n = |
e4 m |
e |
1 |
− |
e4 m |
e |
|
1 |
= − |
e4 m |
e |
|
1 |
= −Wn = |
E |
(8) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||
8πε02 h2 n2 |
4πε02 h2 |
n2 |
8πε02 h2 n2 |
n2 |
|||||||||||||||||
[En ]= [U n ]= [Wn ]= Дж |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Е1 = - 2,18 10-18 Дж = -13,62 еВ – це так звана енергія іонізації атому водню, тобто енергія, яку необхідно витратити, щоб відірвати електрон з атому водню. Всі стани з n > 1 відповідають збудженому атому. Час життя в цих станах 10-8 с. За цей час електрон встигає здійснити близько мільйонів обертів навколо ядра.
Відповідь: W1 = 2,18 10-18 Дж = 13,62 еВ; U1 = - 4,36 10-18 Дж = - 27,24 еВ; Е1 = - 2,18 10-18 Дж = -13,62 еВ.
Приклад №3
Знайти найбільшу і найменшу довжину хвиль у видимій області спектру випромінювання атому водню.
R = 3,3 1015 Гц |
|
Довжини хвилі світла, яке випромінюється атомом водню при переході |
||||||||||||||||||
c = 3 108 м/с |
|
|
електрона з однієї орбіти на іншу, визначається за формулою: |
|
||||||||||||||||
d = 2 |
|
|
|
|
c |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
v = |
|
= R |
|
− |
|
|
λ = |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
λmin – ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
λ |
|
n2 |
1 |
|
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
d 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
λmax – ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
− |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 |
|
|
n2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
[λ]= |
м/ с |
= |
м с |
= м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гц |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Видимій і ближній ультрафіолетовій області спектру відповідає перехід на другу (d = 2) орбіту з більш високих орбіт (серія Бальмера). Найменша енергія, а отже, максимальна довжина хвилі, випромінюється атомом при переході електрона на другу орбіту з найближчої до неї орбіти (n = 3):
λ |
max |
= |
|
c |
|
|
= |
36c |
(2) |
|
|
1 |
|
1 |
5R |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
R |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
9 |
|
|
|
|||
λmax = 6,54 10-7 м.
Найбільша енергія (найменша довжина хвилі) у серії Бальмера випромінюється атомом при переході електрона на другу орбіту з безкінечно віддаленої орбіти (n = ∞), але це не гарантує, що таке випромінювання буде знаходитися у видимій області спектру. Як відомо мінімальна довжина видимої області (фіолетове світло) дорівнює 4 10-7 м. Спочатку розрахуємо довжину хвилі у припущенні, що n = ∞:
λ = |
|
|
c |
|
|
= |
4c |
(3) |
|
1 |
|
1 |
R |
||||
|
|
|
|
|||||
|
R |
|
− |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
∞ |
|
|
|
||
λ = 3,63 10-7 м < 4 10-7 м – це не є видимий спектр.
Тому з умови λmin ≥4 10-7 м і формули (1), підбираючи відповідне n, знаходимо, що λmin =
4,1 10-7 м при n = 6.
Таким чином, у видимій області спектру спостерігається всього чотири лінії спектру випромінювання атому водню.
Відповідь: λmin = 4,1 10-7 м, λmax = 6,54 10-7 м.
59
Приклад №4
Електрон знаходиться в безкінечно глибокій одномірній потенційній ямі завширшки 1 нм у збудженому стані (n = 2). Визначити ймовірність знаходження електрона в інтервалі 0 < x < l / 3 . Розрахувати мінімальне можливе значення
електрона в такій потенційній ямі.
l = 10-9 м |
-31 |
|
У квантовій |
механіці |
інформацію |
|
|||||
|
кг |
про рух частинок отримують з |
|||
me = 9,1 10 |
хвильової функції, яка віддзеркалює |
||||
n = 2 |
|
|
|||
0 < x < l / 3 |
|
розподіл частинок або систем по |
|||
w – ? |
|
|
квантових станах. Ці частинки |
||
Emin – ? |
|
|
характеризуються |
дискретними |
|
|
|
|
значеннями |
енергії, |
імпульсу, |
моменту імпульсу, тобто хвильова функція є функцією |
|
Рис. 6.2. |
||||
стану частинок у мікросвіті. Розв’язуючи рівняння |
|
|||||
|
|
|||||
Шредингера, отримаємо |
|
|
|
|
|
|
ψ(x)= |
2 |
|
πn |
x |
|
(1) |
l |
sin |
l |
|
|||
|
|
|
|
|
||
де х – координата частинки.
Графіки хвильових функцій (1) при різних значеннях n подано на рис.6.2. Згідно співвідношенню де Бройля двом відмінним за знаком проекціям імпульсу відповідають дві пласкі монохроматичні хвилі де Бройля, які розповсюджуються у протилежних напрямах уздовж осі х. В результаті їх інтерференції виникають стоячі хвилі де Бройля, що характеризуються стаціонарним розподілом амплітуди коливань уздовж осі х. Ця амплітуда і є хвильова функція ψ (x), квадрат якої визначає густину ймовірності знаходження електрона
у точці з координатою х. Як видно з рис.6.2, для значення n = 1 на ширині ями l вкладається половина довжини стоячої хвилі де Бройля, для n = 2 – ціла довжина стоячої хвилі де Бройля і т.д., тобто у потенційній ямі можуть бути лише хвилі де Бройля, довжина яких задовольняє умові:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l = |
nλ |
λ = |
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким чином, на ширині ями l повинно укладатися ціле число на півхвиль. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Шукану ймовірність знаходимо інтегруванням у межах від 0 до l/3: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l / 3 |
(x) |
|
2 |
|
|
|
|
2 l / 3 |
|
|
|
2 |
πnx |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w = ∫ |
ψ |
|
|
|
dx |
= |
|
|
∫ |
sin |
|
|
|
|
|
|
dx |
(3) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
l |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Використовуючи співвідношення |
sin |
2 α = |
1 |
|
(1 −cos 2α) |
|
обчислюємо інтеграл (3) за умови, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
що електрон знаходиться на другому енергетичному рівні: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 l / 3 |
2 2πx |
1 l / 3 |
|
l / 3 |
|
4πx 1 |
l |
|
|
|
|
l |
|
|
4π |
||||||||||||||||||||||
w = |
|
∫ |
|
|
dx = |
|
|
∫ |
dx − |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|||
l 0 |
sin |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
= 0,4 |
||||||||||||||||
|
l |
|
l 0 |
|
|
0 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
3 |
|
|
|
4π |
|
3 |
|
|||||||||||||
Повна енергія електрона у потенційній ямі залежить від її ширини l та від головного квантового числа n:
E = |
h2 |
n |
2 |
(4) |
8mel 2 |
|
|||
|
|
|
|
Мінімальне значення енергії електрон буде мати при мінімальному значенні числа n, тобто при n = 1. Отже, маємо
60