Побудова графіків

Графічне зображення експериментальних і розрахункових даних полегшує порівняння величин, дозволяє легко знайти характер зміни величин — наяв­ність екстремальних точок чи точок перегину, періодичність, поява граничних зна­чень та інші важливі властивості. У таблицях ці особливості виявляються менш чітко. Нарешті, за допомогою графіків можна робити диференціювання й інтег­рування, навіть не знаючи математичної форми представленої графічної залеж­ності.

При побудові графіків необхідно дотримуватись наступних правил.

Значення незалежної змінної (аргументу) відкладають по осі абсцис, функ­ції - по осі ординат. Яку з двох змінних вважати незалежною, випливає звичай­но з експерименту. Якщо, в ході досліду значення однієї змінної встановлюють довільно, а відповідні значення інших змінних виявляються при цьому цілком визначеними, то перша змінна і вважається незалежною. Загального правила для вибору аргументу не існує.

В и б і р м а с ш т а б у.

І. Масштаб потрібно обирати так, щоб координати будь-якої точки графіка могли бути визначені швидко і легко. Якщо на розграфленому в клітинку папері (міліметровому) відстань між двома головними сусідніми лініями розділено на десять рівних частин, то найбільш зручно вибирати такий масштаб, при якому ця відстань прийнята за 1, 2 чи 5 одиниць, або за ці значення помножені на 10^n, де n — ціле число. Масштаб, при якому читання графіка утруднене, не може вважатися прийнятним (порівняйте рис.1а і 1б, що є прикладами зручного і незручного вибору масштабів).

Не всі лінії координатної сітки повинні бути надписані; часто для читання графіка виявляється зручним надписувати лінії через одну.

Рис. 1. Залежність логарифма тиску насиченої пари дифенілу від зворотної температури, побудована у (а) правильно і (б) неправильно вибраних масштабах.

Але яка б система надпису позначень не була прийнята, вона повинна бути дотримана на всьому графіку. Доцільно, щоб числа, проставлені на осі, містили стільки значущих цифр, скільки допускає точність даних чи скільки можна прочитати по кривій (рис.1а). Для зручності користування графіком необхідно проставити на кожній координатній осі назву величини, що представляється нею, і одиниць, у яких вона вимірюється.

Рис. 2 Залежність питомої провідності соляної кислоти від

концентрації, побудована в (а)правильно і (б) неправильно вибраних масштабах

II. Масштаб слід обирати так, щоб похибка вимірювань відповідала похибці на графіку не більш, ніж в одну-дві найменших поділок масштабу. При виборі шкали по осі координат немає необхідності обов'язково починати з нульового значення, якщо це не викликано спеціальними міркуваннями (необхідність екстраполяції і т.п.). Відповідно до цього правила, шкала для кожної змінної може починатися з найменшого округленого значення із сукупності даних чи трохи нижче і закінчуватися найбільшим округленим значенням чи трохи вище (рис.2).

III. Якщо графік використовують для визначення коефіцієнтів рівняння, що виражає залежність у = f(x), або для екстраполяції отриманої залежності, варто вибирати таку функціональну залежність, при якій зменшується кривизна ліній (звичайну логарифмічну, показову з дробовим показником ступеня та ін.).

IV. Масштаб повинен бути обраний так, щоб крива, наскільки це можливо, була нахилена до осі абсцис під кутом, близьким до 45°.

При необхідності підкреслити характерні риси в зміні функції (наявність екстремальних точок, точок перегину і т.п.) варто відносно збільшити масштаб функції і зменшити масштаб аргументу (рис. 2а і 2б; максимум питомої електропровідності в першому випадку виражений більш чітко).

Проведення кривої через нанесені точки.

І. Звичайно крива, що виражає залежність у = f(x) повинна бути плавною. Однак, можливі і стрибки, внаслідок порушення безперервності.

II. Крива повинна проходити якнайближче до всіх нанесених точок, однак не обов'язково через кожну з них, особливо через кінцеві, що відповідають вимірюванням, точність яких часто виявляється меншою, ніж інших, тому що вони відповідають межі точності інструмента чи застосовуваного методу. Число точок по обидві сторони кривої повинно бути майже однаковим.

III. Якщо теоретично випливає, що залежність у = f(x) лінійна, при проведенні прямої зручно використовувати прозору лінійку. Її варто розташувати так, щоб половина точок, що не лежать на прямій, розташовувалася по одну сторону і половина по іншу сторону прямої.

IV. Криву варто проводити якнайтонше.

Якщо крива, що зображує залежність у = f(x), призначається для визначення констант емпіричного чи напівемпіричного рівняння, графічного диференціювання чи інтегрування, її необхідно проводити як можна точніше. У подібних випадках доцільно використовувати метод найменших квадратів: крива (чи пряма) повинна бути проведена так, щоб сума квадратів відстаней від точок до кривої була мінімальна. Це відповідає припущенню, що розміщення експериментальних точок підкоряється закону нормального розподілу.