Если процессы, проходящие в элементах электропривода, описывать нелинейными уравнениями, то закон изменения фазовой координаты выразить аналитически нельзя. В этом случае приходится заменять нелинейные уравнения приближенными линейными. При так называемой линеаризации «в большом» линейный закон изменения какой-либо фазовой координаты распространяется на весь диапазон ее изменения (рис. 9.1), а при линеаризации «в малом» линейный характер изменения переменной относится лишь к малым колебаниям ее (рис. 9.2). Метод малых колебаний, предложенный И.А. Вышнеградским, заключается в том, что в процессе регулирования имеют место лишь малые отклонения изменяющихся величин от их установившихся значений.

Уравнения, составленные методом малых колебаний для отдельных звеньев системы в приращениях (отклонениях) от состояния равновесия существенно облегчают математическое решение задачи переходного процесса, так как начальные условия в большинстве случаев будут равны нулю (за начало отсчета времени принимается первоначальное равновесное состояние системы до получения приращений изменяющимися величинами).

В дальнейшем изложении этого раздела курса будут использоваться оба указанных метода линеаризации.

При составлении дифференциальных уравнений целесообразно расчленить замкнутую систему автоматизированного электропривода на отдельные элементы (звенья) и составлять уравнения для каждого элемента в отдельности в соответствии с физическими процессами, протекающими в данном элементе. Также составляются и передаточные функции – для каждого типового звена, выделенного в общей структуре электропривода.

Таким образом, общее дифференциальное уравнение для какой-либо фазовой координаты автоматизированного электропривода можно получить двумя способами:

1. путем совместного решения системы исходных уравнений, описывающих динамическое равновесие во всех элементах (звеньях) электропривода (как электрических, так и механических). Общий порядок получаемого дифференциального уравнения будет равен числу учтенных инерций, действующих в электроприводе;

2. путем составления общей структурной схемы электропривода на основании структурных схем (передаточных функций) отдельных элементов и последующего преобразования этой структурной схемы в одноконтурную, по которой получают дифференциальные уравнения разомкнутой и замкнутой систем автоматического управления.

При описании отдельных элементов электропривода принимаются те же общие допущения, которые указаны в разделе 3.1 и 4.1. Кроме того, делается допущение о том, что внешняя нагрузка М_С(t) и управляющее воздействие U_У(t) принимаются в виде единичного скачка, то есть

; . (9.1)

Это позволяет упростить математические выкладки, так как производная единичного скачка равна нулю:

; .

Это допущение не только упрощает решение, но и ставит работу электропривода в более тяжелые условия.

9.2 Математическое описание элементов электропривода Электродвигатель с независимым возбуждением

Исходные уравнения, описывающие динамические режимы работы в двигателе при Ф=Ф_Н=const, следующие:

, (9.2)

, (9.3)

где Е_Г – ЭДС генератора, питающего якорную цепь двигателя; R_Я – полное сопротивление цепи якоря системы Г-Д; – оператор дифференцирования.

Если двигатель питается от сети с постоянным напряжением U=U_Н или от какого-либо преобразователя с выпрямленным напряжением Е_П, то в уравнение (9.2) вместо Е_Г необходимо поставить соответствующее напряжение. В этом случае в R_Я будут входить все сопротивления, включенные последовательно с сопротивлениями обмотки двигателя.

Совместное решение (9.2) и (9.3) относительно , т.е. с исключением i, приводит к следующему результату:

, (9.4)

где ,– электромагнитная и электромеханическая постоянные времени двигателя;

–коэффициент передачи двигателя по каналу якоря.

Из (9.4) получается следующая передаточная функция двигателя по управляющему воздействию (если отбросить функцию нагрузки , т.е. возмущающее воздействие):

. (9.5)

Таким образом, двигатель представляет собой апериодическое звено второго порядка.

В разделе 3.7 из тех же исходных уравнений были получены передаточные функции электромагнитной и электромеханической частей двигателя с выделением промежуточной фазовой координаты – тока якоря двигателя (i) или момента на валу (М), как это показано на рисунке 3.283.31. Это одно и то же, но иначе представленное математическое описание, легко преобразуемое одно в другое.

При линеаризации двигателя «в малом» дифференциальное уравнение и передаточная функция его будут иметь вид:

; (9.6)

. (9.7)

Генератор постоянного тока с независимым возбуждением

При линеаризации «в большом», то есть полагая кривую намагничивания линейной (рис. 9.3) и L_В=const, исходные уравнения для генератора (рис. 9.4) запишутся следующим образом:

,

(9.8)

,

где .

Совместное решение уравнений (9.8) дает:

, (9.9)

где – электромагнитная постоянная времени генератора;

–коэффициент усиления генератора.

Передаточная функция генератора (апериодического звена первого порядка) –

. (9.10)

При линеаризации «в малом» уравнение и передаточная функция записываются аналогично:

, (9.11)

. (9.12)

Тиристорный преобразователь с СИФУ

Этот элемент электропривода уже был рассмотрен ранее в разделе 3.2.7, где было показано, что тиристорный преобразователь (ТП) и СИФУ с фильтром на входе описываются апериодическими звеньями первого порядка. Будучи последовательно включенными, эти элементы образуют апериодическое звено второго порядка, а при пренебрежении малой Т_Ф_П0 ТП и СИФУ можно описать передаточной функцией

. (9.13)

Дифференциальное уравнение этого элемента:

. (9.14)

При линеаризации «в малом» в (9.13) и (9.14) необходимо вместо Е_П и U_У принять их малые колебания Е_П и U_У.

Электромашинный усилитель с поперечным полем (ЭМУ)

Расчетная схема ЭМУ показана на рисунке 9.5 и включает лишь две обмотки управления (из возможных четырех), необходимых для математического описания этого элемента. Обмотки управления создают встречно направленные намагничивающие силы. Характеристики намагничивания ЭМУ по продольной оси (рис. 9.6 а) и поперечной оси (рис. 9.6 б) линейны.

На рисунке 9.5 и 9.6 приняты следующие обозначения:

r₁, r₂, r_q – сопротивления обмоток управления и короткозамкнутого витка в поперечной цепи;

L₁, L₂, L_q – индуктивности этих цепей;

М – коэффициент взаимной индуктивности обмоток управления.

Допуская, что связь между обмотками управления идеальная, то есть не учитывая малые величины потоков рассеяния, коэффициент взаимной индуктивности можно выразить так:

, (9.15)

гдеw₁ и w₂ – числа витков обмоток управления.

Уравнения электрического равновесия поперечной цепи ЭМУ:

(9.16)

Из (9.16) следует, что

. (9.17)

Из описания характеристики намагничивания по поперечной оси следует, что , откуда

. (9.18)

Подставляя (9.18) в (9.17), получим

, или

, (9.19)

где .

Так как , то, и может быть определен по выходной линеаризованной характеристике ЭМУЕ_d=f(F), которая экспериментально снимается (рис. 9.7) и приводится в каталогах на усилители.

Общая намагничивающая сила по продольной оси ЭМУ равна:

. (9.20)

Подставим (9.20) в (9.19) и получим:

. (9.21)

Запишем теперь уравнения электрического равновесия для цепей обмоток управления (продольная ось ЭМУ):

,

.

Умножим первое из этих уравнений на , а второе – наи, обозначаяи, получим:

(9.22)

Учтем теперь в (9.22) сделанные раньше в (9.15) допущения об идеальной связи между обмотками, то есть об отсутствии потоков рассеяния.

,

, или

,

(9.23)

.

Вычтем из первого уравнения (9.23) второе и получим

, (9.24)

где Т_=Т₁+Т₂ – суммарная постоянная времени обмоток управления по продольной оси ЭМУ;

F=F₁-F₂ – суммарная намагничивающая сила ЭМУ по продольной оси.

Подставив (9.24) в (9.19), получим:

, (9.25)

где ;;.

Передаточная функция ЭМУ в соответствии с (9.25) будет равна:

. (9.26)

При линеаризации «в малом» в (9.25) и (9.26) вместо фазовых координат Е_d, U_У1 и U_У2 необходимо принять их малые колебания Е_d, U_У1 и U_У2.

Во многих реальных схемах использования ЭМУ (особенно в случаях включения в обмотки управления добавочных сопротивлений) Т_Т_q , и постоянной Т_ можно пренебречь, что понижает порядок общего дифференциального уравнения и упрощает решение.

Магнитный усилитель (МУ)

На рисунке 9.8 показана электрическая схема МУ. Без учета дискретности МУ и связанного с этим запаздывания, то есть полагая длительность переходного процесса в МУ значительно большей, чем время полупериода (это тем более достоверно, чем выше рабочая частота МУ), можно приближенно рассматривать МУ как линейный элемент с неизменной постоянной времени, равной сумме постоянных времени его работающих обмоток управления.

Приближенно и наиболее просто МУ описывается как апериодическое звено первого порядка:

. (9.27)

–(9.28)

так называемая «ЭДС МУ»,

где r – суммарное сопротивление цепи переменного тока и цепи нагрузки, то есть

r=r_P+r_B+R_H, (9.29)

r_Р – сопротивление рабочих обмоток МУ,

r_В – сопротивление выпрямителя,

R_H – сопротивление нагрузки,

К_UК – коэффициент усиления МУ по напряжению для «к»-обмотки управления,

.

Суммарная постоянная времени МУ:

, (9.30)

где Т_УК – постоянная времени «к»-й обмотки управления.

. (9.31)

Здесь w_У – число витков обмотки управления;

w_ОС – число витков обмотки обратной связи (при внутренней обратной связи это число витков рабочих обмоток w_Р, одновременно обтекаемых рабочим током);

=1 – для однотактного МУ с внешней обратной связью;

=1/2 – для двухполупериодных однотактных МУ с внутренней обратной связью или для двухтактных МУ с внешней обратной связью;

=1/4 – для двухтактных МУ с внутренней обратной связью;

Кi – коэффициент усиления по току.

Таким образом, МУ при принятых допущениях представляется апериодическим звеном первого порядка с передаточной функцией

. (9.32)

При линеаризации МУ «в малом» в соотношениях (9.27) и (9.32) необходимо использовать малые колебания U_Н и U_УК.

Корректирующие R-C цепи

Схема R-C-цепи для дифференцирования входных сигналов и необходимые обозначения показаны на рисунке 9.9.

Уравнения электрического равновесия в соответствии со схемой запишутся так:

, (9.33)

.

Решаем (9.33) совместно, избавляясь от i и вводя обозначение для постоянной времени корректирующей цепи

. (9.34)

Тогда ,

. (9.35)

Передаточная функция R-C-цепи есть функция дифференцирующего апериодического звена:

. (9.36)

На рисунке 9.10 показана R-C-цепь, предназначенная для получения выходного сигнала, пропорционального входному сигналу и его производной, то есть для формирования ПД-закона управления.

Для схемы рисунке 9.10 справедлива следующая система уравнений:

(9.37)

После совместного решения системы уравнений (9.37) получается:

,

где ,.

Подбирая R₁ и R₂ таким образом, чтобы получить очень малую величину Т₂, схему настраивают для примерного выполнения соотношения

. (9.38)

Соответствующая передаточная функция

. (9.39)

На рисунке 9.11 показана схема R-C-цепи, предназначенная для получения выходных сигналов, пропорциональных интегралу от входного сигнала. Для этой схемы:

(9.40)

Совместное решение этих уравнений с исключением i приводит к соотношению:

, (9.41)

где,.

Соотношение (9.41) показывает, что при интегрировании U_ВХ в схеме рисунок 9.11 получается дополнительный искажающий сигнал, пропорциональный интегралу от U_ВЫХ. В определенной мере это искажение можно уменьшить, сокращая величину , но при этом будет снижаться и основной сигнал. Обычно принимают 0,10,2.

При линеаризации «в малом» вместо U_ВЫХ и U_ВХ необходимо записывать малые колебания U_ВЫХ и U_ВХ.