10.4 Следящий электропривод с пропорционально-дифференциальным управлением

Проанализируем влияние ПД-закона управления на работу СЭП. В этом случае СЭП описывается следующей системой уравнений:

(10.39)

Решая (10.39) относительно , получим после преобразований следующее дифференциальное уравнение СЭП с ПД-законом управления:

. (10.40)

При возмущении типа и, то есть при скачкообразном увеличении скорости входной оси до_ВХ.З, уравнение движения (10.40) принимает вид:

. (10.41)

Это уравнение отличается от соотношения (10.18), полученного для П-закона управления, тем, что при р увеличивается коэффициент на величину S. Таким образом, применение ПД-закона управления увеличивает коэффициент успокоения в уравнении движения СЭП, что делает такой привод более устойчивым. При этом установившаяся ошибка _У (при р=0) не увеличивается, а остается неизменной (как и при П-законе управления):

.

Однако увеличение устойчивости СЭП при ПД-законе управления позволяет увеличить коэффициент усиления и тем самым снизить установившуюся динамическую и статическую ошибки следящего электропривода.

Так как в СЭП с ПД-законом управления установившаяся динамическая ошибка _У не зависит от сигнала, пропорционального производной от угла рассогласования, то и добротность СЭП, определяющаяся величиной _У, после введения сигнала по производной от угла рассогласования остается неизменной.

Статическая ошибка системы также, очевидно, не зависит от сигнала по производной, так как она определяется величиной момента сухого трения и коэффициента усиления. Действительно для неподвижной системы все производные в уравнении (10.40) равны нулю. Тогда , что и было получено ранее в выражении (10.17) для СЭП с пропорциональным законом управления.

Выясним теперь влияние сигнала по производной на величину колебаний угла рассогласования, то есть на динамическую ошибку в неустановившемся состоянии СЭП. Так как уравнение (10.40) отличается от (10.15) лишь коэффициентом перед р, то решение его при М_С00 будет аналогичным, но с несколько иными значениями постоянных  и _СОБ:

, (10.42)

где ₁ и _1СОБ – соответственно степень успокоения и собственная частота незатухающих колебаний для следящей системы с управлением по производной от угла рассогласования:

; (10.43)

. (10.44)

Из (10.43) и (10.44) следует, что при ПД-управлении собственная частота незатухающих колебаний остается неизменной по сравнению с системой управления только с пропорциональным управлением. Степень успокоения ₁ значительно увеличивается (коэффициенты S и F могут быть соизмеримы). Следовательно, в СЭП с ПД-управлением колебания динамической ошибки затухают намного быстрее. Таким образом, управление по производной увеличивает степень успокоения следящей системы и тем самым повышает устойчивость ее работы.

Повышение устойчивости при использовании в СЭП ПД-закона управления наглядно видно из анализа работы такой системы в случае F=0 (отсутствие успокоения, предполагаемое чисто теоретически). Как было показано в разделе 10.3 для следящей системы с пропорциональным управлением при F=0 степень успокоения =0. При этом установившаяся динамическая ошибка (если допустить М_С00) . Система работает на границе устойчивости, так как неустановившаяся динамическая ошибка в соответствии с (10.38) меняется по закону.

Как было выяснено выше, при пропорционально-дифференциальном управлении установившаяся ошибка не меняется по сравнению с обычным пропорциональным управлением. Поэтому при F=0 и М_С00, _У=0 и, следовательно, _Д=_П. По аналогии с (10.31) для системы с пропорционально-дифференциальным управлением

, (10.45)

где – вещественная часть корней характеристического уравнения системы;

–круговая частота затухающих колебаний;

и – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям, как и для системы с пропорциональным управлением.

По аналогии с (10.33) и (10.34) найдем, что

. (10.46)

. (10.47)

Для рассматриваемого случая, то есть при F=0:

; ;;;.

Следовательно, при F=0 неустановившаяся динамическая ошибка на основании (10.45) может быть определена таким образом:

. (10.48)

Выражение (10.48), содержащее сомножитель , показывает, что СЭП с пропорционально-дифференциальным управлением приF=0 имеет затухающие колебания динамической ошибки в отличие от системы с пропорциональным управлением, что свидетельствует о повышении устойчивости при введении сигнала, пропорционального производной от угла рассогласования.

В некоторых случаях на вход усилителя СЭП подается также управляющий сигнал, пропорциональный не только  и , но и второй производной от угла рассогласования. В этом случае в правую часть последнего уравнения системы (10.39) необходимо добавить слагаемое, показывающее пропорциональность пускового момента двигателя второй производной. Таким образом,

, (10.49)

где m – коэффициент пропорциональности М_П второй производной от .

Используя (10.49) в системе уравнений (10.39) вместо уравнения ПД-закона управления и учтя, как и раньше, что ,и, получим после совместного решения этой новой системы уравнений и необходимых преобразований:

. (10.50)

Это уравнение движения СЭП показывает, что сигнал, пропорциональный второй производной от угла рассогласования, компенсирует влияние момента инерции.

Степень успокоения ₂ и собственная частота колебаний (_2СОБ) в этом случае определяются по следующим выражениям:

; (10.51)

. (10.52)

При увеличении коэффициента m величины ₂ и _2СОБ возрастают, что свидетельствует о повышении устойчивости и быстродействия СЭП с управляющим сигналом, пропорциональным второй производной от угла рассогласования. Статическая ошибка и установившаяся динамическая ошибка остаются в этом случае неизменными.