Лабораторне заняття № 5

Тема: поняття про математичні моделі.

нормальний розподіл і його закономірності.

обчислення|підрахунок| теоретично очікуваних|сподіваних| частот нормального розподілу

Мета|ціль| роботи: ознайомиться з|із| поняттям про математичні моделі, основними етапами моделювання; дати визначення нормальному розподілу, навчитися обчислювати|обчисляти,вичисляти| теоретично очікувані|сподівані| частоти нормального розподілу, критерій А.Н. Колмогорова, охарактеризувати головні закономірності нормального розподілу.

Матеріали та устаткування|обладнання|: калькулятор, лінійка, ваги, навчальні посібники, методичний матеріал, гербарні| зразки|взірці| рослин.

Хід роботи

1. Математична модель – це абстракція реального світу, в якій відносини між математичними об'єктами, що нас цікавлять, між реальними елементами замінені відповідними|придатними| відносинами. Математичні моделі, в описі яких використовуються випадкові величини, називаються імовірнісними. Будь-яка модель є|з'являється,являється| спрощеним уявлення дійсності. Моделювання полягає в знанні того, де, коли і як можна і потрібно спростити. Побудова|шикування| і перевірка моделі, тобто математичний опис зв'язків, що цікавлять нас, і відносин між реальними елементами аналізованої системи, засновані на використанні інформації двох типів: а) апріорної інформації (пригадаєте, що називається апріорною величиною?) про природу і характер|вдачу| досліджуваних співвідношень; б) початкових|вихідних| статистичних даних, що характеризують процес і результат функціонування аналізованої системи. Якщо дослідник має в своєму розпорядженні інформацію обох типів, використовується прийом змістовного математичного моделювання, при якому з|із| апріорної інформації про природу співвідношень вдається вивести загальний|спільний| вид аналітичних рівнянь, що описують ці співвідношення, після чого за допомогою статистичного «переварювання» інформації початкових|вихідних| статистичних даних оцінюються чисельні значення параметрів, що входять в згадані аналітичні рівняння. Якщо ж дослідник має в своєму розпорядженні апріорну інформацію| типу а) або за наявності інформації обох типів, бажає|воліє| «програти» (зімітувати|) поведінку аналізованої реальної системи при варіюванні чисельних значень параметрів, що входять до аналітичного запису моделі, або штучно (спираючись|обпираючись| на модельні співвідношення) згенерувати статистичні дані типу б) з метою їх поповнення, то разом з|поряд з,поряд із| елементами описаного вище математичного моделювання дослідник повинен звернеться|обернеться| за допомогою до ЕОМ. Цей тип моделювання прийнято називати статистичним або моделюванням типу «Монте-Карло».

Основні етапи моделювання.

1. Визначаються кінцева мета моделювання, сукупність чинників|факторів| і показників, їх ролі: які з|із| них можна вважати|лічити| вхідними (тими, що пояснюють), а які вихідними (тими, що можна пояснити), збору|збирання| статистичної інформації.

2. Постулювання, математична формалізація, перевірка початкових|вихідних| припущень.

3. Власне моделюючий. Виведення загального|спільного| виду модельних співвідношень, зв'язаних між собою вхідними і вихідними показниками.

4. Статистичний аналіз моделі. Рішення задач якнайкращого|щонайкращого,найкращого| підбору, тобто статистичне оцінювання невідомих параметрів, що входять до аналітичного запису моделі, і дослідження властивостей одержаних|отриманих| оцінок, їх точності.

5. Верифікація моделі. Зіставлення висновків|укладень,ув'язнень|, оцінок, наслідків і висновків|виведень| з|із| реально спостережуваною дійсністю.

6. Дослідження спрямовані на уточнення моделі (залежить від результатів моделювання).

2. Нормальний розподіл. Цей вид розподілу має більшість ознак сільськогосподарських і біологічних об'єктів із|із| безперервним характером|вдачею| варіювання. Він не залежить від розмірності ознаки. Характерна|вдача| особливість нормального розподілу полягає в тому, що чим більше відхиляється значення окремої варіанти від середньої арифметичної, тим рідше вона зустрічається, тим менше її вірогідність|ймовірність| появи в генеральній сукупності. Навпаки, чим ближче варіанти до середнього значення ряду|лави,низки|, тим частіше вони зустрічаються, тим більша вірогідність|ймовірність| їх появи. Інакше кажучи, частота відхилень (від середнього значення) є|з'являється,являється| функцією їх величини. Ця закономірність у розподілі варіант характеризується плавною кривою, яка називається «кривою нормального розподілу».

Рис. 5 – Крива нормального розподілу

При аналізі цього графіка (рис. 5) звертає на себе увагу симетричність кривої: це свідчить про те, що в нормальному розподілі великі і малі значення ознаки зустрічаються однаково часто. Оскільки|тому що| крива не перетинає осі абсцис, то можуть бути вельми|дуже| значні відхилення від середнього значення, проте|однак| вірогідність|ймовірність| їх появи дуже мала. Місцеположення точок перегину кривої, що визначають її форму, залежить від ступеня|міри| варіювання значень ознаки. Криву нормального розподілу можна побудувати|спорудити|, користуючись формулою (19):

(19)

де Y – ордината кривої; N – об'єм|обсяг| сукупності; σ|β,α³λ| – середнє квадратичне відхилення; х – відхилення від середньої арифметичної; е – основа натурального логарифма (е=2,71).

3. Обчислення|підрахунок| теоретично очікуваних|сподіваних| частот нормального розподілу. Про форму розподілу будь-якого емпіричного ряду|лави,низки| можна мати певне уявлення|виставу,подання,представлення|, побудувавши|спорудивши| графік розподілу фактичних (тих, що отримані внаслідок експерименту); при цьому на осі ординат відкладають у відомому масштабі чисельності, а на осі абсцис – градації ознаки, що варіюють. Наведена на рис. 6 суцільна лінія (фактичні частоти) в основних рисах|межах| нагадує криву нормального розподілу. Тому з|із| відомою підставою|основою,заснуванням| можна вважати|лічити|, що ця ознака – число колосків у колосі – має нормальний розподіл.

Проте|однак| в деяких дослідженнях представляє|уявляє| інтерес визначення теоретично очікуваних|сподіваних| частот нормального розподілу. При цьому буде одержана|отримана| відповідь на питання: яку частоту мала б кожна градація ознаки за умов, що|при умові , що,при условии | їх розподіл нормальний.

Частоти
	Число колосків у колосі

Рис. 6 – Криві розподілу: а – емпірична; б – теоретична

Порівняння емпіричних і теоретичних частот дозволить зробити обґрунтований висновок|виведення| про форму розподілу сукупності, що вивчається. Крім того, теоретичний розподіл, може мати самостійне значення як математичне очікування|чекання| частот у генеральній сукупності.

Таблиця 17 – Розрахунок теоретичних частот за рівнянням нормального розподілу

Число колосків в колосі (х)	Частота фактична f	а	fa	fa2	τ	Ордината (за положен-ням І)	Частота теоретично розрахована, Yo
9	2	–5	–10	50	2,74	0,0093	3
10	17	–4	–68	272	2,20	0,0355	10
11	25	–3	–75	225	1,65	0,1023	27
12	58	–2	–116	232	1,12	0,2131	57
13	76	–1	–76	76	0,58	0,3372	91
14	113	0	0	0	0,04	0,3986	107
15	89	1	89	89	0,49	0,3538	95
16	79	2	158	316	1,03	0,2347	63
17	28	3	84	252	1,56	0,1192	32
18	11	4	44	176	2,11	0,0431	12
19	2	5	10	50	2,64	0,0122	3
X	500		40	1738	-	-	500

Для обчислення|підрахунку| теоретично очікуваних|сподіваних| частот користуються рівнянням (20), яке можна перетворити таким чином:

(20) (21)

де Y₀ – очікувана|сподівана| частота; τ – нормоване відхилення.

Для полегшення розрахунків необхідно користуватися спеціальними таблицями|, в яких розраховані значення другого співмножника рівняння для τ від 0 до 4,00. Теоретична частота визначається шляхом перемноження відношення на коефіцієнт, відповідний кожному значенню τ (додаток 1).

4. Обчислення|підрахунок| критерію А.Н. Колмогорова. Критерій А.Н. Колмогорова заснований на оцінці найбільшої різниці між накопиченими частотами емпіричного і теоретичного розподілів. Для розподілу 500 колосів озимої пшениці Білоцерківська 198 за кількістю плодовитих|плодючих,плідних| колосків обчислені|обчисляти,вичислені| «теоретичні» частоти, які вписані в графу 3 табл. 17. Відповідні розрахунки наведені в 4, 5 і 6-й графах табл. 18.

Таблиця 18 – Емпіричний і теоретичний розподіли колосів озимої пшениці за числом колосків у колосі

Число колосків у колосі	Частоти		Накопичені частоти		|D|
	емпіричні	теоретичні	емпіричні	теоретичні
9	2	3	2	3	1
10	17	10	19	13	6
11	25	27	44	40	4
12	58	57	102	97	5
13	76	91	178	188	10
14	113	107	291	295	4
15	89	95	380	390	10
16	79	63	459	453	6
17	28	32	487	485	2
18	11	12	489	497	1
19	2	3	500	500	0
Сума	500	500	-	-

Критерій А.Н. Колмогорова (λ), обчислюється за формулою:

(22)

де |D| – максимальна абсолютна різниця між накопиченими (так званими «інтегральними») частотами емпіричного і теоретичного розподілу для однієї і тієї ж групи; N – загальна|спільна| чисельність сукупності.

.

Емпіричний розподіл неістотно|несуттєво| відхиляється від нормального в тих випадках коли λ<1,36, а при суворому підході, коли λ<1,63. Граничне значення критерію , де ln – натуральний логарифм числа ; β – рівень значущості. Так, якщо прийняти β =0,05, то.У даному випадку величина критерію вказує|вказує| на те, що не буде погрішністю вважати|лічити| нормальним розподіл колосів за числом колосків у даному досліді|досліді|. На рис. 2 наведені криві обох розподілів табл. 18.

5. Закономірності нормального розподілу. Крива нормального розподілу (рис. 1) є графічним відображенням вірогідності|ймовірності| для будь-якого значення з|із| нескінченно великої сукупності й знаходиться|перебуває| в певних межах. Крива має найбільшу ординату в точці|точці|, яка відповідає місцеположенню на осі абсцис середньої арифметичної ().Отже, в нормально розподіленій сукупності найчастіше зустрічаються її представники із|із| значенням ознаки, що дорівнює , тобто вона має найбільшу вірогідність|ймовірність| знаходитися|перебувати| в сукупності. Крива нормального розподілу симетрична щодо|відносно| ординати , тому вірогідність|ймовірність| знаходження в сукупності величин, що однаково відхиляються від в ту або іншу сторону, рівна. З іншого боку, в міру збільшення відхилень від середньої (у більший або менший бік) вірогідність|ймовірність| їх появи поступово зменшується. Оскільки|тому що| крива ніде не перетинається з|із| віссю абсцис, то, взагалі кажучи, можливо наявність відхилень, що як завгодно|бажано| відрізняються від ; проте|однак| вірогідність|ймовірність| появи як дуже малих, так і дуже великих відхилень незначна.

Якщо уважно розглянути|розгледіти| рис. 5, то не важко|скрутно| відмітити|помітити|, що симетрична крива має по два перегини з кожного боку від осі симетрії. Цим крапкам|точки| характерна чудова властивість: ординати їх визначають вірогідності|ймовірності| знаходження в сукупності значень ознаки, що відхиляються від на величини, кратні середньому квадратичному відхиленню. Так, точка –а визначає вірогідність|ймовірність| відхилень від величину, меншу за σ, точка +а – на величину, більшу за σ. Відповідно точки –б і +б – на –2σ і +2σ, точки –в і +в – на –3σ і +3σ. У теоретичній статистиці доводиться, що:

1) площа|майдан|, обмежена знизу відрізком осі абсцис від –σ до +σ, а зверху – відповідною частиною|часткою| кривої, дорівнює приблизно ²/₃ всієї площі|майдану| розподілу, а отже, включає таку ж кількість варіант. Точні обчислення|підрахунки| показують, що в межах від – σ до +σ знаходиться|перебуває| 68,26 %, за цими межами – 31,74 % всіх варіант;

2. у межах від –2σ до +2σ знаходиться|перебуває| 95,46 %, поза|зовні| цією межею тільки|лише| 4,54 % всієї кількості варіант;

3. у межах від –3σ до +3σ знаходиться|перебуває| 99,74 %, тобто|цебто| практично всі варіанти.

На основі цієї закономірності можна обчислити|обчисляти,вичислити| вірогідність|ймовірність| відхилення будь-якої варіанти від середньої арифметичної. Наприклад, вірогідність|ймовірність| того, що випадково взята з|із| сукупності варіанта відрізняється від середньої не більше, ніж на величину середнього квадратичного відхилення, буде (з|із| розрахунку від 1000 випадків) 683:1000, тобто|цебто| Р = 0,683, а вірогідність|ймовірність| того, що воно відрізнятиметься на величину більшу за σ, дорівнює 0,317. Щоб визначити вірогідність|ймовірність| знаходження варіант у відомих межах, які визначаються величиною σ|β,α³λ|, користуються спеціальними таблицями, обчисленими за рівнянням нормального розподілу (табл. 19). Табл. 19 є|з'являється,являється| двосторонньою|двобічною|, оскільки|тому що| за нею визначається вірогідність|ймовірність| появи варіант по обидва боки від середньої арифметичної. У ній величини х позначають|значать| відхилення від в одиницях σ|β,α³λ|.

Таблиця 19 – Вірогідність|ймовірність| знаходження варіант в межах ±хσ(А) і поза|зовні| межами ±хσ(А) з|із| розрахунку на 1000 випадків

х	Р(х)		х	Р(х)		х	Р(х)		х	Р(х)
	А	В		А	В		А	В		А	В
0,10	080	920	1,10	729	217	2,10	964	036	3,10	998	002
0,20	159	841	1,20	770	230	2,20	972	028	3,20	999	001
0,30	236	764	1,30	806	194	2,30	978	022	3,30	999	001
0,40	311	689	1,40	838	162	2,40	984	016	3,40	999	001
0,50	383	617	1,50	866	134	2,50	988	012	3,50	999	001
0,60	451	549	1,60	890	110	2,58	990	010
0,67	497	503	1,64	900	100	2,60	991	009
0,70	516	494	1,80	928	072	2,70	993	007
0,80	576	424	1,90	943	057	2,80	995	005
0,90	632	368	1,96	950	050	2,90	996	004
1,00	683	317	2,00	954	046	3,00	997	003

Примітка|тлумачення|. У графах А і В нуль цілих, для скорочення об'єму|обсягу| таблиці, опущений. Наприклад 451 слід читати як 0,451.

При оцінці істотності результатів дослідів найчастіше користуються рівнем достовірності|ймовірністю| 0,95 або рівнем значущості 0,05. Звертаючись|обертаючись| до табл. 19, не важко|скрутно| відмітити|помітити|, що Р(х)=0,95 відповідає х=1,96. Отже, вірогідність|ймовірність| того, що в нормальному розподілі відхилення від середньої не перевищить величину 1,96, рівна 0,95, а вірогідність|ймовірність| того, що воно буде більше 1,96σ, дорівнює 0,05. Наведемо декілька прикладів|зразки| використання поняття про статистичну вірогідність|ймовірність| для вирішення практичних завдань|задач|.

Приклад|зразок| 1. При дослідженні варіювання врожаю зерна (на одну рослину) у|в,біля| сорту|гатунку| ярової пшениці Харківської 46 одержані|отримані| такі характеристики: =2,36 г і s=l,331 г. Серед рослин цього сорту|гатунку| було одне вагою зерна 6,64 г, що відхиляється від на 6,64–2,36=4,28 г. Таке значне відхилення викликає|спричиняє| деякий сумнів у приналежності цієї рослини до даної сукупності. Для перевірки обчислюємо|обчисляємо,вичисляємо| х=4,28:1,331=3,22 і, звертаючись|обертаючись| до таблиці 3, знаходимо|находимо|, що варіанту з|із| врожаєм 6,64 г можна віднести до цього ряду|лави,низки| з|із| вірогідністю|ймовірністю| P_(х)=0,999. Інакше кажучи, у вибірці з|із| 1000 рослин може зустрітися тільки|лише| одне з|із| врожаєм 6,64 г.

Приклад|зразок| 2. Місце розташування нижнього бобу гороху пов'язане з довжиною вегетаційного періоду. У|в,біля| ранніх сортів|гатунків| він розташовується на 9–11-му, у|в,біля| середньостиглих – на 12–13-му і у|в,біля| пізньостиглих – на 19–24-му вузлі|лічивши| знизу. Цю сортову особливість використовують для виділення домішок|нечистот|.

Оскільки|тому що| вказані вище цифри є середніми величинами і у кожному окремому випадку під впливом умов зростання можуть дещо змінюватися, то проводять спеціальний математичний аналіз, що дозволяє виділити «помилкові» варіанти.

Так були одержані|отримані| дані про варіювання числа вузлів до першого бобу у|в,біля| сорту|гатунку| гороху Вікторія Мандорфська (табл. 20).

Таблиця 20 – Розподіл рослин гороху за місцеположенням першого бобу

Число вузлів до першого бобу	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Число рослин	1	1	10	38	106	190	110	37	5	1	1

Обчисливши|обчисляючи,вичисливши| =13,0 вузлів і s=l,19 вузла, і рівні значущості 0,01 (якому за таблицею 3 відповідає х=2,58), знаходимо|находимо| межі випадкових коливань місцеположення нижніх бобів: ±2,58s, тобто|цебто| від 10 до 16 міжвузлів|. Отже, рослини, у|в,біля| яких нижній біб|біб| розташований|схильний| на 8, 9, 17 і 18-му міжвузлі|, можна вважати|лічити| домішками|нечистотами|, що належать до інших сортів|гатунків|.

Якщо використовувати інший рівень істотності (це вирішує|рішає| сам дослідник), наприклад 0,05, то слід віднести до даного ряду|лави,низки| варіанти, що знаходяться|перебувають| в межах х±1,965 s, тобто|цебто| від 10,6 до 15,3 вузла. За цими межами буде 19 рослин, близько 4 % загальної|спільної| чисельності.

Таблиці для знаходження вірогідності|ймовірності|, відповідної різним значенням τ, є|з'являються,являються| односторонніми|однобічними|, оскільки|тому що| вони розраховані тільки|лише| для однієї половини кривої нормального розподілу. Визвлікання з|із| більш обширної таблиці одностороннього|однобічного| критерію наведене в табл. 5. На відміну від таблиці 3 її числа представляють|уявляють| накопичені частоти нормального розподілу від 0 до τ. Так, τ=2,0 відповідає число 4772; це означає|значить|, що 47,72 % варіант знаходиться|перебуває| між ординатами τ=0 і τ=2,0. Якщо помножити числа таблиці на 2, то одержимо|отримаємо| вірогідність|ймовірність| знаходження варіанти в межах ±2τ, тобто|цебто| ті ж величини, що і в табл. 21. Все вищесказане про розрахунок вірогідності|ймовірності| відноситься до достатньо|досить| великих вибірок із|із| сукупностей|, що мають нормальний розподіл або що мало відрізняється від нього.

Таблиця 21 – Нормальний розподіл накопичених частот (загальний|спільний| об'єм|обсяг| сукупності =10000)

τ	Р(τ)	τ	Р(τ)	τ	Р(τ)	τ	Р(τ)
0,0	000
0,10	0398	1,10	3643	2,10	4821	3,10	4990
0,20	0793	1,20	3849	2,20	4861	3,20	4993
0,30	1179	1,30	4032	2,30	4893	3,30	4995
0,40	1554	1,40	4192	2,40	4918	3,40	4997
0,50	1915	1,50	4332	2,50	4938	3,50	4998
0,60	2257	1,60	4452	2,60	4953	3,60	4998
0,70	2580	1,70	4554	2,70	4965	3,70	4999
0,80	2881	1,80	4641	2,80	4974	3,80	4999
0,90	3159	1,90	4713	2,90	4981	3,90	5000
1,00	3413	2,00	4772	3,00	4987

Примітка|тлумачення|. У графах Р_(τ) нуль цілих для скорочення об'єму|обсягу| опущений.

Приклад|зразок| 3. Індивідуальний відбір з|із| популяції за якою-небудь|будь-якою| ознакою можна проводити, керуючись одним з наступних|слідуючих| принципів:

1. відібрати індивідууми, яким властиві певні значенням ознаки відбору;

2. відібрати індивідууми, що перевищують середнє значення ознаки з|із| певним ступенем|мірою| упевненості.

3. відібрати певну кількість індивідуумів виходячи з можливостей|спроможностей| подальшого|дальшого| вивчення.

Ці задачі селекціонер вирішує, керуючись головним чином своїми знаннями характеру|вдачі| мінливості ознаки, враховуючи особливості умов зростання, які можуть у значній мірі|значною мірою| зсунути в той або інший бік межі випадкових коливань, властиві популяції для «середніх» умов. При цьому застосування|вживання| статистичних методів для виділення кращих родоначальників має допоміжний характер|вдачу|. Проте|тим не менше| ці методи можуть надати істотну|суттєву| допомогу селекціонеру при відборах на хімічний склад, якість продукції та інші ознаки, приховані від ока.

Припустимо, що селекціонер відібрав 2000 кошиків соняшнику; у насінні кожного з них визначено вміст|вміст,утримання| жиру у перерахунку на абсолютно суху речовину. Середня для всієї сукупності олійність складає 46,6 %, середнє квадратичне відхилення – 2,0 %, розмах варіювання – 42,4–53,1 %.

1-е завдання|задача|. Для подальшої|дальшої| роботи передбачається|припускається| відібрати рослини (кошики) з|із| олійністю вище 49 %, або на 2,4 % більше середньої величини. Необхідно з'ясувати: а) вірогідність|ймовірність| того, що ці рослини істотно|суттєво| відрізняються за олійністю від середнього рівня популяції і б) яка кількість рослин з|із| такою олійністю міститься|утримується| (або очікується) в даній сукупності.

Для відповіді на перше питання визначаємо нормоване відхилення τ=(49,0–46,6):2=1,2. Звертаючись|обертаючись| до табл. 21, знаходимо|находимо|, що цьому значенню відповідає накопичена частота 0,3849. Помножуючи|множивши| це число на 2, одержимо|отримаємо| Р=0,770. Якщо така вірогідність|ймовірність| ствердження про перевагу матеріалу, що відібрано не задовольняє дослідника, він повинен виділяти рослини з|із| вищою олійністю.

Для відповіді на друге питання пригадаємо, що 50 % членів вибірки мають значення ознаки вище за середню. Оскільки|тому що| олійність від 46,6 до 49 % мають 38,49 % рослин, то з|із| олійністю вище 49 % їх буде 50–38,49=11,51 %, або 230 з|із| двох тисяч.

2-е завдання|задача|. Необхідно відібрати рослини, що перевищують за олійністю середній рівень з|із| вірогідністю|ймовірністю| Р=0,95|. Згідно табл. 21, цій вірогідності|ймовірності| відповідає х=1,96. Отже, кращі (у цьому розумінні) рослини повинні мати олійність більше, ніж +xs=46,6+1,96·2,0=50,5 %. Для того, щоб дізнатися|упізнати,взнати,пізнати|, скільки може бути в даній сукупності рослин з|із| такою олійністю, обчислюємо|обчисляємо,вичисляємо| τ=(50,5–46,6):2=1,95 і за табл. 19 знаходимо|находимо| відповідь: 50,00–47,42=2,58 %, або небагато чим|мало чим| більше 50 рослин.

3-е завдання|задача|. Для вивчення в селекційному розпліднику 1-го року потрібно відібрати 300 рослин, тобто|цебто| 15 % від загального|спільного| їх числа. Необхідно з'ясувати, яку олійність повинні мати рослини, що відібрані. За умовами завдання|задачі| підлягає вибраковуванню 85 %, з|із| них 50 % мають показники олійності нижче, а 35 % – вище за середню арифметичну. Звертаючись|обертаючись| до табл. 21, знаходимо|находимо|, що 35 % накопичених частот відповідає τ=1,05. Згідно формулі (3), знаходимо|находимо|, що для виконання поставленої умови треба відібрати рослини з|із| олійністю не менше 48,7 %.

З|із| наведених прикладів|зразків| стає ясним, що середнє квадратичне відхилення дає можливість|спроможність| з|із| відомим ступенем|мірою| точності встановити вірогідність|ймовірність| приналежності будь-якого спостереження до даного варіаційного ряду|лави,низки|. Тому середнє квадратичне відхилення часто називають також середньою помилкою окремих спостережень.